【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三（升高一）暑假-第01讲《集合的概念与表示》讲学案（必修1）

第01讲 集合的概念与表示

       【学习目标】

1、理解集合的含义，知道常用数集及其记法．

2、了解属于关系和集合相等的意义；初步了解有限集、无限集、空集的意义．

3、掌握集合的三种表示方法----列举法，描述法及图象法，并能正确地表示一些简单的集合．

【基础知识】

知识点一   集合的概念

(1)元素与集合：我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体叫集合.集合通常用大写字母表示.集合的元素通常用小写字母表示.

知识点二   集合与元素的关系

如果a是集合A的元素，记作，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，记作，读作“a不属于A”.

知识点三  集合中元素的特点

(1)确定性：集合的元素必须是确定的.

(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不相同的.

(3)无序性：集合中的元素可以任意排列.

知识点四  常用数集及其记法

所有非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N;

所有正整数组成的集合称为正整数集，记作N+或N*；

所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；

所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；

所有实数组成的集合称为实数集，记作R.

知识点五  集合的表示

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），放在大括号内，依此表示集合的方法称为列举法，如，等.

使用说明

①用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.

②如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.

③无限集有时也可用列举法表示.

(2)描述法：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质为集合 A的一个特征性质，此时集合A可以表示为，这种表示集合的方法称为特征性质描述法，简称描述法.

使用说明

①有些情况下，描述法中竖线“|”及其左边元素的形式均可省略，如{x|x是三角形}，也可表示为{三角形}.

②集合中所有在另一集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p(x)}.

知识点六  集合的分类

一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.我们把不含任何元素的集合称为空集，记作.例如，集合就是空集.

   【考点剖析】

考点一：集合的含义

例1．下列对象不能组成集合的是（       ）

A．不超过20的质数 B．的近似值

C．方程的实数根 D．函数的最小值

【答案】B

【解析】

根据集合的性质逐项判断.

【详解】

不超过20的质数构成集合；方程的实数根构成集合；函数的最小值构成集合.而的近似值标准不明确，不能组成集合.

故选：B

考点二：元素与集合关系的判断

例2．下列关系中，正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合的关系.

【详解】

对于A，，所以A错误；

对于B，不是整数，所以，所以B错误；

对于C，，所以C正确；

对于D， 因为不含任何元素，则，所以D错误.

故选：C.

例3．用符号“”和“”填空：

（1）______N；       （2）1______；       （3）______R；

（4）______；       （5）______N；       （6）0______．

【答案】                             

【解析】

【分析】

根据元素与集合的关系判断.

【详解】

由所表示的集合，由元素与集合的关系可判断

（1）（2）（3）（4）（5）（6）.

故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）（6）.

考点三：集合的确定性、互异性、无序性

例4．若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为___________.

【答案】2

【解析】

【分析】

利用集合的互异性，分类讨论即可求解

【详解】

因为a∈{1，a2﹣2a+2}，则：a=1或a=a2﹣2a+2，

当a=1时：a2﹣2a+2=1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；

当a≠1时：a=a2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；

故答案为：2

考点四：集合的表示：描述法

例5．用描述法表示下列集合：

(1)所有被3整除的整数组成的集合；

(2)不等式的解集；

(3)方程的所有实数解组成的集合；

(4)抛物线上所有点组成的集合；

(5)集合.

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

(5)且

【解析】

【分析】

根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解.

(1)

解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：

(2)

解：不等式的解集，用描述法可表示为：.

(3)

解：方程的所有实数解组成的集合，

用描述法可表示为：.

(4)

解：抛物线上所有点组成的集合，

用描述法可表示为：.

(5)

解：集合，用描述法可表示为：且.

考点四：集合的表示：列举法

例6．用列举法表示下列集合：

(1)中国国旗的颜色组成的集合；

(2)单词mathematics中的字母组成的集合；

(3)自然数中不大于10的质数组成的集合；

(4)同时满足的整数组成的集合；

(5)由＋ (a, b∈R)所确定的实数组成的集合.

【答案】(1){红，黄}

(2){m, a, t, h, e, i, c, s}

(3){2, 3, 5, 7}

(4){－1, 0, 1, 2}

(5){－2, 0, 2}

【解析】

【分析】

（1）中国国旗的颜色有红、黄两种，列举法表示即可；

（2）集合中的元素具有互异性，除去相同的字母，分析即得解；

（3）自然数中不大于10的质数有2, 3, 5, 7，列举法表示即可；

（4）求解不等式组，分析即得解；

（5）分析的正负，分类讨论即得解

(1)

由题意，中国国旗的颜色有红、黄两种

故中国国旗的颜色组成的集合为{红，黄}

(2)

集合中的元素具有互异性，除去相同的字母

单词mathematics中的字母组成的集合为{m, a, t, h, e, i, c, s}

(3)

自然数中不大于10的质数有2, 3, 5, 7

故自然数中不大于10的质数组成的集合为{2, 3, 5, 7}

(4)

故同时满足的整数有－1, 0, 1, 2

对应的集合为：{－1, 0, 1, 2}

(5)

由题意，

当时，＋；

当时，＋；

当时，＋；

当时，＋

故由＋ (a, b∈R)所确定的实数组成的集合为{－2, 0, 2}

        【真题演练】

1．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据数集的定义，即可得答案；

【详解】

是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.

所以正确的个数为2.

故选：B.

2．下面各组对象中不能形成集合的是（       ）

A．所有的直角三角形 B．一次函数

C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合的元素具有确定性的性质，可判断答案.

【详解】

所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数，元素是确定的，可以形成集合，大于2的所有实数，能形成集合，

而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，因而这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，

故选：C

3．下列说法正确的是（       ）

A．某个村子里的高个子组成一个集合

B．所有小正数组成一个集合

C．集合和表示同一个集合

D．这六个数能组成一个集合

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合的性质，结合各选项的描述判断正误.

【详解】

A：某个村子里的高个子，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，错误；

B：所有小正数，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，错误；

C：和中的元素相同，它们是同一个集合，正确；

D：中含有相同的数，不符合集合元素的互异性，错误.

故选：C

4．若集合中只有一个元素，则=（  ）

A．4 B．2 C．0 D．0或4

【答案】A

【解析】

【详解】

考点：该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系.

5．设集合,则集合中元素的个数是

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【详解】

∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，

∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；

当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；

当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；

∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，

∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．

故选C．

6．设集合，，，则M中元素的个数为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】

【详解】

由题意知，，

则x的可能取值为5,6,7,8.

因此集合M共有4个元素，故选B.

【考点定位】

集合的概念

7．已知集合,则中所含元素的个数为

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【详解】

列举法得出集合，共含个元素．

故答案选

8．若集合且}，则N中元素的个数为（  ）

A．9 B．6 C．4 D．2

【答案】C

【解析】

【详解】略

9．定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（ ）

A．0 B．2 C．3 D．6

【答案】D

【解析】

【详解】

试题分析：根据题意，结合题目的新运算法则，可得集合A*B中的元素可能的情况；再由集合元素的互异性，可得集合A*B，进而可得答案解：根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．

考点：元素的互异

点评：解题时，注意结合集合元素的互异性，对所得集合的元素的分析，对其进行取舍

       【过关检测】

1．下列给出的对象能构成集合的是（       ）

A．平面直角坐标系内y轴附近的点 B．26个英文字母

C．新华书店中有意义的小说 D．的近似值

【答案】B

【解析】

【分析】

根据集合的确定性得到答案.

【详解】

选项A，C，D中的对象不具有确定性，故不能构成集合；选项B中的26个英文字母能构成集合，

故选：B.

2．下列说法中正确的是（       ）

A．与定点A，B等距离的点不能构成集合

B．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5

C．一个集合中有三个元素a，b，c，其中a，b，c是的三边长，则不可能是等边三角形

D．高中学生中的游泳能手能构成集合

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合元素的特征判断可得；

【详解】

解：对于A：与定点A，B等距离的点在线段的中垂线上，故可以组成集合，即A错误；

对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误；

对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等边三角形，即C正确；

对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；

故选：C

3．设集合，则下列集合中与集合相等的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据集合相等的定义判断选项.

【详解】

两个集合的元素相同，两个集合相等，集合中有2个元素，分别是1和2，所以与集合相等的集合是.

故选：C

4．已知集合，若，则的值为（       ）

A．1 B． C． D．1或

【答案】A

【解析】

【分析】

根据求得，由此求得.

【详解】

由于，

所以对于集合有或.

若，则，此时符合题意，.

若，则集合不满足互异性，不符合.

所以的值为.

故选：A

5．已知集合，则下列结论正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

对于A：由分母不等于0即可判断；对于B：当时，由集合中元素的互异性即可判断；对于C：当时，即可判断；对于D：当，时，即可判断.

【详解】

解：对于A：由是集合，所以，

∴选项A错误；

对于B：当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，

∴选项B错误；

对于C：当时，，，不合题意，

∴选项C错误；

对于D：当，时，，符合题意，

∴选项D正确.

故选：D.

6．下列元素与集合的关系判断正确的是（　　）

A．0∈N B．π∈Q C．∈Q D．－1∉Z

【答案】A

【解析】

【分析】

根据元素和集合的关系逐一判断即可.

【详解】

0是自然数，是无理数，不是有理数，是整数，根据元素和集合的关系可知，只有A正确；

故选：A

7．已知集合 ，且 ，则实数m的值为（       ）

A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3

【答案】A

【解析】

【分析】

依题意可得或，求出方程的根，再代入集合中检验即可；

【详解】

解：因为，且，所以或，解得或或，当时，即集合不满足集合元素的互异性，故，当时集合不满足集合元素的互异性，故，当时满足条件；

故选：A

8．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由已知求出集合A，进一步得到m的范围.

【详解】

由题意可知，可得.

故选：D

9．若方程和方程的所有实数根组成的集合为M，则M中的元素个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

【分析】

求出两个方程的根，利用集合元素的互异性即得解.

【详解】

解：方程和方程的实数根分别是2，3和2，-1，

又集合中的元素具有互异性，所以集合M中的元素个数为3个.

故选：C

10．设P、Q为两个非空实数集合，定义集合，若，，则集合中元素的个数为______个．

【答案】3

【解析】

【分析】

分别对、进行赋值，求出的所有可能取值即可求解.

【详解】

由题意，得当时，；

当且时，；

当且时，；

当且时，；

所以含有的元素有：1、2、，

即中元素个数为3个.

故答案为：3.

11．用列举法表示下列集合：

(1){不超过30的素数}；

(2){五边形的对角线}；

(3){的正约数}；

(4).

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

【解析】

【分析】

根据集合的表示方法，利用列举法，逐项计算，即可求解.

(1)

解：集合不超过30的素数可表示为.

(2)

解：集合五边形的对角线可表示为.

(3)

解：集合{的正约数}可表示.

(4)

解：集合可表示.

12．用描述法表示下列集合：

(1)偶数组成的集合；

(2)正奇数组成的集合；

(3)不等式－x2≥0的解集；

(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；

(5)集合.

【答案】(1){x|x＝2n, n∈Z}或{x|x为偶数}

(2){x|x＝2n＋1, n∈N}或{x|x为正奇数}

(3){x|－x2≥0}

(4){(x, y)|x>0,y<0}

(5)且

【解析】

【分析】

根据描述法的定义，结合各个小题的条件，依次分析即得解

(1)

由偶数可以表示成整数的两倍，

故偶数组成的集合可表示为{x|x＝2n, n∈Z}或{x|x为偶数}

(2)

由奇数可以表示成整数的两倍加1，

故正奇数组成的集合可表示为{x|x＝2n＋1, n∈N}或{x|x为正奇数}

(3)

不等式－x2≥0的解集可表示为{x|－x2≥0}

(4)

由第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负

故平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合可表示为：{(x, y)|x>0,y<0}

(5)

集合可用描述法表示为且