06、初中数学.一元一次方程的概念及解法.第06讲

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    内容基本要求略高要求较高要求方程知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型能够根据具体问题中的数量关系，列出方程能运用方程解决有关问题方程的解了解方程的解的概念会用观察、画图等手段估计方程的解 一元一次方程了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方程能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解决有关问题一元一次方程的解法理解一元一次方程解法中的各个步骤能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程的解会运用一元一次方程解决简单的实际问题  板块一  等式与方程的概念☞等式的概念：用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则． ☞等式有如下几种类型(仅做了解)．恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式．条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程需要才成立．矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如，．等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号．【例1】         下列各式中，哪些是等式⑴   ⑵  ⑶  ⑷  ⑸  ⑹【解析】等式的概念【答案】⑵⑷⑸⑹  ☞方程和它的解方程：含有未知数的等式叫方程，如，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未知数方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。 ☞关于方程中的未知数和已知数：已知数：一般是具体的数值，如中(的系数是1，是已知数．但可以不说)．5和0是已知数，如果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有、、、、等表示．未知数：是指要求的数，未知数通常用、、等字母表示．如：关于、的方程中，、、是已知数，、是未知数．【例2】         下列各式中哪些是方程⑴     ⑵      ⑶       ⑷  ⑸          ⑹         ⑺       ⑻【解析】方程的概念【答案】⑶⑷⑹⑺⑻  【巩固】判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由⑴      ⑵      ⑶⑷         ⑸      ⑹【解析】判断一个式子是不是方程，一要看是否为等式，二要看是否含未知数．【答案】⑴是方程；⑵是方程；⑶不是方程；⑷不是方程；⑸是方程；⑹是方程  【例3】         检验下列各数是不是方程的解⑴；  ⑵【解析】方程的解（注意严格要求学生的书写格式，不能直接将数值代入方程，如，这样写不对的原因在于未检验之前，并不知道是否是方程的解）【答案】⑴把分别代入原方程的左边和右边，得左边，右边∴左边右边 ∴是方程的解⑵把分别代入原方程的左边和右边，得左边，右边∵左边右边∴不是方程的解  【巩固】检验下列各数是不是方程的解⑴    ⑵    ⑶【解析】方程的解【答案】⑴把分别代入原方程的左边和右边，得左边，右边∴左边右边∴是方程的解⑵把分别代入原方程的左边和右边，得左边，右边∵左边右边∴不是方程的解⑶把分别代入原方程的左边和右边，得左边，右边∴左边右边∴是方程的解  【例4】         若为关于的一元一次方程，的解，则的值是         【解析】将代入原方程中，即可求解【答案】  【巩固】关于的方程的根是，则等于          【解析】略【答案】  板块二  等式的性质☞等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式，所得结果仍是等式．若，则，☞注意：⑴在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行． 即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边⑵等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．⑶在等式变形中，以下两个性质也经常用到：对称性，即：如果，那么．传递性，即：如果，，那么．又称为等量代换易错点：等号左右互换的时候忘记变符号【例5】         根据等式的性质填空：(1)，则______；           (2)，则       ；(3)，则_________；         (4)，则__________．【解析】(1)，在等式两端同时加上；(2)，在等式两端同时加上；(3)，在等式的两端同时乘以；(4)，在等式的两端同时乘以．【答案】(1) (2) (3) ；(4)  【巩固】下列变形中，不正确的是(    )A．若，则                B．若则C．若，则          D．若，则【解析】根据等式的性质二，除数不能为【答案】A 【巩固】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．⑴如果，那么____________；根据                 ⑵如果，那么_________；根据                 ⑶如果，那么______；根据                 ⑷如果，那么_____________；根据                 【解析】略【答案】⑴，等式的性质1；⑵，等式的性质1；⑶，等式的性质2；⑷，等式的性质2  板块三  一元一次方程的概念☞一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数． ☞一元一次方程的形式：最简形式：方程(，，为已知数)叫一元一次方程的最简形式．标准形式：方程(其中，，是已知数)叫一元一次方程的标准形式． ☞注意：⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．⑵方程与方程是不同的，方程的解需要分类讨论完成【例6】         下列各式中：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻．哪些是一元一次方程？【解析】方程、等式的概念【答案】(6)、(8)是一元一次方程．其他均不是   【巩固】下列方程是一元一次方程的是(    )．A．   B．   C．    D．【解析】略【答案】B  【巩固】在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号填入圆圈⑴中，属于一次方程的序号填入圆圈⑵中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．①：②；③：④；⑤：⑥．【解析】一元一次方程的定义【答案】如图【例7】         若是一元一次方程，那么          【解析】一元一次方程的定义【答案】  【巩固】若关于的方程是一元一次方程，则         【解析】【答案】  【巩固】若关于的方程是一元一次方程，则         ，方程的解是       【解析】一元一次方程的定义【答案】原方程化为一般形式得，则，∴，  【巩固】已知关于的方程是一元一次方程，则、需要满足的条件为         【解析】一元一次方程的定义【答案】且，即且  板块四  一元一次方程的解法☞解一元一次方程的一般步骤：1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 ．温馨提示：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．2．去括号：一般地，先去 小括号，再去 中括号，最后去 大括号．温馨提示：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．3．移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边， 不含未知数的项  移到方程的另一边．温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项．4．合并同类项：把方程化成的形式．温馨提示：字母和其指数不变．5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数( )，得到方程的解 ．温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒．【例10】     下列等式中变形正确的是（     ）A.若，则    B. 若，则C. 若，则    D. 若，则【解析】考查去分母解方程第一步骤，学生很容易出现漏乘等问题造成失分【答案】D  【例11】     【解析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤解答【答案】．  【巩固】解方程：⑴       ⑵【解析】略【答案】⑴；⑵  【巩固】解方程：(1)；(2)；(3) 【解析】略【答案】(1)；(2)；(3)．  ☞先变形、再解方程本类型题：需要先利用等式的基本性质，将小数化为整数，然后再进行解方程计算【例12】     解方程：．解：原方程可化为去分母，得                             ．根据等式的性质(    )去括号，得                             ．移项，得                               ．根据等式的性质(    )合并同类项，得                         ．系数化为，得                          ．根据等式的性质(    )【解析】注意解方程的基本步骤与等式的性质【答案】去分母，得．根据等式的性质1去括号，得．移项，得．根据等式的性质1合并同类项，得．系数化为，得．根据等式的性质2  【例13】     【解析】略【答案】原方程可变形为去分母得去括号得移项、合并得∴  【巩固】解下列方程：⑴；⑵；⑶⑷⑸⑹⑺⑻【解析】解这类方程通常先应用分数的基本性质，将系数化为整数⑴原方程可化为，而后解得；⑵原方程可化为去分母解得；⑶原方程可化为，解得．⑷原方程可化为，则，解得．⑸原方程可化为，解得．⑹解得．⑺解得．⑻解得．【答案】略  ☞逐层去括号含有多重括号时，去括号的顺序可以从内向外，也可以从外向内。【例14】     解方程：【解析】原方程可变形为整理得解得【答案】  【巩固】解方程：．【解析】，，，．【答案】  【例15】     解方程：【解析】注意一定去括号的顺序，解得．【答案】  【巩固】解方程：【解析】略【答案】  【巩固】解下列方程：(1)(2)【解析】(1)略；(2)原方程可化为：，，．【答案】（1）  （2）  ☞整体思想注意观察方程中，完全一样的整式【例16】     解方程：【解析】原方程可变为：，即，又，所以，即．【答案】  【巩固】方程【解析】按常规去括号整理后再解，显然较繁，应用整体思想求解，，括号，移项，可解得．【答案】  【巩固】解方程：【解析】这一方程在变换过程中，宜将作为一个整体．方程两边同乘以6，得，，，．【答案】   下列各式不是方程的是：(    )A．        B．        C．        D． 【解析】略【答案】C．  解方程⑴             ⑵ ⑶               ⑷【解析】略【答案】⑴ ．⑵ ．⑶．⑷．  解方程：【解析】原方程可化为，解得．【答案】  解方程 ：⑴⑵【解析】⑴，，．⑵按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1的步骤解答可得：．【答案】⑴．⑵  解方程：【解析】略【答案】解得  解方程：【解析】原方程可化为，解得．【答案】．  求方程的解．【解析】原方程可化为：，注意在运算过程中把视为一个整体，解得．【答案】