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数学-2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）02(考试及解析版)
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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由可得：，解得：，
由可得：，解得：或，
所以，，
所以
故选：D.
2．已知，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】C
【详解】因为，则等价于，
又因为在定义域内单调递增，则等价于，
即等价于，故“”是“”的充要条件.
故选：C.
3．已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由的定义域为，，
则，即，
所以，
因为，所以函数在上单调递增，
当，当，
故函数的值域为.
故选：C．
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】易知，，，而，故，
又因为，，故，即，
所以，
故选：D.
5．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（Kch）曲线是几何中最简单的形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线，……在分形几何中，若一个图形由个与它的上一级图形相似，且相似比为的部分组成，则称为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【详解】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，
则其相似的分形维数是，
故选：D.
6．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】C
【详解】
，
而，
当且仅当，即取等.
故选：C.
7．若函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为函数有两个极值点，
又函数的定义域为，导函数为，
所以方程由两个不同的正根，且为其根，
所以，，，
所以，
则
，
又，即，可得，
所以或（舍去），
故选：C.
8．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，，
即有解，
先求与相切时，
过定点，的导数，
设切点为，则由导数可知，
所以，解得，
即切点为，此时切线斜率，
作出函数图象，如图，
由图象可知，当时，存在存在，使得成立.
故选：B
多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）
9．下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，则
B．命题的否定是：
C．若且，则
D．若，则实数
【答案】AB
【详解】对A，，则，又，则，，故A正确；
对B，命题的否定是：，故B正确；
对C，，因为且，故，即，故C错误；
对D，当，时，不成立，故D错误；
故选：AB
10．下列结论中，正确的是（ ）
A．若，，则的最小值为8
B．若，则函数的最小值为
C．已知正数a，b满足，则
D．已知，，且，则
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，，所以，，且，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故A正确；
对于B，若，则，则，则，当且仅当，即时取等号，所以函数的最大值为，故B错误．
对于C，因为正数a，b满足，所以，且，，所以，当且仅当时等号成立，故C正确.
对于D，∵，，且，∴，∴，∴，当且仅当取等号，故D正确.
故选：ACD．
11．已知函数，令，则（ ）
A．或时，有1个零点
B．若有2个零点，则或
C．的值域是
D．若有3个零点，且，则的取值范围为
【答案】BCD
【详解】由函数，画出函数的图象，如图所示，
由函数，则的零点，即，
即函数与的交点横坐标，
对于A中，当时，函数没有零点，所以A错误；
对于B中，要使得函数有2个零点，即函数与有两个不同的交点，
结合图象，可得或，所以B正确；
对于C中，由函数的图象，可得函数的值域为，所以C正确；
对于D中，由有3个零点，且，
可得，
由，即，所以，可得，
又由，解得，
所以的取值范围为，所以D正确.
故选：BCD.
12．已知函数，，则（ ）
A．函数在上存在唯一极值点
B．为函数的导函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
D．若，则的最大值为
【答案】BCD
【详解】对于A：，令，则，
令，解得：，令，解得：，故在单调递增，在单调递减，
故，故在单调递增，函数在上无极值点，故A错误；
对于B：，令，则，
当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，即，
又时，，作出函数的图象，如图：
若函数有两个零点，得 有两个实根，得函数的图象与直线有两个交点，
由图可知，，故B正确；
对于C：由B得：在上恒成立，则在单调递增，则不等式恒成立，等价于恒成立，故，
设，则，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，故，则实数的最小值为，故C正确；
对于D：若，则，
即，
∵，∴，，，
由A知，在上单调递增，故，
所以，
设，则，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，此时，
故的最大值是，故D正确；
故选：BCD
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．已知函数，则的值为______.
【答案】7
【详解】由题意，函数，
则.
故答案为：.
14．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为________．
【答案】2
【详解】函数，求导得，依题意，，又，
消去a得：，而，解得，
所以的值为2.
故答案为：2
15．已知命题，使得“成立”为真命题，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【详解】因为命题，使得“成立”为真命题，
当时，，则，故成立；
当时，，解得：；
当时，总存在；
综上所述：实数a的取值范围为.
故答案为：
16．设表示不超过的最大整数，如.已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】设，则有且只有4个根.
当时，,
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，.
当时，，，
当时，，，
故函数的图象如图所示：
因为，由图可知.
故答案为:.
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）
17．设全集，，．
(1)当a＝1时，求，；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【详解】（1）令可得，解得，
所以，或
当时，，
所以，
或.
（2）由“”是“”的充分不必要条件可得，集合是集合的真子集，
又，
所以，解得，
故实数a的取值范围为．
18．已知函数（a，b为常数）且方程有两个实根为．
(1)求函数的解析式；
(2)设，解关于x的不等式：．
【详解】（1）将代入，
可得：，解得，
则，
因为，则，即符合题意，
所以.
（2）由（1）可得：，整理得，
则，
令，解得或或，
且，可得或，
所以不等式的解集为.
19．已知 （实数为常数）．
(1)当时，求函数的定义域，判断奇偶性，并说明理由；
(2)若不等式当时均成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）当时，，
则或，解之得或，
即，显然定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性；
（2）当时，，为单调递增函数，
故，
令，则，
故，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，
故，所以，
即的取值范围为.
20．某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）．
(1)如上图所示，分别写出国内市场的日销售量、国外市场的日销售量与第一批产品A的上市时间t的关系式；
(2)第一批产品A上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？
【详解】（1）当时，设，
则有，解得，所以，
当时，设，
则有，解得，所以，
综上，
设，
则有，解得，
所以；
（2）设每件产品的利润为，日销售利润为，
当时，设，
则有，解得，所以，
当时，，
综上，
所以，
当时，，
所以函数在上递增，
所以，
当时，，
则，
当时，，
综上所述，，
所以第天这家公司的日销售利润最大，最大是万元.
21．已知函数．求的单调区间．
【详解】当时，,
,的单调递增区间是，
单调递减区间是．
当时，,
当时， ,的单调递增区间是和，
,单调递减区间是．
当时，,的单调递增区间是．
当时，得单调递增区间是和，
单调递减区间是.
22．已如．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)判断极值点个数，并说明理由；
(3)解不等式．
【详解】（1）函数的定义域为，导函数，
所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为1，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）设，则，
令，可得，又为上的增函数，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，，
所以存在使得，
当时，，即，函数在上单调递增，
当时，，即，函数在上单调递减，
当时，，即，函数在上单调递增，
所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，
所以函数有两个极值点；
（3）因为函数在上单调递增，，，
所以当时，不等式的解为，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上的最小值为，
因为，，
所以，
所以当时，不等式的解为，
所以不等式的解集为.
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
单项选择题（本大题共8题，每小题5分，共计40分。每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的）
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由可得：，解得：，
由可得：，解得：或，
所以，，
所以
故选：D.
2．已知，则“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【答案】C
【详解】因为，则等价于，
又因为在定义域内单调递增，则等价于，
即等价于，故“”是“”的充要条件.
故选：C.
3．已知函数的定义域为，且当时，，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由的定义域为，，
则，即，
所以，
因为，所以函数在上单调递增，
当，当，
故函数的值域为.
故选：C．
4．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】易知，，，而，故，
又因为，，故，即，
所以，
故选：D.
5．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它研究的几何对象具有自相似的层次结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变，具有很多美妙的性质.其中科赫（Kch）曲线是几何中最简单的形.科赫曲线的产生方式如下：如图，将一条线段三等分后，以中间一段为边作正三角形并去掉原线段生成1级科赫曲线“”，将1级科赫曲线上每一线段重复上述步骤得到2级科赫曲线，同理可得3级科赫曲线，……在分形几何中，若一个图形由个与它的上一级图形相似，且相似比为的部分组成，则称为该图形分形维数.那么科赫曲线的分形维数是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【详解】由题意曲线是由把全体缩小的4个相似图形构成的，
则其相似的分形维数是，
故选：D.
6．已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．8D．9
【答案】C
【详解】
，
而，
当且仅当，即取等.
故选：C.
7．若函数有两个极值点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为函数有两个极值点，
又函数的定义域为，导函数为，
所以方程由两个不同的正根，且为其根，
所以，，，
所以，
则
，
又，即，可得，
所以或（舍去），
故选：C.
8．已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，，
即有解，
先求与相切时，
过定点，的导数，
设切点为，则由导数可知，
所以，解得，
即切点为，此时切线斜率，
作出函数图象，如图，
由图象可知，当时，存在存在，使得成立.
故选：B
多项选择题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，漏选得2分，多选或错选不得分）
9．下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，则
B．命题的否定是：
C．若且，则
D．若，则实数
【答案】AB
【详解】对A，，则，又，则，，故A正确；
对B，命题的否定是：，故B正确；
对C，，因为且，故，即，故C错误；
对D，当，时，不成立，故D错误；
故选：AB
10．下列结论中，正确的是（ ）
A．若，，则的最小值为8
B．若，则函数的最小值为
C．已知正数a，b满足，则
D．已知，，且，则
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，，所以，，且，则，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故A正确；
对于B，若，则，则，则，当且仅当，即时取等号，所以函数的最大值为，故B错误．
对于C，因为正数a，b满足，所以，且，，所以，当且仅当时等号成立，故C正确.
对于D，∵，，且，∴，∴，∴，当且仅当取等号，故D正确.
故选：ACD．
11．已知函数，令，则（ ）
A．或时，有1个零点
B．若有2个零点，则或
C．的值域是
D．若有3个零点，且，则的取值范围为
【答案】BCD
【详解】由函数，画出函数的图象，如图所示，
由函数，则的零点，即，
即函数与的交点横坐标，
对于A中，当时，函数没有零点，所以A错误；
对于B中，要使得函数有2个零点，即函数与有两个不同的交点，
结合图象，可得或，所以B正确；
对于C中，由函数的图象，可得函数的值域为，所以C正确；
对于D中，由有3个零点，且，
可得，
由，即，所以，可得，
又由，解得，
所以的取值范围为，所以D正确.
故选：BCD.
12．已知函数，，则（ ）
A．函数在上存在唯一极值点
B．为函数的导函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是
C．若对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为
D．若，则的最大值为
【答案】BCD
【详解】对于A：，令，则，
令，解得：，令，解得：，故在单调递增，在单调递减，
故，故在单调递增，函数在上无极值点，故A错误；
对于B：，令，则，
当时，，当时，，故在上为减函数，在上为增函数，故，即，
又时，，作出函数的图象，如图：
若函数有两个零点，得 有两个实根，得函数的图象与直线有两个交点，
由图可知，，故B正确；
对于C：由B得：在上恒成立，则在单调递增，则不等式恒成立，等价于恒成立，故，
设，则，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，故，则实数的最小值为，故C正确；
对于D：若，则，
即，
∵，∴，，，
由A知，在上单调递增，故，
所以，
设，则，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，此时，
故的最大值是，故D正确；
故选：BCD
三、填空题（每小题5分，共计20分）
13．已知函数，则的值为______.
【答案】7
【详解】由题意，函数，
则.
故答案为：.
14．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则的值为________．
【答案】2
【详解】函数，求导得，依题意，，又，
消去a得：，而，解得，
所以的值为2.
故答案为：2
15．已知命题，使得“成立”为真命题，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【详解】因为命题，使得“成立”为真命题，
当时，，则，故成立；
当时，，解得：；
当时，总存在；
综上所述：实数a的取值范围为.
故答案为：
16．设表示不超过的最大整数，如.已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】设，则有且只有4个根.
当时，,
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以当时，.
当时，，，
当时，，，
故函数的图象如图所示：
因为，由图可知.
故答案为:.
四、解答题（解答题需写出必要的解题过程或文字说明，17题10分，其余各题每题各12分）
17．设全集，，．
(1)当a＝1时，求，；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【详解】（1）令可得，解得，
所以，或
当时，，
所以，
或.
（2）由“”是“”的充分不必要条件可得，集合是集合的真子集，
又，
所以，解得，
故实数a的取值范围为．
18．已知函数（a，b为常数）且方程有两个实根为．
(1)求函数的解析式；
(2)设，解关于x的不等式：．
【详解】（1）将代入，
可得：，解得，
则，
因为，则，即符合题意，
所以.
（2）由（1）可得：，整理得，
则，
令，解得或或，
且，可得或，
所以不等式的解集为.
19．已知 （实数为常数）．
(1)当时，求函数的定义域，判断奇偶性，并说明理由；
(2)若不等式当时均成立，求实数的取值范围．
【详解】（1）当时，，
则或，解之得或，
即，显然定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性；
（2）当时，，为单调递增函数，
故，
令，则，
故，
由对勾函数的性质可知在上单调递减，
故，所以，
即的取值范围为.
20．某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天内全部售完．该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系（国内外市场相同）．
(1)如上图所示，分别写出国内市场的日销售量、国外市场的日销售量与第一批产品A的上市时间t的关系式；
(2)第一批产品A上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？
【详解】（1）当时，设，
则有，解得，所以，
当时，设，
则有，解得，所以，
综上，
设，
则有，解得，
所以；
（2）设每件产品的利润为，日销售利润为，
当时，设，
则有，解得，所以，
当时，，
综上，
所以，
当时，，
所以函数在上递增，
所以，
当时，，
则，
当时，，
综上所述，，
所以第天这家公司的日销售利润最大，最大是万元.
21．已知函数．求的单调区间．
【详解】当时，,
,的单调递增区间是，
单调递减区间是．
当时，,
当时， ,的单调递增区间是和，
,单调递减区间是．
当时，,的单调递增区间是．
当时，得单调递增区间是和，
单调递减区间是.
22．已如．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)判断极值点个数，并说明理由；
(3)解不等式．
【详解】（1）函数的定义域为，导函数，
所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为1，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）设，则，
令，可得，又为上的增函数，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
又，，，
所以存在使得，
当时，，即，函数在上单调递增，
当时，，即，函数在上单调递减，
当时，，即，函数在上单调递增，
所以为函数的极大值点，为函数的极小值点，
所以函数有两个极值点；
（3）因为函数在上单调递增，，，
所以当时，不等式的解为，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上的最小值为，
因为，，
所以，
所以当时，不等式的解为，
所以不等式的解集为.
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