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2024届新高三数学开学摸底试卷二（新高考专用）（Word版附解析）
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这是一份2024届新高三数学开学摸底试卷二（新高考专用）（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了102 4等内容，欢迎下载使用。
2024届新高三开学摸底试卷二（新高考专用）
数学
(时间：120分钟 满分：150分)
注意事项：
1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2023·邯郸模拟)若集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|log2x≥0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x>0}
B．{x|0
D．{x|0
A．∃x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∃x∈(－∞，0]，ln x＝x－1
C．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
D．∀x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1
3．已知z∈C，且|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值是( )
A．2－1 B．2＋1
C. D．2
4．2022年6月我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班50名同学捐款的频数分布表，若第40百分位数为m，第80百分位数为n，则m＋n等于( )
捐款金额(元)
30
50
70
100
频数
3
25
15
7
A.60 B．70
C．90 D．120
5．(2023·厦门模拟)已知函数f(x)＝xsin x，g(x)＝cos x，则图象为如图所示的函数可能是( )
A．y＝f(x)g(x)－1
B．y＝
C．y＝f(x)＋g(x)－1
D．y＝f(x)－g(x)＋1
6．(2023·汕头模拟)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，||＝||，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C．－ D．－
7．已知F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于P，Q两点，若OP⊥F1Q，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C.＋1 D.＋1
8．已知a＝log1213，b＝，c＝log1314，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则( )
A．ab的最大值为8 B．2a＋b的最小值为8
C．a＋b的最小值为6－3 D.＋的最小值为
10．(2023·青岛模拟)已知圆C：x2＋2＝1上两点A，B满足|AB|≥，点M(x0,0)满足|MA|＝|MB|，则下列结论中正确的是( )
A．当|AB|＝时，x0＝
B．当x0＝0时，过点M的圆C的最短弦长是2
C．线段AB的中点纵坐标的最小值是
D．过点M作圆C的切线且切点为A，B，则x0的取值范围是∪
11.如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球球心为O，E，F分别是棱AB，CC1的中点，点G在棱BC上移动(含端点)，则( )
A．对于任意点G，OA∥平面EFG
B．存在点G，使得OD⊥平面EFG
C．直线EF被球O截得的弦长为
D．过直线EF的平面截球O所得截面圆的面积的最小值为
12．(2023·南京模拟)某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款的成本为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为a元/件．现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20%的隐藏款．某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回．若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次．记X为检验结束时所进行的检验次数，则( )
A．P(X＝4)＝0.102 4
B．E(X)<5
C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.509 4
D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则a>18
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知sin＝，则cos＝________.
14．已知P(x，y)是函数y＝ex＋x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为________．
15．在(3＋y)(x－y)4的展开式中x2y3的系数为________．
16．已知数列{an}的通项公式an＝10n－2n，前n项和是Sn，对于∀n∈N*，都有Sn≤Sk，则k＝________.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知数列{an}，Sn是an的前n项和，且满足Sn＝2an－1(n∈N*)，数列{bn}是等差数列，b2＋b6＝a4，a5－b4＝2b6.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，设cn＝(－1)n，求{cn}的前n项和Dn.
18．(12分)在①b(1＋cos A)＝asin B；②bcos ＝asin B；③asin C＝ccos这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知________(只需填序号)．
(1)求A；
(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
19．(12分)第五代移动通信技术(简称5G)是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，它具有更高的速率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征，能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行业的应用需求．某机构统计了A，B，C，D，E，F共6家公司在5G通信技术上的投入x(千万元)与收益y(千万元)的数据，如下表：
投入x(千万元)
5
7
8
10
11
13
收益y(千万元)
11
15
16
22
25
31
(1)若x与y之间线性相关，求y关于x的经验回归方程．并估计若投入15千万元，收益大约为多少千万元？(精确到0.01)
(2)现6家公司各派出一名代表参加某项宣传活动，该活动在甲，乙两个城市同时进行，6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人只抛掷一次，掷出正面向上的点数为1,3,5,6的去甲城市，掷出正面向上的点数为2,4的去乙城市．求：
①A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率；
②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率．(用最简分数作答)
参考数据及公式：iyi＝1 186，＝＝，＝－.
20．(12分)(2023·永州模拟)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PB＝BD＝PD＝4，PA＝4.
(1)证明：PC⊥平面ABCD；
(2)如图，取BC的中点E，在线段DE上取一点F使得＝，求平面PAF与平面PAC夹角的大小．
21．(12分)已知A′，A分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2－.
(1)求C的方程；
(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
22．(12分)(2023·承德模拟)已知函数f(x)＝ex－ax2－2.
(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)＋e－x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
答案及解析
1．(2023·邯郸模拟)若集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|log2x≥0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x>0}
B．{x|0
D．{x|0
解析 由题意知A＝{x|0
2．(2023·镇江模拟)命题：“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是( )
A．∃x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∃x∈(－∞，0]，ln x＝x－1
C．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
D．∀x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1
答案 C
解析 “∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．
3．已知z∈C，且|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值是( )
A．2－1 B．2＋1
C. D．2
答案 A
解析 ∵|z|＝1且z∈C，则|z|表示复平面内的单位圆O，如图，
∵|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，
∴|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.
4．2022年6月我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班50名同学捐款的频数分布表，若第40百分位数为m，第80百分位数为n，则m＋n等于( )
捐款金额(元)
30
50
70
100
频数
3
25
15
7
A.60 B．70
C．90 D．120
答案 D
解析 因为50×40%＝20，所以按从小到大排列取第20,21项数据的平均数，其平均数为50，所以m＝50.因为50×80%＝40，所以按从小到大排列取第40,41项数据的平均数，其平均数为70，所以n＝70，所以m＋n＝120.
5．(2023·厦门模拟)已知函数f(x)＝xsin x，g(x)＝cos x，则图象为如图所示的函数可能是( )
A．y＝f(x)g(x)－1
B．y＝
C．y＝f(x)＋g(x)－1
D．y＝f(x)－g(x)＋1
答案 C
解析 f(π)＝0，g(π)＝－1，由图得，当x＝π时，y<0，排除BD；
f(0)＝0，g(0)＝1，由图得，当x＝0时，y＝0，排除A.
6．(2023·汕头模拟)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，||＝||，则向量在向量上的投影向量为( )
A.
B.
C．－
D．－
答案 A
解析 如图，由2＝＋知O为BC的中点，
∵O为△ABC的外接圆圆心，
∴OA＝OB＝OC，
又∵||＝||，
∴AB＝OB＝OA＝OC，
∴△ABO为正三角形，∠ABO＝60°，
∴在上的投影向量为＝.
7．已知F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于P，Q两点，若OP⊥F1Q，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C.＋1 D.＋1
答案 D
解析 依题意由双曲线的对称性可知∠OF1Q＝∠OF1P＝∠F1PO，又OP⊥F1Q，
所以∠OF1Q＋∠OF1P＋∠F1PO＝，所以∠OF1P＝，在△F2F1P中，∠F1PF2＝，
设双曲线的半焦距为c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c，
则其离心率e＝＝＝＝＝＋1.
8．已知a＝log1213，b＝，c＝log1314，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
答案 D
解析 构造函数f(x)＝，x>e，则f′(x)＝<0，
所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，
所以f(12)>f(13)，即>，则a＝log1213＝<＝b，
a－c＝－＝>
＝＝>0，则a>c，因此b>a>c.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则( )
A．ab的最大值为8
B．2a＋b的最小值为8
C．a＋b的最小值为6－3
D.＋的最小值为
答案 ABC
解析 因为16＝ab＋2a＋b≥ab＋2，当且仅当2a＝b时取等号，
解不等式得－4≤≤2，即0<≤2，
所以0
所以2a＋b＝2a＋＝2(a＋1)＋－4≥2－4＝8，
当且仅当2(a＋1)＝，即a＝2时取等号，所以2a＋b的最小值为8，B正确；
a＋b＝a＋－2＝a＋1＋－3≥6－3，当且仅当a＋1＝，即a＝3－1时取等号，所以a＋b的最小值为6－3，C正确；
＋≥2＝2＝，
当且仅当a＋1＝b＋2时取等号，所以＋的最小值为，D错误．
10．(2023·青岛模拟)已知圆C：x2＋2＝1上两点A，B满足|AB|≥，点M(x0,0)满足|MA|＝|MB|，则下列结论中正确的是( )
A．当|AB|＝时，x0＝
B．当x0＝0时，过点M的圆C的最短弦长是2
C．线段AB的中点纵坐标的最小值是
D．过点M作圆C的切线且切点为A，B，则x0的取值范围是∪
答案 CD
解析 圆C：x2＋2＝1的圆心C，半径r＝1，令圆心C到直线AB的距离为d.对于A，令直线AB：x＝，即d＝，显然有|AB|＝2＝，线段AB的垂直平分线为y＝，此时点M不存在，即x0不存在，A不正确；
对于B，当x0＝0时，点M(0,0)在圆C内，而圆C的直径长为2，则过点M的圆C的最短弦长小于2，而2>2，B不正确；
对于C，令线段AB的中点P(t，s)，则|PC|＝d＝≤＝，
则t2＋2≤，即2≤，解得≤s≤，当且仅当t＝0时取等号，所以smin＝，C正确；
对于D，依题意知MA⊥AC，MC⊥AB，|AB|·|MC|＝|MA|·|AC|，
因为|MA|＝，所以＝|AB|≥，解得x0≤－或x0≥，
所以x0的取值范围是∪，D正确．
11.如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球球心为O，E，F分别是棱AB，CC1的中点，点G在棱BC上移动(含端点)，则( )
A．对于任意点G，OA∥平面EFG
B．存在点G，使得OD⊥平面EFG
C．直线EF被球O截得的弦长为
D．过直线EF的平面截球O所得截面圆的面积的最小值为
答案 BD
解析 正方体内切球的球心O即为正方体的中心，且球的半径R＝1，如图．
当点G与点B重合时，A∈平面EFB，O∉平面EFB，此时直线OA与平面EFG相交，A错误；
连接BD，当G为BC的中点时，EG⊥BD，EG⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BB1D1D，则EG⊥平面BB1D1D，
因为B1D⊂平面BB1D1D，所以EG⊥B1D；同理，FG⊥B1D，因为EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG，所以B1D⊥平面EFG，即OD⊥平面EFG，B正确；
取EF的中点M，连接OM，EC，由对称性可知，OE＝OF，则OM⊥EF.
因为OE＝，EM＝EF＝＝，则OM＝＝，
所以直线EF被球O截得的弦长为2＝2＝，C错误；
设截面圆的半径为r，球心O到截面的距离为d，则r2＋d2＝R2＝1，
因为d≤OM＝，则r2＝1－d2≥，所以截面圆的面积S＝πr2≥，D正确．
12．(2023·南京模拟)某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款的成本为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为a元/件．现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20%的隐藏款．某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回．若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次．记X为检验结束时所进行的检验次数，则( )
A．P(X＝4)＝0.102 4
B．E(X)<5
C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.509 4
D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则a>18
答案 ABD
解析 对于A，记检测到隐藏款的概率为p＝0.2，
则P(X＝4)＝(1－p)3·p＝0.102 4，故A正确；
对于B，由题意得X的分布列为P(X＝i)＝
且E(X)＝1·p＋2(1－p)·p＋…＋19(1－p)18·p＋20(1－p)19；
记S＝1＋2(1－p)＋…＋19(1－p)18，
则(1－p)S＝(1－p)＋2(1－p)2＋…＋18(1－p)18＋19(1－p)19，
两式相减得
pS＝1＋(1－p)＋(1－p)2＋…＋(1－p)18－19(1－p)19＝－19(1－p)19＝－19(1－p)19，
所以E(X)＝pS＋20(1－p)19＝－19(1－p)19＋20(1－p)19＝＝5[1－(1－p)20]<5，故B正确；
对于C，没有抽到隐藏款的概率为(1－0.2)5，抽到隐藏款的概率为1－(1－0.2)5＝0.672 32，故C错误；
对于D，设总共有n件盲盒，则利润为na－20%×50n－80%×10n>0，解得a>18，则定价a>18才能保证获利，故D正确．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知sin＝，则cos＝________.
答案
解析 cos＝1－2sin2＝1－2×＝.
14．已知P(x，y)是函数y＝ex＋x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为________．
答案
解析 当点P到直线2x－y－3＝0的距离最小时，曲线y＝ex＋x在点P处的切线与直线2x－y－3＝0平行，对函数y＝ex＋x求导得y′＝ex＋1，令y′＝2，可得x＝0，则y＝e0＋0＝1，此时，点P的坐标为(0,1)，因此，点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为＝.
15．在(3＋y)(x－y)4的展开式中x2y3的系数为________．
答案 6
解析 ∵(3＋y)(x－y)4＝(3＋y)·(Cx4－Cx3y＋Cx2y2－Cxy3＋Cy4)，
∴展开式中含x2y3的项为y·Cx2y2＝Cx2y3＝6x2y3，
故它的展开式中x2y3的系数为6.
16．已知数列{an}的通项公式an＝10n－2n，前n项和是Sn，对于∀n∈N*，都有Sn≤Sk，则k＝________.
答案 5
解析 如图，为y＝10x和y＝2x的图象，设两个交点为A，B，
因为a1＝10－2＝8>0，所以0
当n∈[6，＋∞)时，10n<2n，即an<0，所以当n＝5时，Sn取得最大值，即k＝5.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知数列{an}，Sn是an的前n项和，且满足Sn＝2an－1(n∈N*)，数列{bn}是等差数列，b2＋b6＝a4，a5－b4＝2b6.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，设cn＝(－1)n，求{cn}的前n项和Dn.
解 (1)在数列{an}中，满足Sn＝2an－1，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减，可得an＝2an－1，即＝2，当n＝1时，S1＝2a1－1，解得a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2n－1.
由{bn}是等差数列，设等差数列{bn}的公差为d，
因为b2＋b6＝a4，a5－b4＝2b6，可得
解得所以数列{bn}的通项公式为bn＝n.
(2)由(1)可得Sn＝2n－1，则Tn＝－n＝2n＋1－n－2，
所以cn＝(－1)n＝(－1)n＝(－1)n，
则Dn＝－－＋＋－－＋…＋(－1)n＝－2＋(－1)n，
即Dn＝－2＋(－1)n.
18．(12分)在①b(1＋cos A)＝asin B；②bcos ＝asin B；③asin C＝ccos这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知________(只需填序号)．
(1)求A；
(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解 (1)选①：由正弦定理得sin B(1＋cos A)＝sin Asin B，
又sin B≠0，
∴1＋cos A＝sin A，即sin A－cos A＝1，所以2sin＝1，则sin＝，
又0
选②：由正弦定理得sin Bcos ＝sin Asin B，又sin B≠0，
∴cos ＝sin A，由π－A＝B＋C，
得sin ＝2sin cos ，又sin ≠0，
∴cos ＝，又0
选③：由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos，又sin C≠0，
∴sin A＝cos＝cos A＋sin A，
∴sin A＝cos A，
则tan A＝，又0
(2)由(1)及余弦定理知，cos A＝＝，又a＝，b＋c＝4，
∴＝－1＝，即＝，可得bc＝3，
∴S△ABC＝bcsin A＝.
19．(12分)第五代移动通信技术(简称5G)是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，它具有更高的速率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征，能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行业的应用需求．某机构统计了A，B，C，D，E，F共6家公司在5G通信技术上的投入x(千万元)与收益y(千万元)的数据，如下表：
投入x(千万元)
5
7
8
10
11
13
收益y(千万元)
11
15
16
22
25
31
(1)若x与y之间线性相关，求y关于x的经验回归方程．并估计若投入15千万元，收益大约为多少千万元？(精确到0.01)
(2)现6家公司各派出一名代表参加某项宣传活动，该活动在甲，乙两个城市同时进行，6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人只抛掷一次，掷出正面向上的点数为1,3,5,6的去甲城市，掷出正面向上的点数为2,4的去乙城市．求：
①A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率；
②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率．(用最简分数作答)
参考数据及公式：iyi＝1 186，＝＝，＝－.
解 (1)＝＝9，
＝＝20，
＝＝≈2.52，
≈20－2.52×9＝－2.68，
则＝2.52x－2.68，
当x＝15时，＝35.12，
所以当投入15千万元时，收益大约为35.12千万元．
(2)①设“某位代表去甲城市参加活动”为事件A，则P(A)＝，
所以A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率为，
②设“6位代表中去甲城市参加活动的人数少于去乙城市参加活动的人数”为事件B，
P(B)＝C06＋C15＋C24＝.
20．(12分)(2023·永州模拟)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PB＝BD＝PD＝4，PA＝4.
(1)证明：PC⊥平面ABCD；
(2)如图，取BC的中点E，在线段DE上取一点F使得＝，求平面PAF与平面PAC夹角的大小．
(1)证明 因为AB＝AD＝4，BD＝4，所以AB2＋AD2＝BD2，所以AB⊥AD，
又因为四边形ABCD为菱形，所以四边形ABCD为正方形，
因为AB＝4，PB＝4，PA＝4，所以AB2＋PB2＝PA2，所以AB⊥PB，
因为PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面BPC，所以AB⊥平面BPC，又因为PC⊂平面BPC，所以AB⊥PC，
因为AD＝4，PD＝4，PA＝4，所以AD2＋PD2＝PA2，所以AD⊥PD，
因为PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD，又因为PC⊂平面PCD，所以AD⊥PC，
因为AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥平面ABCD.
(2)解 由(1)知，CD，CB，CP两两垂直，所以以C为坐标原点，CD，CB，CP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
在△PBC中，PC＝＝4，
则A(4,4,0)，B(0,4,0)，C(0,0,0)，D(4,0,0)，E(0,2,0)，P(0,0,4)，
所以＝(－4,2,0)，＝(0，－4,0)，＝(4,4，－4)，
因为＝，则＝＝，＝＋＝，
设平面PAF的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得x＝－2，z＝－1，得m＝(－2,1，－1)，
又由(1)知，底面ABCD为正方形，
所以AC⊥BD，
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥BD，
因为AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，
所以＝(4，－4,0)是平面PAC的一个法向量，
设平面PAF与平面PAC的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝，
所以平面PAF与平面PAC夹角的大小为.
21．(12分)已知A′，A分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2－.
(1)求C的方程；
(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
(1)解 因为PF⊥A′A，故可设P(－c，y0)，因为AB∥OP，故kAB＝kOP，即－＝－，解得y0＝.
又点P在椭圆C上，故＋＝1，解得a2＝2c2＝2a2－2b2，故a＝b＝c.
又|FA′|＝2－，故|FA′|＝a－c＝(－1)c＝2－，故c＝，a＝2，b＝.
故C的方程为＋＝1.
(2)证明 因为椭圆C的方程为＋＝1，故F(－，0)，A(2,0)，由题意知，直线l的斜率不为0，故可设l：x＝ty－.
联立可得(t2＋2)y2－2ty－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝－.
故k1k2＝·
＝
＝
＝
＝
＝＝－，
所以k1k2为定值－.
22．(12分)(2023·承德模拟)已知函数f(x)＝ex－ax2－2.
(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)＋e－x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝e时，f(x)＝ex－ex2－2，所以f′(x)＝ex－2ex，故k＝f′(1)＝－e.
又f(1)＝－2，所以切点坐标为(1，－2)，
故函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝－e(x－1)，即y＝－ex＋e－2，
所以切线与坐标轴的交点坐标分别为(0，e－2)，，
故所求三角形的面积为×(e－2)×＝＝＝＋－2.
(2)由f(x)＋e－x≥0，得ex＋e－x－ax2－2≥0恒成立，
令g(x)＝ex＋e－x－ax2－2，则g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数．
故只要求当x≥0时，g(x)≥0恒成立即可．
g′(x)＝ex－e－x－2ax，
设h(x)＝ex－e－x－2ax(x≥0)，故h′(x)＝ex＋e－x－2a(x≥0)，
设H(x)＝ex＋e－x－2a(x≥0)，则H′(x)＝ex－e－x(x≥0)，
显然H′(x)在[0，＋∞)上单调递增，故H′(x)≥H′(0)＝0，
即H(x)在[0，＋∞)上单调递增，H(0)＝2－2a.
当a≤1时，H(0)＝2－2a≥0，则有h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，
则g(x)在[0，＋∞)上单调递增，故g(x)≥g(0)＝0，符合题意；
当a>1时，H(0)＝2－2a<0，又H(ln 2a)＝>0，故存在x0∈(0，ln 2a)，使得H(x0)＝0，
故h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．
当x∈(0，x0)时，h(x)
2024届新高三开学摸底试卷二（新高考专用）
数学
(时间：120分钟 满分：150分)
注意事项：
1.答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2023·邯郸模拟)若集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|log2x≥0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x>0}
B．{x|0
D．{x|0
A．∃x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∃x∈(－∞，0]，ln x＝x－1
C．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
D．∀x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1
3．已知z∈C，且|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值是( )
A．2－1 B．2＋1
C. D．2
4．2022年6月我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班50名同学捐款的频数分布表，若第40百分位数为m，第80百分位数为n，则m＋n等于( )
捐款金额(元)
30
50
70
100
频数
3
25
15
7
A.60 B．70
C．90 D．120
5．(2023·厦门模拟)已知函数f(x)＝xsin x，g(x)＝cos x，则图象为如图所示的函数可能是( )
A．y＝f(x)g(x)－1
B．y＝
C．y＝f(x)＋g(x)－1
D．y＝f(x)－g(x)＋1
6．(2023·汕头模拟)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，||＝||，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C．－ D．－
7．已知F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于P，Q两点，若OP⊥F1Q，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C.＋1 D.＋1
8．已知a＝log1213，b＝，c＝log1314，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则( )
A．ab的最大值为8 B．2a＋b的最小值为8
C．a＋b的最小值为6－3 D.＋的最小值为
10．(2023·青岛模拟)已知圆C：x2＋2＝1上两点A，B满足|AB|≥，点M(x0,0)满足|MA|＝|MB|，则下列结论中正确的是( )
A．当|AB|＝时，x0＝
B．当x0＝0时，过点M的圆C的最短弦长是2
C．线段AB的中点纵坐标的最小值是
D．过点M作圆C的切线且切点为A，B，则x0的取值范围是∪
11.如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球球心为O，E，F分别是棱AB，CC1的中点，点G在棱BC上移动(含端点)，则( )
A．对于任意点G，OA∥平面EFG
B．存在点G，使得OD⊥平面EFG
C．直线EF被球O截得的弦长为
D．过直线EF的平面截球O所得截面圆的面积的最小值为
12．(2023·南京模拟)某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款的成本为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为a元/件．现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20%的隐藏款．某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回．若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次．记X为检验结束时所进行的检验次数，则( )
A．P(X＝4)＝0.102 4
B．E(X)<5
C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.509 4
D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则a>18
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知sin＝，则cos＝________.
14．已知P(x，y)是函数y＝ex＋x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为________．
15．在(3＋y)(x－y)4的展开式中x2y3的系数为________．
16．已知数列{an}的通项公式an＝10n－2n，前n项和是Sn，对于∀n∈N*，都有Sn≤Sk，则k＝________.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知数列{an}，Sn是an的前n项和，且满足Sn＝2an－1(n∈N*)，数列{bn}是等差数列，b2＋b6＝a4，a5－b4＝2b6.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，设cn＝(－1)n，求{cn}的前n项和Dn.
18．(12分)在①b(1＋cos A)＝asin B；②bcos ＝asin B；③asin C＝ccos这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知________(只需填序号)．
(1)求A；
(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
19．(12分)第五代移动通信技术(简称5G)是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，它具有更高的速率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征，能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行业的应用需求．某机构统计了A，B，C，D，E，F共6家公司在5G通信技术上的投入x(千万元)与收益y(千万元)的数据，如下表：
投入x(千万元)
5
7
8
10
11
13
收益y(千万元)
11
15
16
22
25
31
(1)若x与y之间线性相关，求y关于x的经验回归方程．并估计若投入15千万元，收益大约为多少千万元？(精确到0.01)
(2)现6家公司各派出一名代表参加某项宣传活动，该活动在甲，乙两个城市同时进行，6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人只抛掷一次，掷出正面向上的点数为1,3,5,6的去甲城市，掷出正面向上的点数为2,4的去乙城市．求：
①A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率；
②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率．(用最简分数作答)
参考数据及公式：iyi＝1 186，＝＝，＝－.
20．(12分)(2023·永州模拟)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PB＝BD＝PD＝4，PA＝4.
(1)证明：PC⊥平面ABCD；
(2)如图，取BC的中点E，在线段DE上取一点F使得＝，求平面PAF与平面PAC夹角的大小．
21．(12分)已知A′，A分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2－.
(1)求C的方程；
(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
22．(12分)(2023·承德模拟)已知函数f(x)＝ex－ax2－2.
(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)＋e－x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
答案及解析
1．(2023·邯郸模拟)若集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|log2x≥0}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{x|x>0}
B．{x|0
D．{x|0
解析 由题意知A＝{x|0
2．(2023·镇江模拟)命题：“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是( )
A．∃x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．∃x∈(－∞，0]，ln x＝x－1
C．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
D．∀x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1
答案 C
解析 “∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”．
3．已知z∈C，且|z|＝1，则|z－2－2i|(i为虚数单位)的最小值是( )
A．2－1 B．2＋1
C. D．2
答案 A
解析 ∵|z|＝1且z∈C，则|z|表示复平面内的单位圆O，如图，
∵|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2,2)的距离，
∴|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.
4．2022年6月我国南方遭受严重洪灾，为了弘扬“一方有难，八方支援”的中国精神，某校举行募捐活动，下表是某班50名同学捐款的频数分布表，若第40百分位数为m，第80百分位数为n，则m＋n等于( )
捐款金额(元)
30
50
70
100
频数
3
25
15
7
A.60 B．70
C．90 D．120
答案 D
解析 因为50×40%＝20，所以按从小到大排列取第20,21项数据的平均数，其平均数为50，所以m＝50.因为50×80%＝40，所以按从小到大排列取第40,41项数据的平均数，其平均数为70，所以n＝70，所以m＋n＝120.
5．(2023·厦门模拟)已知函数f(x)＝xsin x，g(x)＝cos x，则图象为如图所示的函数可能是( )
A．y＝f(x)g(x)－1
B．y＝
C．y＝f(x)＋g(x)－1
D．y＝f(x)－g(x)＋1
答案 C
解析 f(π)＝0，g(π)＝－1，由图得，当x＝π时，y<0，排除BD；
f(0)＝0，g(0)＝1，由图得，当x＝0时，y＝0，排除A.
6．(2023·汕头模拟)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，||＝||，则向量在向量上的投影向量为( )
A.
B.
C．－
D．－
答案 A
解析 如图，由2＝＋知O为BC的中点，
∵O为△ABC的外接圆圆心，
∴OA＝OB＝OC，
又∵||＝||，
∴AB＝OB＝OA＝OC，
∴△ABO为正三角形，∠ABO＝60°，
∴在上的投影向量为＝.
7．已知F1，F2为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线C的右支交于P，Q两点，若OP⊥F1Q，其中O为坐标原点，则双曲线C的离心率为( )
A. B.
C.＋1 D.＋1
答案 D
解析 依题意由双曲线的对称性可知∠OF1Q＝∠OF1P＝∠F1PO，又OP⊥F1Q，
所以∠OF1Q＋∠OF1P＋∠F1PO＝，所以∠OF1P＝，在△F2F1P中，∠F1PF2＝，
设双曲线的半焦距为c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c，
则其离心率e＝＝＝＝＝＋1.
8．已知a＝log1213，b＝，c＝log1314，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
答案 D
解析 构造函数f(x)＝，x>e，则f′(x)＝<0，
所以函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，
所以f(12)>f(13)，即>，则a＝log1213＝<＝b，
a－c＝－＝>
＝＝>0，则a>c，因此b>a>c.
二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝16，则( )
A．ab的最大值为8
B．2a＋b的最小值为8
C．a＋b的最小值为6－3
D.＋的最小值为
答案 ABC
解析 因为16＝ab＋2a＋b≥ab＋2，当且仅当2a＝b时取等号，
解不等式得－4≤≤2，即0<≤2，
所以0
所以2a＋b＝2a＋＝2(a＋1)＋－4≥2－4＝8，
当且仅当2(a＋1)＝，即a＝2时取等号，所以2a＋b的最小值为8，B正确；
a＋b＝a＋－2＝a＋1＋－3≥6－3，当且仅当a＋1＝，即a＝3－1时取等号，所以a＋b的最小值为6－3，C正确；
＋≥2＝2＝，
当且仅当a＋1＝b＋2时取等号，所以＋的最小值为，D错误．
10．(2023·青岛模拟)已知圆C：x2＋2＝1上两点A，B满足|AB|≥，点M(x0,0)满足|MA|＝|MB|，则下列结论中正确的是( )
A．当|AB|＝时，x0＝
B．当x0＝0时，过点M的圆C的最短弦长是2
C．线段AB的中点纵坐标的最小值是
D．过点M作圆C的切线且切点为A，B，则x0的取值范围是∪
答案 CD
解析 圆C：x2＋2＝1的圆心C，半径r＝1，令圆心C到直线AB的距离为d.对于A，令直线AB：x＝，即d＝，显然有|AB|＝2＝，线段AB的垂直平分线为y＝，此时点M不存在，即x0不存在，A不正确；
对于B，当x0＝0时，点M(0,0)在圆C内，而圆C的直径长为2，则过点M的圆C的最短弦长小于2，而2>2，B不正确；
对于C，令线段AB的中点P(t，s)，则|PC|＝d＝≤＝，
则t2＋2≤，即2≤，解得≤s≤，当且仅当t＝0时取等号，所以smin＝，C正确；
对于D，依题意知MA⊥AC，MC⊥AB，|AB|·|MC|＝|MA|·|AC|，
因为|MA|＝，所以＝|AB|≥，解得x0≤－或x0≥，
所以x0的取值范围是∪，D正确．
11.如图，棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球球心为O，E，F分别是棱AB，CC1的中点，点G在棱BC上移动(含端点)，则( )
A．对于任意点G，OA∥平面EFG
B．存在点G，使得OD⊥平面EFG
C．直线EF被球O截得的弦长为
D．过直线EF的平面截球O所得截面圆的面积的最小值为
答案 BD
解析 正方体内切球的球心O即为正方体的中心，且球的半径R＝1，如图．
当点G与点B重合时，A∈平面EFB，O∉平面EFB，此时直线OA与平面EFG相交，A错误；
连接BD，当G为BC的中点时，EG⊥BD，EG⊥BB1，BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面BB1D1D，则EG⊥平面BB1D1D，
因为B1D⊂平面BB1D1D，所以EG⊥B1D；同理，FG⊥B1D，因为EG∩FG＝G，EG，FG⊂平面EFG，所以B1D⊥平面EFG，即OD⊥平面EFG，B正确；
取EF的中点M，连接OM，EC，由对称性可知，OE＝OF，则OM⊥EF.
因为OE＝，EM＝EF＝＝，则OM＝＝，
所以直线EF被球O截得的弦长为2＝2＝，C错误；
设截面圆的半径为r，球心O到截面的距离为d，则r2＋d2＝R2＝1，
因为d≤OM＝，则r2＝1－d2≥，所以截面圆的面积S＝πr2≥，D正确．
12．(2023·南京模拟)某企业于近期推出了一款盲盒，且该款盲盒分为隐藏款和普通款两种，其中隐藏款的成本为50元/件，普通款的成本为10元/件，且企业对这款盲盒的零售定价为a元/件．现有一批有限个盲盒即将上市，其中含有20%的隐藏款．某产品经理现对这批盲盒进行检验，每次只检验一个盲盒，且每次检验相互独立，检验后将盲盒重新包装并放回．若检验到隐藏款，则检验结束；若检验到普通款，则继续检验，且最多检验20次．记X为检验结束时所进行的检验次数，则( )
A．P(X＝4)＝0.102 4
B．E(X)<5
C．若小明从这批盲盒中一次性购买了5件，则他抽到隐藏款的概率为0.509 4
D．若这款盲盒最终全部售出，为确保企业能获利，则a>18
答案 ABD
解析 对于A，记检测到隐藏款的概率为p＝0.2，
则P(X＝4)＝(1－p)3·p＝0.102 4，故A正确；
对于B，由题意得X的分布列为P(X＝i)＝
且E(X)＝1·p＋2(1－p)·p＋…＋19(1－p)18·p＋20(1－p)19；
记S＝1＋2(1－p)＋…＋19(1－p)18，
则(1－p)S＝(1－p)＋2(1－p)2＋…＋18(1－p)18＋19(1－p)19，
两式相减得
pS＝1＋(1－p)＋(1－p)2＋…＋(1－p)18－19(1－p)19＝－19(1－p)19＝－19(1－p)19，
所以E(X)＝pS＋20(1－p)19＝－19(1－p)19＋20(1－p)19＝＝5[1－(1－p)20]<5，故B正确；
对于C，没有抽到隐藏款的概率为(1－0.2)5，抽到隐藏款的概率为1－(1－0.2)5＝0.672 32，故C错误；
对于D，设总共有n件盲盒，则利润为na－20%×50n－80%×10n>0，解得a>18，则定价a>18才能保证获利，故D正确．
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知sin＝，则cos＝________.
答案
解析 cos＝1－2sin2＝1－2×＝.
14．已知P(x，y)是函数y＝ex＋x图象上的点，则点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为________．
答案
解析 当点P到直线2x－y－3＝0的距离最小时，曲线y＝ex＋x在点P处的切线与直线2x－y－3＝0平行，对函数y＝ex＋x求导得y′＝ex＋1，令y′＝2，可得x＝0，则y＝e0＋0＝1，此时，点P的坐标为(0,1)，因此，点P到直线2x－y－3＝0的最小距离为＝.
15．在(3＋y)(x－y)4的展开式中x2y3的系数为________．
答案 6
解析 ∵(3＋y)(x－y)4＝(3＋y)·(Cx4－Cx3y＋Cx2y2－Cxy3＋Cy4)，
∴展开式中含x2y3的项为y·Cx2y2＝Cx2y3＝6x2y3，
故它的展开式中x2y3的系数为6.
16．已知数列{an}的通项公式an＝10n－2n，前n项和是Sn，对于∀n∈N*，都有Sn≤Sk，则k＝________.
答案 5
解析 如图，为y＝10x和y＝2x的图象，设两个交点为A，B，
因为a1＝10－2＝8>0，所以0
当n∈[6，＋∞)时，10n<2n，即an<0，所以当n＝5时，Sn取得最大值，即k＝5.
四、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(10分)已知数列{an}，Sn是an的前n项和，且满足Sn＝2an－1(n∈N*)，数列{bn}是等差数列，b2＋b6＝a4，a5－b4＝2b6.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)设数列{Sn}的前n项和为Tn，设cn＝(－1)n，求{cn}的前n项和Dn.
解 (1)在数列{an}中，满足Sn＝2an－1，
当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减，可得an＝2an－1，即＝2，当n＝1时，S1＝2a1－1，解得a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以an＝2n－1.
由{bn}是等差数列，设等差数列{bn}的公差为d，
因为b2＋b6＝a4，a5－b4＝2b6，可得
解得所以数列{bn}的通项公式为bn＝n.
(2)由(1)可得Sn＝2n－1，则Tn＝－n＝2n＋1－n－2，
所以cn＝(－1)n＝(－1)n＝(－1)n，
则Dn＝－－＋＋－－＋…＋(－1)n＝－2＋(－1)n，
即Dn＝－2＋(－1)n.
18．(12分)在①b(1＋cos A)＝asin B；②bcos ＝asin B；③asin C＝ccos这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题．
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知________(只需填序号)．
(1)求A；
(2)若a＝，b＋c＝4，求△ABC的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
解 (1)选①：由正弦定理得sin B(1＋cos A)＝sin Asin B，
又sin B≠0，
∴1＋cos A＝sin A，即sin A－cos A＝1，所以2sin＝1，则sin＝，
又0
选②：由正弦定理得sin Bcos ＝sin Asin B，又sin B≠0，
∴cos ＝sin A，由π－A＝B＋C，
得sin ＝2sin cos ，又sin ≠0，
∴cos ＝，又0
选③：由正弦定理得sin Asin C＝sin Ccos，又sin C≠0，
∴sin A＝cos＝cos A＋sin A，
∴sin A＝cos A，
则tan A＝，又0
(2)由(1)及余弦定理知，cos A＝＝，又a＝，b＋c＝4，
∴＝－1＝，即＝，可得bc＝3，
∴S△ABC＝bcsin A＝.
19．(12分)第五代移动通信技术(简称5G)是具有高速率、低时延和大连接特点的新一代宽带移动通信技术，它具有更高的速率、更宽的带宽、更高的可靠性、更低的时延等特征，能够满足未来虚拟现实、超高清视频、智能制造、自动驾驶等用户和行业的应用需求．某机构统计了A，B，C，D，E，F共6家公司在5G通信技术上的投入x(千万元)与收益y(千万元)的数据，如下表：
投入x(千万元)
5
7
8
10
11
13
收益y(千万元)
11
15
16
22
25
31
(1)若x与y之间线性相关，求y关于x的经验回归方程．并估计若投入15千万元，收益大约为多少千万元？(精确到0.01)
(2)现6家公司各派出一名代表参加某项宣传活动，该活动在甲，乙两个城市同时进行，6名代表通过抛掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪个城市参加活动，规定：每人只抛掷一次，掷出正面向上的点数为1,3,5,6的去甲城市，掷出正面向上的点数为2,4的去乙城市．求：
①A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率；
②求6位代表中去甲城市的人数少于去乙城市的人数的概率．(用最简分数作答)
参考数据及公式：iyi＝1 186，＝＝，＝－.
解 (1)＝＝9，
＝＝20，
＝＝≈2.52，
≈20－2.52×9＝－2.68，
则＝2.52x－2.68，
当x＝15时，＝35.12，
所以当投入15千万元时，收益大约为35.12千万元．
(2)①设“某位代表去甲城市参加活动”为事件A，则P(A)＝，
所以A公司派出的代表去甲城市参加活动的概率为，
②设“6位代表中去甲城市参加活动的人数少于去乙城市参加活动的人数”为事件B，
P(B)＝C06＋C15＋C24＝.
20．(12分)(2023·永州模拟)在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PB＝BD＝PD＝4，PA＝4.
(1)证明：PC⊥平面ABCD；
(2)如图，取BC的中点E，在线段DE上取一点F使得＝，求平面PAF与平面PAC夹角的大小．
(1)证明 因为AB＝AD＝4，BD＝4，所以AB2＋AD2＝BD2，所以AB⊥AD，
又因为四边形ABCD为菱形，所以四边形ABCD为正方形，
因为AB＝4，PB＝4，PA＝4，所以AB2＋PB2＝PA2，所以AB⊥PB，
因为PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面BPC，所以AB⊥平面BPC，又因为PC⊂平面BPC，所以AB⊥PC，
因为AD＝4，PD＝4，PA＝4，所以AD2＋PD2＝PA2，所以AD⊥PD，
因为PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面PCD，所以AD⊥平面PCD，又因为PC⊂平面PCD，所以AD⊥PC，
因为AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥平面ABCD.
(2)解 由(1)知，CD，CB，CP两两垂直，所以以C为坐标原点，CD，CB，CP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
在△PBC中，PC＝＝4，
则A(4,4,0)，B(0,4,0)，C(0,0,0)，D(4,0,0)，E(0,2,0)，P(0,0,4)，
所以＝(－4,2,0)，＝(0，－4,0)，＝(4,4，－4)，
因为＝，则＝＝，＝＋＝，
设平面PAF的法向量为m＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得x＝－2，z＝－1，得m＝(－2,1，－1)，
又由(1)知，底面ABCD为正方形，
所以AC⊥BD，
因为PC⊥平面ABCD，所以PC⊥BD，
因为AC∩PC＝C，AC，PC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，
所以＝(4，－4,0)是平面PAC的一个法向量，
设平面PAF与平面PAC的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈m，〉|＝＝＝，
所以平面PAF与平面PAC夹角的大小为.
21．(12分)已知A′，A分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，B，F分别是C的上顶点和左焦点．点P在C上，满足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2－.
(1)求C的方程；
(2)过点F作直线l(与x轴不重合)交C于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值．
(1)解 因为PF⊥A′A，故可设P(－c，y0)，因为AB∥OP，故kAB＝kOP，即－＝－，解得y0＝.
又点P在椭圆C上，故＋＝1，解得a2＝2c2＝2a2－2b2，故a＝b＝c.
又|FA′|＝2－，故|FA′|＝a－c＝(－1)c＝2－，故c＝，a＝2，b＝.
故C的方程为＋＝1.
(2)证明 因为椭圆C的方程为＋＝1，故F(－，0)，A(2,0)，由题意知，直线l的斜率不为0，故可设l：x＝ty－.
联立可得(t2＋2)y2－2ty－2＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝－.
故k1k2＝·
＝
＝
＝
＝
＝＝－，
所以k1k2为定值－.
22．(12分)(2023·承德模拟)已知函数f(x)＝ex－ax2－2.
(1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若f(x)＋e－x≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝e时，f(x)＝ex－ex2－2，所以f′(x)＝ex－2ex，故k＝f′(1)＝－e.
又f(1)＝－2，所以切点坐标为(1，－2)，
故函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＋2＝－e(x－1)，即y＝－ex＋e－2，
所以切线与坐标轴的交点坐标分别为(0，e－2)，，
故所求三角形的面积为×(e－2)×＝＝＝＋－2.
(2)由f(x)＋e－x≥0，得ex＋e－x－ax2－2≥0恒成立，
令g(x)＝ex＋e－x－ax2－2，则g(－x)＝g(x)，所以g(x)为偶函数．
故只要求当x≥0时，g(x)≥0恒成立即可．
g′(x)＝ex－e－x－2ax，
设h(x)＝ex－e－x－2ax(x≥0)，故h′(x)＝ex＋e－x－2a(x≥0)，
设H(x)＝ex＋e－x－2a(x≥0)，则H′(x)＝ex－e－x(x≥0)，
显然H′(x)在[0，＋∞)上单调递增，故H′(x)≥H′(0)＝0，
即H(x)在[0，＋∞)上单调递增，H(0)＝2－2a.
当a≤1时，H(0)＝2－2a≥0，则有h(x)在[0，＋∞)上单调递增，故h(x)≥h(0)＝0，
则g(x)在[0，＋∞)上单调递增，故g(x)≥g(0)＝0，符合题意；
当a>1时，H(0)＝2－2a<0，又H(ln 2a)＝>0，故存在x0∈(0，ln 2a)，使得H(x0)＝0，
故h(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增．
当x∈(0，x0)时，h(x)
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