14初中数学.因式分解的基本方法(二).第14讲

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       内容基本要求略高要求较高要求因式分解了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系 会用提公因式法、公式法（直接用公式不超过两次）进行因式分解（指数是正整数） 能运用因式分解的方法进行代数式的变形，解决有关问题  一、十字相乘法十字相乘法：一个二次三项式，若可以分解，则一定可以写成的形式，它的系数可以写成，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a，b，c，使得：，，， 若不是一个平方数，那么二次三项式就不能在有理数范围内分解 二、分组分解分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法.  一、十字相乘【例 1】分解因式： ⑴     ⑵⑶     ⑷【解析】 ⑴；⑵；⑶；⑷  【巩固】 分解因式：【解析】  【巩固】 分解因式：【解析】   【例 2】分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【例 3】分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【例 4】分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【例 5】分解因式：⑴；                  ⑵【解析】 ⑴把看作一个整体，利用十字相乘法分解即可.          ⑵将看作整体，则原式.  【巩固】 分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【例 6】分解因式：【解析】 把a视为未知数，其它视为参数。 原式    【巩固】 分解因式：【解析】 ，利用十字相乘思想  【巩固】 分解因式：【解析】 ，利用十字相乘思想 【巩固】 分解因式：  【例 7】多项式x2+px+12可分解为两个一次因式的积，整数p的值是　　（写出一个即可）．【解析】把12分解为两个整数的积的形式，p等于这两个整数的和．【答案】12=（±2）×（±6）=（±3）×（±4）=（±1）×（±12），所以p=（±2）+（±6）=±8，或（±3）+（±4）=±7，或（±1）×（±12）=±13．∴整数p的值是±7（或±8或±13）．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解题的关键．  【例 8】一个长方形的面积为m2+m﹣2（m＞1），其长为m+2，则宽为　　．【解析】根据长方形的面积=长×宽，列式求解，然后利用十字相乘法分解因式，再进行除法计算．【答案】（m2+m﹣2）÷（m+2）=（m+2）（m﹣1）÷（m+2）=m+1，∴宽为m﹣1．【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，多项式除单项式，先利用十字相乘法分解因式，然后再进行整式除法运算比较简单．  【例 9】如果二次三项式x2﹣ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a的值为（只填写一个你认为正确的答案即可）　　．【解析】根据题意，﹣a是15分解成两个因数的和，15可以分解两个因数有几种，任意选取一种就可以．【答案】3×5=15，﹣a=3+5，a=﹣8．【点评】本题考查十字相乘法因式分解，不过本题比较灵活，答案不唯一．   【例 10】我们已经学过用面积来说明公式．如：（x+y）2=x2+2xy+y2就可以用下图甲中的面积来说明．①请写出图乙的面积所说明的公式x2+（p+q）x+pq=　（x+p）（x+q）　；②请利用①中得到的公式因式分解：x2﹣7x+10=　（x﹣2）（x﹣5）　．【分析】利用面积分割法可证，大长方形的面积=三个长方形的面积+小正方形的面积，分别用代数式表示即可．【答案】根据题意可知，①x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）；②∵（﹣2）×（﹣5）=10，（﹣2）+（﹣5）=﹣7∴x2﹣7x+10=（x﹣2）（x﹣5）．【点评】本题考查了十字相乘法的几何意义，利用了面积分割法，根据面积相等列式是解题的关键．  【例 11】当m=　　时，二元二次六项式6x2+mxy﹣4y2﹣x+17y﹣15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．【解析】本题先研究x，将x项和常数项进行十字分解，然后设出两个因式，相乘得到的结果与原多项式比较，可列出方程，从而达到结果，然后得到m的值．【答案】利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy﹣4y2﹣x+17y﹣15中6x2﹣x﹣15三项应当分解为：（3x﹣5）（2x+3）；现在要考虑y，只须先改写作（3x﹣5+ay）（2x+3+by）；然后根据﹣4y2，17y这两项式，即可断定是：解得：a=4，b=﹣1，所以（3x+4y﹣5）（2x﹣y+3）=6x2+5xy﹣4y2﹣x+17y﹣15就是原六项式，所以m=5．故答案为5．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．  二、分组分解【例 12】分解因式：【解析】 解法一：按字母的幂来分组．解法二：按字母的幂来分组．原式的6项是平均分配的，或者分成三组，每组两项；或者分成两组，每组三项．     如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配．  特别注意结合选主元思想，在系数上分析分组！  【巩固】 分解因式：【解析】 法1：法2 ：  【巩固】 分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【例 13】分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】    【巩固】 分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【例 14】分解因式：【解析】 原式，体会利用系数分组引导整体因式分解  【巩固】 分解因式：【解析】 或  【巩固】 分解因式：【解析】 原式  【巩固】 分解因式：【解析】 原式= 【巩固】 分解因式：【解析】 原式  【例 15】分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【补充】分解因式：【解析】 原式  【巩固】 分解因式：【解析】 解根据a的幂来分组是可以行得通的，恰好能用上公式(2)，并为下一步提公因式奠好基础．  【巩固】 分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】   【巩固】 分解因式：【解析】 原式  【例 16】（2009•常德）因式分解：m2﹣mn+mx﹣nx=　　．【解析】被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．m2﹣mn可提公因式，分为一组；mx﹣nx可提公因式，分为一组．【答案】m2﹣mn+mx﹣nx=（m2﹣mn）+（mx﹣nx）=m（m﹣n）+x（m﹣n）=（m﹣n）（m+x）．【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．要考虑分组后还能进行下一步分解．  【例 17】分解因式：a3+a2b﹣ab2﹣b3=　　．【分析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题前两项、后两项都有公因式，且分解后还能继续分解，故使前两项一组，后两项一组．【答案】a3+a2b﹣ab2﹣b3=a2（a+b）﹣b2（a+b）=（a+b）（a2﹣b2）=（a+b）2（a﹣b）．【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．此题主要用到了提取公因式法和平方差公式进行因式分解．  【例 18】将ab﹣a+b﹣1因式分解，其结果是　　．【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中有a的是前两项，可以考虑把前两项分为一组．【答案】ab﹣a+b﹣1=（ab﹣a）+（b﹣1）=a（b﹣1）+（b﹣1）=（a+1）（b﹣1）．【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题中有a的是前两项，可以考虑把前两项分为一组．  【例 19】）因式分解：（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）=　　．【解析】首先把式子整理，可知是将一个四项式进行因式分解，考虑运用分组分解法．此时后三项提取﹣1后b2﹣4b+4可组成完全平方公式，可把后三项分为一组．【答案】（a+b）（a﹣b）+4（b﹣1）=a2﹣b2+4b﹣4=a2﹣（b﹣2）2=（a+b﹣2）（a﹣b+2）．【点评】本题考查了平方差公式，分组分解法分解因式，要先把式子整理，再分解因式．对于一个四项式用分组分解法进行因式分解，难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可组成完全平方公式，可把后三项分为一组．  【例 20】分解因式（ax+by）2+（bx﹣ay）2=　　．【解析】先根据完全平方公式展开，合并同类项后再两两分组，然后两次提取公因式分解即可．【答案】（ax+by）2+（bx﹣ay）2=a2x2+b2y2+2abxy+b2x2+a2y2﹣2abxy=a2x2+b2x2+b2y2+a2y2，=（a2+b2）x2+（a2+b2）y2=（a2+b2）（x2+y2）．故答案为：（a2+b2）（x2+y2）．【点评】本题考查了分组分解法分解因式，先根据完全平方公式计算，合并同类项后再分组分解因式．  【例 21】分解因式：x4﹣5x2+4x=　　．【分析】首先提取公因式x，然后变为x（x3﹣x﹣4x+4），接着利用分组分解法即可解决问题．【答案】x4﹣5x2+4x=x（x3﹣x﹣4x+4）=x[x（x2﹣1）﹣4（x﹣1）]=x[x（x﹣1）（x+1）﹣4（x﹣1）]=x（x﹣1）（x2+x﹣4）．故答案为：x（x﹣1）（x2+x﹣4）．【点评】此题主要考查了利用分组分解法分解因式，首先提取公因式，接着把﹣5x变为﹣x﹣4x，然后提取公因式即可解决问题．  【例 22】若x2﹣y2﹣x+y=（x﹣y）•A，则A=　　．【分析】观察该多项式，可以把x﹣y看作一个整体进行分解．平方差公式：（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．【答案】原式=（x2﹣y2）﹣（x﹣y），=（x﹣y）（x+y）﹣（x﹣y），=（x﹣y）（x+y﹣1）．因此A=x+y﹣1．【点评】本题考查了分组分解法分解因式，当一个多项式为四项以上时，首先要合理分组，然后运用提公因式法或公式法完成因式分解．  【例 23】已知整数a、b、c满足不等式a2+b2+c2+43≤ab+9b+8c，则a、b、c分别等于　　．【解析】由已知条件构造完全平方公式，得（a﹣）2+3（﹣3）2+（c﹣4）2≤0，然后由非负数的性质求解．【答案】由已知得a2+b2+c2+43﹣ab﹣9b﹣8c≤0，配方得（a﹣）2+3（﹣3）2+（c﹣4）2≤0，又∵（a﹣）2+3（﹣3）2+（c﹣4）2≥0，∴（a﹣）2+3（﹣3）2+（c﹣4）2=0，∴a﹣=0，﹣3=0，c﹣4=0，∴a=3，b=6，c=4．故答案为：a=3，b=6，c=4．【点评】此题考查用分组分解法进行因式分解．难点是配方成非负数的形式，再根据非负数的性质求解．  【例 24】若|m+4|与n2﹣2n+1互为相反数，把多项式x2+4y2﹣mxy﹣n分解因式．　【解析】由题意可知|m+4|与n2﹣2n+1互为相反数，即|m+4|+（n﹣1）2=0，根据非负数的性质求出m，n=1，再把m，n的值代入所求代数式利用分组分解法和完全平方公式、平方差公式分解因式即可．【答案】由题意可得|m+4|+（n﹣1）2=0，∴，解得，∴x2+4y2﹣mxy﹣n=x2+4y2+4xy﹣1=（x+2y）2﹣1=（x+2y+1）（x+2y﹣1）．【点评】本题主要考查公式法、分组分解法分解因式，利用非负数的性质求出m、n的值是解题的关键．  【例 25】先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：例1：1+ax+ax（1+ax）=（1+ax）（1+ax）=（1+ax）2；例2：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2=（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2=（1+ax）2+ax（1+ax）2=（1+ax）2（1+ax）=（1+ax）3（1）分解因式：1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n=　；（2）分解因式：x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004（答题要求：请将第（1）问的答案填写在题中的横线上）【解析】首先把式子整理，可知是将一个多项式进行因式分解，考虑运用分组分解法．（1）可以把1+ax分成一组，看作一个整体，反复利用提公因式法就可求解．（2）可以把x﹣1分成一组，看作一个整体，反复利用提公因式法就可求解．【答案】（1）1+ax+ax（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n=（1+ax）（1+ax）+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n=（1+ax）2+ax（1+ax）2+…+ax（1+ax）n=（1+ax）2（1+ax）+…+ax（1+ax）n=（1+ax）3+…+ax（1+ax）n=（1﹣ax）n（1+ax），=（1+ax）n+1；（2）x﹣1﹣x（x﹣1）+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，=（x﹣1）（1﹣x））+x（x﹣1）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，=（x﹣1）2（﹣1+x）2﹣x（x﹣1）3+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，=（x﹣1）2（1﹣x）+…﹣x（x﹣1）2003+x（x﹣1）2004，=（x﹣1）2005．【点评】本题考查了分组分解法分解因式，关键是将原式转化为（x﹣1）n的形式，解题时要有构造意识和想象力．把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（　　） A、（x+y+1）（x﹣y﹣1）  B、（x+y﹣1）（x﹣y﹣1） C、（x+y﹣1）（x+y+1）  D、（x﹣y+1）（x+y+1）【解析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解．【答案】原式=x2﹣（y2+2y+1）=x2﹣（y+1）2=（x+y+1）（x﹣y﹣1）．故选A．【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题后三项可以构成完全平方式，首要考虑的就是三一分组．  因式分解：1﹣4x2﹣4y2+8xy，正确的分组是（　　） A、（1﹣4x2）+（8xy﹣4y2）  B、（1﹣4x2﹣4y2）+8xy C、（1+8xy）﹣（4x2+4y2）  D、1﹣（4x2+4y2﹣8xy）【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中﹣4x2﹣4y2+正好符合完全平方公式，应考虑2，3，4项为一组．【答案】1﹣4x2﹣4y2+8xy=1﹣（4x2+4y2﹣8xy）．故选D．【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是一、三分组．由于2，3，4项符合完全平方式，故采取一三分组．  分解因式：x2﹣2xy+y2+x﹣y的结果是（　　） A、（x﹣y）（x﹣y+1）  B、（x﹣y）（x﹣y﹣1） C、（x+y）（x﹣y+1）  D、（x+y）（x﹣y﹣1）【解析】当被分解的式子是四，五项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中x2﹣2xy+y2正好符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组，x﹣y为一组．【答案】x2﹣2xy+y2+x﹣y=（x2﹣2xy+y2）+（x﹣y）=（x﹣y）2+（x﹣y）=（x﹣y）（x﹣y+1）．故选A．【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用什么方法分组，本题中本题中x2﹣2xy+y2正好符合完全平方公式，应考虑1，2，3项为一组．x﹣y为一项．需要同学们熟知完全平方式公式，即（a±b）2=a2±2ab+b2．  把多项式ac﹣bc+a2﹣b2分解因式的结果是（　　） A、（a﹣b）（a+b+c）  B、（a﹣b）（a+b﹣c） C、（a+b）（a﹣b﹣c）  D、（a+b）（a﹣b+c）【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解．本题中a2﹣b2正好符合平方差公式，应考虑为一组，ac﹣bc可提公因式，为一组．【答案】ac﹣bc+a2﹣b2=c（a﹣b）+（a﹣b）（a+b）=（a﹣b）（a+b+c）．故选A．【点评】本题考查用分组分解法进行因式分解．难点是采用两两分组还是三一分组．本题中a2﹣b2正好符合平方差公式，应考虑为一组，ac﹣bc可提公因式，为一组．  若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（　　） A、正数  B、负数 C、非负数  D、非正数【解析】解此题时可把多项式m3﹣m2﹣m+1分解因式，根据分解的结果即可判断．【答案】多项式m3﹣m2﹣m+1=（m3﹣m2）﹣（m﹣1）=m2（m﹣1）﹣（m﹣1）=（m﹣1）2（m+1），∵m＞﹣1，∴（m﹣1）2≥0，m+1＞0，∴m3﹣m2﹣m+1=（m﹣1）2（m+1）≥0，故选C．【点评】本题考查了分组分解法分解因式，合理分组是分解因式的关键．