2初中数学.一元二次方程的概念及解法.第02讲

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       知识点基本要求略高要求较高要求一元二次方程了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项系数；了解一元二次方程的根的意义能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值 一元二次方程的解法理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一元二次方程；会用方程的根的判别式判别方程根的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式做简单的变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题 板块一  一元二次方程的解法 ☞因式分解法（也称降次法）因式分解法的根据：如果两个因式的乘积等于，那么这两个因式至少有一个为，反过来，如果两个因式中有一个因式为，那么它们之积为，即，则或或例如：，则或 ☞因式分解法解一元二次方程的方法及步骤 解一元二次方程的思想方法：降次 因式分解法的一般步骤：⑴将方程化为一元二次方程的一般形式⑵把方程的左边分解为两个一次因式的积⑶令每个因式为，得到两个一元一次方程⑷解这两个一元一次方程得原方程的解 【例1】例如：对于方程，张明的解法如下：解：方程整理得①方程两边同时除以得；②去括号得；③移项并合并同类项得，，∴④你认为张明解方程的过程有错误么？如果有，请指出错在哪一步？并说明错误的原因，并选择合适的方法解方程【解析】略【答案】有错误；第②步出错，当时，方程两边不能同时除以解：方程整理得提取公因式得，整理得  ∴或 【例2】用因式分解法解下列方程⑴；   ⑵；      ⑶； 【解析】略【答案】⑴原方程变形为：，即整理得∴或，∴，⑵原方程变形为∴整理得，∴或，∴或⑶原方程可化为∴或∴， 【例3】解关于的方程：【解析】换元法【答案】设，则原方程可变形为整理得∴或∴或当时，，∴当时，，∴∴， 【巩固】采用因式分解法解下列方程⑴                 ⑵⑶              ⑷【解析】略【答案】⑴整理得∴，∴或，∴或⑵设，则原方程可变形为：整理得∴或 ∴或∴或⑶移项得∴整理得∴或⑷移项得提取公因式得∴或∴或 【巩固】采用恰当的方法解下列方程⑴⑵⑶【解析】略【答案】⑴，；⑵，；⑶， 板块二  可转化为一元二次方程的分式方程 ☞解分式方程【例4】解方程【解析】把分式方程化为一元二次方程，然后解答【答案】等式两边同时乘以得：        整理得：解得： 经检验：是原方程的解∴原方程的解为或【巩固】解下列分式方程⑴＋＝；⑵；⑶ 【解析】注意检验根【答案】⑴整理得：，解得，经检验：，是原方程的解∴原方程的解为，⑵整理得：，解得，经检验得：，是原方程的解∴原方程的解为，⑶整理得：，解得，经检验得： 不是原方程的解，舍∴原方程的解为 ☞换元法 【例5】解分式方程： 【解析】换元法【答案】设，则原方程可变形为整理得：，解得或经检验得或均为方程的解当时，则，整理得：解得，经检验，，均为原方程的解当时，则，整理得：解得：，经检验，，均为原方程的解∴原方程的解为，，， 【巩固】【解析】略【答案】解：原方程可整理为令，则原方程变形为解得或当时，则，整理得解得，经检验，是原方程的解当时，则，整理得解得，经检验：，是原方程的解∴原方程的解为，，， ☞分式方程的增根 【例6】如果关于的方程有一个增根是，则的值是多少？此时它的根是多少？【解析】略【答案】解：整理得：∵原方程有一个增根是∴是方程的解因此将代入得∴∴方程为解得，经检验：不是原方程的解，舍∴原方程的解为 板块三 简单的无理方程 1.无理方程的定义：根号内含有未知数的方程2.有理方程和无理方程统称为代数方程，整式方程与分式方程又统称为有理方程，我们在初中阶段常见的整式方程有：一元一次方程，二元一次方程，一元二次方程。3.无理方程的解法思路与步骤：①去根号；②解有理方程；③检验根；④写出原方程的根 【例7】判断下列方程是否为无理方程⑴；⑵；⑶；⑷．【解析】略【答案】无理方程有： ⑶、⑷ 【例8】 解下列无理方程：会用平方法去根号解无理方程并会验根⑴;     ⑵;     ⑶;【解析】略【答案】⑴整理得：两边平方得：整理得：，解得，经检验不是原方程的解，舍∴原方程的解为⑵整理得两边平方，整理得：两边平方得，解得经检验：是原方程的解∴原方程的解为⑶整理得：两边平方得：整理得：解得：，经检验不是原方程的解∴原方程的解为 ☞无理方程的增根 【例9】已知关于的方程有一个增根，⑴求的值．⑵求方程的根【解析】类似问题需要注意的是，不能将代入方程，因为是它的增根，所以必须先将无理方程转化为整式方程，然后再将代入整式方程中【答案】⑴整理得两边平方得：整理得：两边平方得：①将代入方程①，整理得解得，经检验：当时，是原方程的根，不符合题意，舍∴⑵将代入方程①，整理得：解得，经检验是原方程的根∴原方程的根为 ☞换元法解无理方程 【例10】解无理方程（换元法）【解析】略【答案】令，则，∴则原方程变形为，整理得解得，∵  ∴则，整理得，解得，经检验，均为原方程的解∴原方程的解为， 【巩固】解无理方程：【解析】略【答案】设，则，∴∴原方程可变形为，整理得，解得或∵∴，则，平方得，整理得解得或经检验或均是原方程的解∴原方程的解为或   板块四 含字母参数方程的解法 解含字母参数方程的时候，最主要的是分类讨论的基本思想的应用。 【例11】解方程【解析】因为题目并没有明确说明该方程一定是一元二次方程，所以需要讨论二次项系数是否为0【答案】若，则；若，则，故， 【例12】已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有几个？【解析】对二次项系数进行分类讨论【答案】当时，，解得，符合题意要求。当时，则，整理得解得，，因为原方程的两个根均为整数∴也为整数，因此或∴或或或综上所述，整数的值有个，分别为，，，，   【例13】解关于的方程： 【解析】化为一般式：，然后讨论二次项系数是否为【答案】原方程可整理为  ①⑴当时，则或；若，则方程①可整理为，解得若，则方程①可整理为⑵当时，且时，解得或 【例14】已知关于的一元二次方程，请找出的一个合适的值，使这个方程的两个根都是整数，并求出这两个根。【解析】略【答案】原方程可变形为，整理得，因此只需满足是整数即可，将代入即可求出方程的解，因此答案不唯一略方法二，也可以直接采用赋值法。   1．     用因式分解法解下列方程 ⑴；⑵；⑶；⑷【解析】注意题目要求【答案】⑴,；⑵，；⑶，；⑷， 2．     解方程： 【解析】略【答案】，，， 3．     解方程：【解析】略【答案】 4．     解方程【解析】略【答案】或  1．     用恰当的方法解下列方程⑴；    ⑵；  ⑶；⑷；          ⑸【解析】略【答案】⑴，；⑵，；⑶，；⑷；⑸当时，方程的解为；当时，方程的解为，2．     解方程，这是一元四次方程，根据该方程的特点，它的通常解法是：设，那么，于是原方程可化为 ①，解这个方程得，．当时，，；当时，．故原方程有四个根：，，，．⑴ 填空：由原方程得到①的过程中，利用       法达到降次的目的，体现了      的数学思想；⑵ 解方程．【解析】⑴ 换元，转化；⑵ 设，原方程可化为，∴，．当时，，解得，；当时，，方程无解．故原方程的根为，．【答案】⑴ 换元，转化  ⑵， 3．     解方程：【解析】略【答案】 4．     解方程：．【解析】令，则原方程化为．解之得（舍去）或．于是得到原方程的解为或．【答案】或