【暑假初高衔接】初三数学暑假预习（人教A版2019）-第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元达标高分突破必刷卷（培优版）

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第二章《一元二次函数、方程和不等式》单元达标高分突破必刷卷(培优版）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．已知，给出以下不等式：①；②；③，则其中正确的个数为（       ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】【分析】对于①：利用基本不等式证明；对于②、③：取特殊值否定结论.【详解】对于①：因为，所以，所以，即.故①正确；对于②：取满足，但是，所以不一定成立.故②错误；对于③：取满足，但是，，此时，所以不一定成立.故③错误.故选：B2．一元二次不等式对一切实数恒成立，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据二次函数开口向上，且判别式小于0计算即可【详解】由题，一元二次不等式对一切实数恒成立则 ，即，解得故选：B3．已知，且，则的最小值是（       ）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式可求解.【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.故选：A4．设，，且，则的最大值为（       ）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值.【详解】∵，，，当且仅当，时取等号，∴．故选：B．5．关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（       ）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】当时可知；当时，采用分离变量法可得，结合基本不等式可求得；综合两种情况可得结果.【详解】当时，不等式为恒成立，；当时，不等式可化为：，，（当且仅当，即时取等号），；综上所述：实数的取值范围为.故选：B.6．已知实数x，y满足，，则（       ）A．1≤x≤3 B．2≤y≤1 C．2≤4x+y≤15 D．xy【答案】C【解析】【分析】将已知等式两式相加判断A；由题意可得，解不等式组判断B；由结合已知判断C；由结合已知判断D.【详解】∵，，∴两式相加，得，即1≤x≤4，故A错误；∵，∴，解得，故B错误；∵，又，∴，故C正确；∵，又且 ，∴，故D错误.故选：C.7．若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.【详解】解：命题“”为假命题，其否定为真命题，即“”为真命题．令，则，即，解得，所以实数x的取值范围为.故选：C8．已知，下列不等式中正确的是（       ）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】由，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.【详解】解：对于选项A，因为，而的正负不确定，故A错误；对于选项B，因为，所以，故B错误；对于选项C，依题意，所以，所以，故C正确；对于选项D，因为与正负不确定，故大小不确定，故D错误；故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（       ）A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D．【答案】BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性质求解.【详解】解：因为a，b，c满足c<a<b，且ac<0，所以，所以ac（a-c）<0 ，c（b-a）<0，，，故选：BCD10．已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（       ）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】【分析】不等式变形后，确定相应二次方程的根有大小得不等式解集．【详解】不等式变形为，又，所以，时，不等式解集为空集；，，时，，因此解集可能为ABD．故选：ABD．11．已知，且，则下列不等式中一定成立的是（       ）A． B． C． D．【答案】BC【解析】【分析】由不等式的性质与基本不等式判断.【详解】，，A错；，，成立，即B正确；，得，当且仅当时取等号，同理，，当且仅当时取等号，又，即不同时等于1，，C正确；当时，，D错.故选：BC12．下列关于不等式的解集讨论正确的是（       ）A．当时，的解集为B．当时，的解集为C．当时，的解集为D．无论a取何值时，的解集均不为空集【答案】CD【解析】【分析】由一元二次不等式的解法逐一判断可得选项.【详解】解：对于A，当时，原不等式为，解得，故A不正确；对于B，当时，原不等式为，解得或，故B不正确；对于C，当时，原不等式为，解得或，故C正确；对于D，由二次函数，开口向上，所以无论a取何值时，不等式均有解，故D正确；故选：CD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知p：，q：.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】解一元二次不等式分别求得、中的取值范围，根据是的充分不必要条件可知对应的的取值范围是对应的的取值范围的真子集，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】本题考查充分条件与必要条件的判断.q：，即.p：，即.因为p是q的必要不充分条件，所以且等号不同时成立，解得.故答案为：14．已知且，则的取值范围___________.【答案】【解析】【分析】根据不等式的性质进行求解.【详解】由，由，相加得.故答案为：.15．已知x>0，y>0，x＋2y＋xy＝9，则x＋2y的最小值为________.【答案】##【解析】【分析】利用基本不等式代入已知条件，根据化简为不等式，解不等式即可，．【详解】由题可得： （当且仅当时取等号），整理得：，即：，又：，故，所以： （当且仅当时取等号,此时），则：的最小值是．故答案为：16．（1）已知，则取得最大值时的值为________．（2）已知，则的最大值为________．（3）函数的最小值为________．【答案】          1     ##【解析】【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件；（2）结构为和的形式转化为积的形式，并使积为定值，同时要检验等号成立的条件；（3）二次式除以一次式求最值，一般二次式用一次式表示出来，然后再分离，最后用基本不等式求解即可.【详解】解：（1），当且仅当，即时，取等号．故答案为：.（2）因为，所以，则,当且仅当，即时，取等号．故的最大值为1.故答案为：1.（3）.当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知，，（1）.求证：；（2）若，求证：；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用作差法可求两者的大小关系.（1）利用（1）的结果可证明不等式成立.【详解】证明：（1）∵∴；（2）由（1）得，故，而，所以.18．已知函数的定义域为，且在区间上有最大值5，最小值1．(1)求实数a，b的值；(2)若函数，求的解集．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由二次函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，则从而可求出a，b的值，（2）由（1）得，然后分，和三种情况解不等式(1)∵，在上单调递减，在上单调递增，∴即解得(2)由（1）知，①时，的解集为；②时，，则或，故时，的解集为或；③时，，则或，故时，的解集为或．综上，当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为或．19．命题 p：方程x2+x+m=0有两个负数根；命题q：任意实数x∈R， mx2－2mx＋1>0成立；若p与q都是真命题，求m取值范围.【答案】【解析】【分析】根据判别式以及韦达定理即可求解.【详解】对于 有两个负数根（可以为重根），即 ，并且由韦达定理 ，∴；对于恒成立，当时，符合题意；当时，则必定有且，得，所以；若p与q都是真命题，则.20．求解下列问题：(1)若，且，求的最小值；(2)若，且，求的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用1的代换结合基本不等式可求最小值.（2）因为，故可利用基本不等式求目标代数式的最小值.(1)因为，且，所以，则.当且仅当时，即时，也即时，上式取等号，故当时.(2)因为，且，所以，当且仅当吋，又，所以当且仅当时，上式取等号，故当时，，21．对于的一切值，求使恒成立的a的取值范围．【答案】【解析】【分析】构造函数，利用函数的图像来解决．【详解】解：令，①当时，恒成立；②当时，根据一次函数图像特点（图），要使对一切，恒成立，只要两端点处的函数值且即可．       且．综上，．【点睛】本题考查通过数形结合将不等式问题转化为函数问题，直观形象，属于基础题．22．冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为（单位：），经过市场调查了解到：每月土地占地费（单位：万元）与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则与分别为万元和万元.记两项费用之和为.(1)求关于的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．【答案】(1)(2)这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元【解析】【分析】（1）依题意设出，，然后根据已知求出，然后可得；（2）通过配凑使得积为定值，然后由基本不等式可得.(1)∵每月土地占地费（单位：万元）与成反比，∴可设，∵每月库存货物费（单位：万元）与（4x+1）成正比，∴可设，又∵在距离车站5km处建仓库时，与分别为12.5万元和7万元，∴，.∴∴.(2)当且仅当，即x＝6.5时等号成立，∴这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元．