【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三（升高一）暑假-第02讲《子集、全集、补集》讲学案（必修1）

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第02讲  子集、全集、补集       【学习目标】理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.在具体情境中，了解全集与补集的含义.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.【基础知识】知识点一   子集1.一般地如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,那么集合A为集合B的子集.,记作 A⊆B（或 B⊇A）,读作“A包含于B”（或“B包含A”）.2.规定：空集是任何集合的子集,即.3.子集的性质：（1）任何一个子集都是它本身的子集,即.（2）若,且,则.知识点二   韦恩图韦恩（Venn）图：为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为韦恩图. A是B的子集,可用下图表示：              知识点三  真子集1.如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集,记作A B（或B A）,读作：A真包含于B（或B真包含A）.2.真子集的性质（1）空集是任何非空集合的子集.（2）若A B,B C,则A C.知识点四   集合的相等与子集的关系1.如果A⊆B且B⊆A,则A=B.2.如果A=B,则A⊆B且B⊆A.知识点五   有限集合的子集个数若集合A中有n个元素,则集合A的所有子集的个数为2n,真子集个数为2n－1,非空子集个数2n－1,非空真子集个数为2n－2.知识点六   补集1.全集：在研究集合与集合之间的关系时,如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集,那么称这个给定的集合为全集,全集通常用表示.2.如果集合A是全集的一个子集,则由中不属于A的所有元素组成的集合,称为A在中的补集,记作.3. 数学表达式：.4.用Venn图表示（阴影部分）如图所示：   5. 给定全集的子集及其任意一个子集A,则①；②；③.    【考点剖析】考点一：集合的包含关系判断例1．①，②，③，④，其中正确的个数为(       )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系即可判断.【详解】正确；正确；不正确，左边是数集，右边是点集；不正确，左边是点集，右边是点集，但点不相同.故正确的有①②，共2个.故选：B.考点二：集合的相等例2．已知，.若，则______.【答案】【解析】【分析】根据集合与集合相等列式即可求解【详解】因为所以解之得：故答案为：考点三：空集的定义、性质及运算例3．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则，正确；③空集是任意集合的子集，故，正确；④空集没有任何元素，故，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.考点四：子集与真子集的个数问题例4．设集合，则集合的子集个数为________【答案】16【解析】【分析】先化简集合A，再利用子集的定义求解.【详解】解：，故A的子集个数为8，故答案为：16考点五：补集及其运算例5．已知集合，，则　　【答案】【解析】．考点六：集合关系中的参数取值问题例6．设非空集合，，．（Ⅰ）当时，求集合；（Ⅱ）当时，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）当时，，（Ⅱ）若，则有：由于，有，解得：，的取值范围为：．         【真题演练】1．已知集合，则满足条件的集合的个数为（   ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【详解】求解一元二次方程，得，易知.因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.2．已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则A． B． C． D．【答案】B【解析】【详解】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．故选B．3．已知集合，则中元素的个数为（       ）A．9 B．8 C．5 D．4【答案】A【解析】【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】当时，；当时，；当时，；所以共有9个，故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.4．已知集合，则（  ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为，所以，故选D.考点：集合的运算.5．设a,b∈R，集合，则=(       )A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】C【解析】【分析】利用集合中元素有意义，集合相等的意义列式计算作答.【详解】因，则，从而得，有，于是得，所以.故选：C6．已知集合，则的子集个数为（       ）A．3 B． C．7 D．8【答案】B【解析】【分析】先求出，再按照子集个数公式求解即可.【详解】由题意得：，则的子集个数为个.故选：B.7．设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（       ）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}【答案】C【解析】【分析】利用集合相等求解.【详解】解：因为，所以，解得或，的取值集合为，故选：C8．已知集合，且下列三个关系：①；②；③有且只有一个正确，则_______.【答案】【解析】【分析】根据集合相等的条件，列出、、所有的取值情况，再判断是否符合条件，求出、、的值后代入式子求值.【详解】由已知，若正确，则或，即或或或均与“三个关系有且只有一个正确”矛盾；若正确，则正确，不符合题意；所以正确，则有，故.故答案为：9．已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．【答案】或【解析】【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围.【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示， 或 要使，只需或，解得或．所以实数的取值范围或.故答案为：或         【过关检测】一、单选题1．下列集合中表示同一集合的是（       ）．A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】【分析】根据集合相等,检查集合中的元素是否一样即可判断.【详解】选项A，集合，为点集，而点与点为不同的点，故A错；选项C，集合为点集，集合为数集，故C错；选项D，集合为数集，集合为点集，故D错；选项B，集合，表示的都是“大于的实数”，为同一个集合．故选：B2．设集合，，则（       ）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】根据集合的描述确定、的元素，进而判断它们的包含关系即可.【详解】由且，即，而，所以为的子集，则.故选：A3．设集合，集合，若，则的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】直接由求解即可.【详解】由可得.故选：D.4．已知集合，集合．若，则实数m的取值集合为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据是的子集列方程，由此求得的取值集合.【详解】由于，所以，所以实数m的取值集合为.故选：C5．集合，，则M、P之间的关系为（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】用列举法表示集合、，即可判断两集合的关系；【详解】解：因为，，所以，故选：C6．已知，，若，则的值为(       )A．1或－1 B．0或1或－1 C． D．【答案】A【解析】【分析】A＝{－1，1}，若，则＝±1，据此即可求解﹒【详解】，，若，则＝1或－1，故a＝1或－1．故选：A．7．设，，若，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据集合的包含关系，列不等关系，解不等式即可.【详解】由题：，，则.故选：B二、多选题8．若，则(       )A． B． C． D．【答案】ABC【解析】【分析】根据题意可知集合B最少包含1，2两个元素，最多包含1，2，3或1，2，4三个元素.【详解】∵，∴B＝{1，2}或B＝{1，2，3}或B＝{1，2，4}.故选：ABC.9．下列关系式错误的是（       ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】由元素和集合之间的关系以及集合和集合之间的关系判断4个选项即可.【详解】A选项由于符号用于元素与集合间，是任何集合的子集，所以应为，A错误；B选项根据子集的定义可知正确；C选项由于符号用于集合与集合间，C错误； D选项是整数集，所以正确.故选：AC.10．以下满足的集合A有（       ）A． B． C． D．【答案】AC【解析】【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A，再去选项中选正确答案.【详解】由题意可知，集合A包含集合，同时又是集合的真子集，则所有符合条件的集合A为,,.选项BD均不符合要求，排除.故选：AC三、填空题11．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”，则的取值为____________．【答案】0【解析】【分析】根据题中定义，结合子集的定义进行求解即可.【详解】当时，，显然，符合题意；当时，显然集合中元素是两个互为相反数的实数，而集合中的两个元素不互为相反数，所以集合、之间不存在子集关系，不符合题意，故答案为：12．已知集合，，若，则实数的取值范围是__.【答案】【解析】【分析】由可知集合中的元素都在集合中，即把集合中的元素带入集合应该满足，从而得到的取值范围.【详解】解：，且，，解得，故的取值范围是.故答案为：.四、解答题13．已知集合，，若，求实数的取值范围．【答案】或【解析】【分析】分析得出，求得，对方程，计算得出，分、、三种情况讨论，在、的前题下 ，验证成立，在时，可得出，可求得实数的值，综合可得出实数的取值范围.【详解】因为，对于方程，.当时，，则，合乎题意；当时，，此时，合乎题意；当时，即当时，则，所以，，解得.综上所述，实数的取值范围是或.14．已知集合．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围；(3)若，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）由与，以及为的子集，确定出的范围即可；（2）由与，以及为的子集，确定出的范围即可；（3）分别求出与的补集，根据补集为补集的真子集，确定出的范围即可．(1)，；(2)，；(3)，，，，且，．