2021-2022学年陕西省西安市莲湖区高二（下）期末数学试卷（文科）（Word解析版）

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2021-2022学年陕西省西安市莲湖区高二（下）期末数学试卷（文科）

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数，在复平面内对应的点分别为，，则复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 已知变量和变量的线性相关系数为，变量和变量的线性相关系数为，且，，则(    )

A. 和之间呈正线性相关关系，且和的线性相关程度强于和的线性相关程度
B. 和之间呈负线性相关关系，且和的线性相关程度强于和的线性相关程度
C. 和之间呈负线性相关关系，且和的线性相关程度弱于和的线性相关程度
D. 和之间呈正线性相关关系，且和的线性相关程度弱于和的线性相关程度

4. 函数在上的图象大致为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 使“或”成立的一个充分不必要条件是(    )

A.  B. 或
C. 或 D.

6. 已知，，，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约的人近视，而该校大约有的学生每天玩手机超过，这些人的近视率约为现从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 现有个相同的小球，分别标有数字，，，，，从中有放回的随机抽取两次，每次抽取一个球，记：事件表示“第一次取出的球数字是”，事件表示“第二次取出的球数字是”，事件表示“两次取出的球的数字之和为”，事件表示“两次取出的球的数字之和为”，则下列选项正确的是(    )

A. 事件和事件相互独立 B. 事件和事件相互独立
C. 事件和事件相互独立 D. 事件和事件相互独立

9. 某高中生周末自主学习时，进行了一次数学探究活动，他将一天的日期与星期用有序数对表示，比如某个月日是星期六，日是星期日，就分别用和表示，他构造了函数，其中表示日期数，表示星期数，若，则下列叙述正确的是(    )

A. 该月日是星期二，有五天是星期二 B. 该月日是星期一，有四天是星期二
C. 该月日是星期三，有四天是星期三 D. 该月日是星期二，有四天是星期二

10. 已知命题：幂函数在上单调递增；命题：若函数为偶函数，则的图象关于直线对称．则下列命题为假命题的是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，其中且，则下列结论正确的个数是(    )
    函数是奇函数；
    函数有零点；
    函数没有最值；
    当时，函数在其定义域上为增函数．

A.  B.  C.  D.

12. 设函数的定义域为，满足，且当时，若对任意，都有，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若复数满足是虚数单位，则______．
14. 执行如图所示的程序框图，则输出的______．

15. 若函数同时满足：
    对于定义域上的任意，恒有；
    对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．
    请写出一个“理想函数”的解析式为______．
16. 已知表示不超过的最大整数，如，，若函数，，则函数的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知函数，且为奇函数．
    Ⅰ求实数的值；
    Ⅱ求函数的值域．
18. 从某校学生中随机抽取了名男生和名女生，其中对滑冰运动没有兴趣的有人，女生中有人对滑冰运动有兴趣．为探究学生对滑冰运动的兴趣与性别的关系，列出列联表如表：

Ⅰ请将上述列联表补充完整；
Ⅱ能否有的把握认为对滑冰运动有无兴趣与性别有关？
附：，其中．

19. 新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到科研投入亿元与产品收益亿元的数据统计如表：

Ⅰ计算，的相关系数，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高
Ⅱ求出关于的线性回归方程，并预测研发投入亿元时产品的收益．
参考数据：，，．
附：相关系数公式：，回归直线方程的斜率，截距．

20. 为弘扬中国传统文化，某单位举行了诗词大赛，经过初赛，最终甲、乙两人进入决赛，争夺冠军决赛规则如下：比赛共设有五道题；双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；若答对，自己得分，否则对方得分；先得分者获胜．若在决赛中甲、乙答题的正确率分别为、，且他们每次答题的结果相互独立．
    Ⅰ若甲先答题，求甲以：获得冠军的概率；
    Ⅱ若乙先答题，求甲获得冠军的概率．
21. 已知．
    Ⅰ当时，求函数的定义域及不等式的解集；
    Ⅱ若函数只有一个零点，求实数的取值范围．
22. 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为：其中为参数以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为
    Ⅰ求曲线的极坐标方程；
    Ⅱ点在曲线上运动，求的最大值．
23. 已知．
    Ⅰ当时，求不等式的解集；
    Ⅱ若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：集合，，
则．
故选：．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：复数，在复平面内对应的点分别为，，
，，
，
复数在复平面内对应的点位于第四象限．
故选：．
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
和之间呈正线性相关关系，和之间呈负线性相关关系，，
和的线性相关程度弱于和的线性相关程度，
故选：．
由相关系数的定义依次对四个选项判断即可．
本题考查了相关系数的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：在上，满足，
可得为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A；
由时，，可排除选项C；
由，可排除选项B，
故选：．
首先判断的奇偶性，可得其图象的对称性，再计算与的关系，可得结论．
本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：对于：不能推出或，故A错误，
对于：或，不能推出或，由或，可得或，故B正确，
对于：或是或的充要条件，故C错误，
对于：不能推出或，故D错误，
故选：．
分别对，，，各个选项进行分析，从而得出答案．
本题考查了充分必要条件，本题属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，，，
，，，
．
故选：．
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：从该校学生中任意调查一名学生他是近视记为事件，且，
从该校学生中任意调查一名学生他每天玩手机超过记为事件，
由题可知：
，
从该校近视的学生中任意调查一名学生，则他每天玩手机超过的概率为：
．
故选：．
利用条件概率公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意，，
对于，，故选项A错误；
对于，，故选项B错误；
对于，，故选项C正确；
对于，，故选项D错误．
故选：．
利用相互独立事件的概率乘法公式，对四个选项逐一分析判断即可．
本题考查了相互独立事件的判断，解题的关键是掌握相互独立事件的概率公式，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意，若，即本月日是星期一，列表可得：

由此可得：该月日是星期二，有四天是星期二，、B错误；
该月日是星期六，有五天是星期六，C正确，D错误；
故选：．
根据题意，由的含义以及，列表表示，据此分析选项可得答案．
本题考查合情推理的应用，注意理解的定义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据题意，对于，幂函数，在上单调递增，是真命题；
对于，的图象有的图象向左平移一个单位得到，若函数为偶函数，则的图象关于直线对称，是真命题；
则是假命题；
故选：．
根据题意，分析两个命题、的真假，有复合命题真假的判断方法分析可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及函数的对称性，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：因为，其中且，定义域为，所以，所以为奇函数，所以，，故，正确；
当时，函数中的和都为增函数，故在定义域上为增函数，故正确；
当时，由上面可知在定义域上为增函数，故没有最值；当时，函数中的和都为减函数，故在定义域上为减函数，故没有最值，故正确．
故选：．
利用函数的单调性、奇偶性以及指数函数的性质进行判断．
本题考查了函数的奇偶性、单调性、最值及分类讨论思想，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了函数与方程的综合运用，属于中档题．
由，得，分段求解析式，得值域，结合图象可得结论．

【解答】

解：

因为，
，
时，，
时，，；
时，，，
当时，由，解得或，
若对任意，都有，则．
故选B．

13.【答案】 

【解析】

【分析】利用复数的运算性质、模的计算公式即可得出．
本题考查了复数的运算性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
【解答】复数满足，
，
，
．
则．
故答案为：．  

14.【答案】 

【解析】解：模拟程序的运行，可得：
，，
满足判断框内的条件，执行循环体，，，
满足判断框内的条件，执行循环体，，，
此时，不满足判断框内的条件，退出循环，输出的值为．
故答案为：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

15.【答案】，答案不唯一 

【解析】解：若对于定义域上的任意，恒有，则，
即是奇函数；
对于定义域上的任意，，当时，恒有，
则为减函数，
则同时满足是奇函数且时奇函数的函数，
则，满足条件，
故答案为：，答案不唯一．
根据条件得函数为奇函数，同时也是减函数，根据函数奇偶性和单调性的性质进行求解即可．
本题主要考查函数解析式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键，是基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，表示不超过的最大整数，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
由已知结合指数函数的性质及已知定义可求值域，进而求得最小值．
本题以新定义为载体，主要考查函数最小值的求解，属于基础题．
 

17.【答案】解：由题意得，
又为奇函数，
所以，
所以；
由知，
所以，
故的值域为． 

【解析】由已知先求出，然后结合奇函数性质可求；
由已知先求出的解析式，然后结合二次函数的性质可求．
本题主要考查了奇函数的性质及二次函数的值域的求解，属于中的题．
 

18.【答案】解：Ⅰ列联表如表：

Ⅱ，
有的把握认为对滑冰运动有无兴趣与性别有关． 

【解析】Ⅰ根据题意，补充列联表即可；Ⅱ根据卡方公式计算比较即可．
本题考查了独立性检验的相关程度问题，是基础题．
 

19.【答案】解：Ⅰ，，．
．
所以具有较高的线性相关程度．
Ⅱ，
，，
，
关于的线性回归方程为，
将代入线性回归方程，
得，
预测研发投入亿元时产品的收益为亿元． 

【解析】Ⅰ由所给数据求出，，从而求出，再根据相关系数公式求出相关系数，即可判断；
Ⅱ求出、，即可得到回归直线方程，再令，即可得到预测值；
本题主要考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．
 

20.【答案】解：Ⅰ甲以：获得冠军，第题甲回答正确，其概率为，第题乙回答错误，其概率为，第题甲回答正确其概率为．
若甲先答题，甲以：获得冠军的概率为；
Ⅱ易知乙答题时，甲得分的概率为；甲答题时，乙得分的概率为，
当乙先答题时，甲以：获得冠军的概率为，
甲以：获得冠军的概率为，
甲以：获得冠军的概率为，
甲获得冠军的概率为． 

【解析】Ⅰ甲以：获得冠军，包括第题甲回答正确，第题乙回答错误，第题甲回答正确三种情况，分别计算即可；
Ⅱ乙先答题，甲获得冠军的概率包括：甲以：获得冠军，甲以：获得冠军，，甲以：获得冠军三种情况，分别计算即可．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用．
 

21.【答案】解：当时，，的定义域为．
，即．
函数的定义域为．
不等式等价于
，即，
不等式的解集为；
Ⅱ，
函数只有一个零点，
，只有一解，将代入，得，
关于的方程只有一个正根．
当时，，符合题意；
当时，若有两个相等的实数根，
则，解得，此时符合题意，
若方程有两个相异实数根，
则，即，
两根之和与积均为，
方程两根只能异号，
，即，此时方程只有一个正根，符合题意，
综上，实数的取值范围是：或 

【解析】Ⅰ将代入，求解即可；
Ⅱ把函数只有一个零点转化为关于的方程只有一个正根，再分类讨论的取值求解结论即可．
本题考查对数函数的性质应用以及分类讨论思想的应用，考查转化思想，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ已知曲线的参数方程为：其中为参数，转换为直角坐标方程；
根据，转换为极坐标方程为，
整理得．
Ⅱ由Ⅰ可知：曲线是以为圆心，为半径的圆；
由于点的极坐标为，转换为直角坐标为；
所以，
所以． 

【解析】Ⅰ直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
Ⅱ利用两点间的距离公式的应用，再利用点和圆的位置关系的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

23.【答案】解：当时，
不等式等价于或解得或．
当时，不等式的解集为；
，即，
关于的不等式恒成立，
等价于，
，，即．
数的取值范围为． 

【解析】用零点分区间法去绝对值号，即可求解；
利用绝对值的三角不等式求出，转化为求不等式，解得的取值范围．
本题考查不等式的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题．