【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三（升高一）暑假-第11讲《对数》讲学案（必修1）

第11讲  对数

       【学习目标】

1.理解对数的概念.

2.知道自然对数和常用对数.

3.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算.

4.知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算.

【基础知识】

知识点一 对数的概念

(1)对数的概念

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

(2)常用对数与自然对数

通常，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN，另外，在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.

知识点二 对数与指数的关系　 易得alogaN＝N，logaab＝b.

根据对数的定义，可以得到对数与指数之间的关系：

当a>0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.

知识点三 对数的有关性质　 对数的有关性质是解题的重要依据

(1)零和负数没有对数；

(2)1的对数为零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；

(3)底数的对数为1，即logaa＝1(a>0且a≠1).

知识点四 对数运算性质　熟记对数运算性质，切忌记混性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：

(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；

(2)loga＝logaM－logaN；

拓展：logamMn＝logaM(n∈R，m≠0)

知识点五 换底公式　 经常转化为常用对数和自然对数

对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).

特别地：logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).

   【考点剖析】

考点一：对数的定义及其应用

例1．使式子有意义的的取值范围是（       ）

A． B． C． D．且

【答案】D

【解析】

【分析】

对数函数中，底数大于0且不等于1，真数大于0，列出不等式，求出的取值范围.

【详解】

由题意得：，解得：且.

故选：D

考点二：指数式与对数式的互化

例2．将下列指数式与对数式互化：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

【答案】(1)；

(2)；

(3)；

(4)；

(5)；

(6)．

【解析】

【分析】

（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用指数式与对数式的互化公式直接求解作答.

(1)

因为，所以有：.

(2)

因为，所以有：.

(3)

因为，所以有：.

(4)

因为，所以有：.

(5)

因为，所以有：.

(6)

因为，所以有：.

考点三：对数的运算性质

例3．已知，那么用表示是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用对数的运算法则求解即可.

【详解】

，

故选:.

考点四：换底公式的应用

例4．________．

【答案】8

【解析】

【分析】

直接利用对数的运算性质及对数的换底公式，对已知式子进行化简即可求解．

【详解】

解：

，

故答案为：8．

考点五：利用对数运算法则化简与求值

例5．计算求值

(1)；

(2)；

(3)已知，求的值．

【答案】(1)44

(2)

(3)1

【解析】

【分析】

（1）由指数的运算法则计算

（2）由对数的运算法则计算

（3）将指数式转化为对数式后计算

(1)

；

(2)

；

(3)

，，

则，；

所以．

考点六：两边取对数思想在解题中的应用

例6．已知，求证：.

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

令，利用指数对数的互化和换底公式分别表示出，，，进而即可得到.

【详解】

设()，

则，，，

故.

        【真题演练】

1．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（       ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【答案】C

【解析】

【分析】

将代入函数结合求得即可得解.

【详解】

，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

【点睛】

本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.

2．已知，，，，则下列等式一定成立的是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【详解】

试题分析：相除得，又，所以.选B.

【考点定位】指数运算与对数运算.

3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是

（参考数据：lg3≈0.48）

A．1033 B．1053

C．1073 D．1093

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：设 ，两边取对数，，所以，即最接近，故选D.

【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，，.

4．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．

【答案】A

【解析】

由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.

【详解】

两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选A.

【点睛】

本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.

5．若，则          ．

【答案】

【解析】

【详解】

∵，∴，∴.

考点：对数的计算

6．lg0.01＋log216＝_____________.

【答案】2

【解析】

【详解】

lg0.01＋log216＝－2＋4＝2

考点：本题考查对数的概念、对数运算的基础知识，考查基本运算能力.

7．已知，，，则______

【答案】

【解析】

【分析】

根据换底公式得到，，，进而求出，再用换底公式求出.

【详解】

由，，得：，，，，所以

故答案为：

8．________．

【答案】

【解析】

【分析】

利用指数运算及对数运算法则进行计算.

【详解】

故答案为：7

9．若，则_________．

【答案】3

【解析】

【分析】

可根据已知条件，将对数化成指数关系，然后对等，找到a、b之间等量关系，带入到a、b、c三者关系中，找到b、c的关系，即可完成求解.

【详解】

因为，所以，，

此时，化简得，

所以，，

所以3.

故答案为：3.

10．求值：______.

【答案】7

【解析】

【分析】

利用指数式与对数式的互化，对数运算法则计算作答.

【详解】

.

故答案为：7

11．某化工集团生产的一种化工产品最初的杂质含量为64%，先进性除杂，每除杂一次杂质含量减少，要使杂质含量不超过1%，则过滤的次数至少为___________.（参考数据：）

【答案】5

【解析】

【分析】

结合题意，根据对数的运算性质即可求解.

【详解】

设过滤的次数至少为n次，则

，即

从而

即

所以

所以过滤的次数至少为5次.

故答案为：5.

       【过关检测】

一、单选题

1．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由换底公式和对数运算法则进行化简计算.

【详解】

由换底公式得：，，其中，，故

故选：C

2．已知，则（       ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

指数式化为对数式，得出结果.

【详解】

因为，所以.

故选：D

3．（     ）

A．3 B．1 C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用对数运算性质直接计算作答.

【详解】

故选：B

4．已知，则的值为（       ）

A．1 B．0 C． D．2

【答案】C

【解析】

【分析】

利用指数与对数互化的公式表示出，再利用换底公式和对数的运算性质化简计算.

【详解】

因为，所以，由换底公式和对数的运算性质可得.

故选：C

5．农业农村部于年月日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（       ）天能达到最初的倍．（参考数据：，，，．）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设经过天后蝗虫数量达到原来的倍，列出方程，结合对数的运算性质即可求解.

【详解】

由题意可知，蝗虫最初有只且日增长率为，设经过天后蝗虫数量达到原来的倍，

则，，，

,大约经过天能达到最初的倍．

故选：A

6．（       ）

A．5 B．3 C．2 D．0

【答案】B

【解析】

【分析】

利用对数运算公式进行计算.

【详解】

.

故选：B

7．已知 ，，则 （用 ， 表示）等于（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用换底公式和对数运算法则得到，，进而再用换底公式和对数运算法则表示出

【详解】

，，，

则

故选 ：D

二、多选题

8．以下运算错误的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根据对数的运算法则来进行判断，根据可以判断ABC，通过可以判断D选项

【详解】

根据对数的运算，从而判断A，C都错误，，从而判断B错误，，从而判断D正确.

故选：ABC

9．（多选）若，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【解析】

【分析】

根据对数和指数的互化计算出，然后逐项验证即可.

【详解】

∵，，∴，，∴，故A选项正确；，故B选项错误；

，故C选项错误；，故D选项正确，

故选：AD

10．(多选)下列指数式与对数式的互化中正确是（       ）

A．100＝1与lg1＝0 B．＝与log27＝－3

C．log39＝2与32＝9 D．log55＝1与51＝5

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根据指数运算和对数运算的法则，相互转化逐项判断即可.

【详解】

B选项中，＝⇔log27＝－.

故选：ACD

三、填空题

11．计算___________

【答案】##0.5

【解析】

【分析】

利用对数运算及指数式与对数式互化计算作答

【详解】

.

故答案为：

12．= ________

【答案】

【解析】

【分析】

根据对数函数换底公式及运算法则，指数运算法则进行计算.

【详解】

故答案为：

13．已知，，，则______

【答案】

【解析】

【分析】

根据换底公式得到，，，进而求出，再用换底公式求出.

【详解】

由，，得：，，，，所以

故答案为：

四、解答题

14．（1）．

（2）已知，，计算的值．

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据给定条件，利用指数运算法则计算作答.

（2）利用指数式与对数式互化求出n，代入并结合对数运算法则求解作答.

【详解】

（1）原式．

（2）由得：，而，

所以，.

15．（1）计算：

（2）若，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）利用分数指数幂运算法则分别对每一项进行化简，然后合并求解;

（2）先利用已知条件，把m、n表示出来，代入要求解的式子中，利用对数的运算法则化简即可.

【详解】

（1）原式

（2）因为，，所以，，

所以