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【暑假初升高】(苏教版2019)数学初三（升高一）暑假-第09讲《从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式》讲学案（必修1）
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第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
【学习目标】
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.
【基础知识】
知识点一 一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式．
知识点二 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三 一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
知识点五 利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题中的未知数；
(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
知识点六 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
知识点七 简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
【考点剖析】
考点一：解不含参数的一元二次不等式
例1．不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接解一元二次不等式即可得答案.
【详解】
解：原式化为，即，故不等式的解集为.
故选:D
考点二：解含参数的一元二次不等式
例2．已知关于x的不等式的解集为．
(1)写出a和b满足的关系；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简，结合不等式的解集即可判断，得到即可得到a和b满足的关系.
（2）可用或对不等式进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.
(1)
解：因为，所以，
因为不等式的解集为，所以，且，解得．
(2)
由（1）得
则不等式等价为，
即，即．
因为，所以不等式的解为．
即所求不等式的解集为．（说明：解集也可以用a表示）
考点三：一元二次不等式恒成立问题
例3．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可.
【详解】
当时，不等式为，满足题意；
当，需满足，解得，
综上可得，的取值范围为，
故答案为：.
考点四：由一元二次方程的根确定参数
例4．若不等式的解集为，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由不等式的解集可知和是方程的两根且，由此可得韦达定理的形式，将所求不等式化为，解一元二次不等式可得结果.
【详解】
的解集为，
和是方程的两根且，，即；
则可化为，，
解得：或，即不等式的解集为.
故答案为：.
考点五：一元二次方程的根的分布问题
例5．方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】
根据的图像可得两个根都大于时关于的不等式组，解出的范围即可.
【详解】
解：的两个根都大于
，解得
可求得实数的取值范围为
故答案为：
考点六：一次分式不等式的解法
例6．不等式的解集是_______．（结果用集合或区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】
不等式的解集，即为不等式的解集，根据一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】
解：不等式的解集，
即为不等式的解集，
解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
考点七：实际问题中的一元二次不等式问题
例7．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速分别有如下关系式：，．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？
【答案】甲种车型没有超速现象, 乙种车型有超速现象.
【解析】
【分析】
根据题意，得到一元二次不等式，结合解一元二次方程的方法进行求解即可.
【详解】
因为甲种车型的刹车距离与车速的关系式：，
所以由题意可得：，或舍去，即，当时，，
显然甲种车型没有超速现象；
因为乙种车型的刹车距离与车速的关系式：，
所以由题意可得：，或舍去，即，因此乙种车型有超速现象.
【真题演练】
1．设集合，．若，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
∵ 集合，，
∴是方程的解，即
∴
∴，故选C
2．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由根与系数关系及基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设，，且，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：C
3．不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，分析即可得答案.
【详解】
由题意得所求，令，为开口向上的抛物线，
，
所以恒成立，
所以不成立，故的解集为.
故选：B
4．已知不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.
【详解】
由不等式的解集知：和是方程的两根，.
故选：A.
5．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可得，，进而不等式可化为，由此可求不等式的解集．
【详解】
解：关于x的不等式的解集为，
，，
可化为，
，
关于x的不等式的解集是．
故选：D．
6．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______
【答案】20
【解析】
【详解】
把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.
七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.
所以一月份至十月份的销售总额为:
3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,
所以xmin=20.
7．若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为___________．
【答案】，
【解析】
【分析】
不等式化为，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m的范围.
【详解】
可化为，
该不等式的解集中恰有3个正整数，
不等式的解集为，且；
故答案为：，．
8．不等式的解集为__________．
【答案】{x|x≥1或x＜﹣2}
【解析】
【分析】
利用移项，通分，转化整式不等式求解即可．
【详解】
由得，即，
解得：x≥1或x＜﹣2，
所以原不等式的解集为{x|x≥1或x＜﹣2}．
故答案为：{x|x≥1或x＜﹣2}．
9．函数的零点为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，通过解方程，再检验可得出答案.
【详解】
由定义域为
由，即，可得
解得或
又时，不满足方程
时满足条件.
故答案为：
10．解关于x的不等式
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
原不等式可化为然后分，和三种情况求解不等式
【详解】
解：关于x的不等式
可化为
（1）当时，，解得．
（2）当，所以
所以方程的两根为-1和，
当，即时，不等式的解集为或}，
当，即时，不等式的解集为．
当，即时，不等式的解集为或}，．
（3）当时，
因为方程的两根为—1和，
又因为，所以．
即不等式的解集是，
综上所述：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或}，
11．命题关于的方程有两个相异负根；命题，．
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将问题转化为对，为真命题，分离变量可得，则可得，进而求得结果；
（2）由（1）可知为真时的范围；由一元二次方程根的分布可求得为真时的范围；根据两个命题一真一假可分类讨论得到结果.
(1)
若命题为假命题，则对，为真命题；
，即；
（当且仅当，即时取等号），，解得：，
实数的取值范围为.
(2)
由（1）知：若命题为真命题，则；
若命题为真命题，则，解得：；
若真假，则；若假真，则；
综上所述：实数的取值范围为.
【过关检测】
一、单选题
1．函数的零点为（ ）
A．（1，0） B．（1，3）
C．1和3 D．（1，0）和（3，0）
【答案】C
【解析】
【分析】
令，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：令，解得或，所以函数的零点为：1和3.
故选：C．
2．已知集合， ，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解一元二次不等式求得集合A，根据集合的关系得到关于的不等式组，解出即可.
【详解】
因为或，
，且，
所以有，解得，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关集合运算的问题，解题方法如下：
（1）根据一元二次不等式的解法求得集合A；
（2）根据两集合的并集为，得到关于的不等式组，求得结果.
3．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
首先利用一元二次不等式和方程的关系，列出根与系数的关系，得到的关系，代入不等式化简求解.
【详解】
的解集是，，得，
则不等式，
即，解得：，
所以不等式的解集是.
故选：D
4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解出集合中对应的不等式，然后可得答案.
【详解】
由可得，由可得，，即或，
所以，所以，
故选：C
5．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题给条件求得，，，再解不等式即可.
【详解】
关于x的不等式的解集为
，且和1是方程的两个根，
则，，
关于x的不等式，即，
，解得，
故不等式的解集为，
故选：A
6．若，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
按照开口向上一元二次不等式解法，解之即可.
【详解】
由
可得或
则不等式的解集是
故选：D
7．若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．-10 B．-14 C．10 D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求出a、b，即可得结果.
【详解】
由题意，和是方程的两个根，
由韦达定理得：且，解得：，，
所以.
故选：B
8．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或4
【答案】A
【解析】
【分析】
，利用韦达定理可得答案.
【详解】
关于x的方程有两个实数根，
，
解得：，
关于x的方程有两个实数根，，
，，
，即，
解得：或舍去
故选：A.
9．已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2 B． C． D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
由判别式可解得，由根与系数关系可得，由的范围结合不等式的性质变形可得答案．
【详解】
由题意可得，
解得或，
设两个为，，由两根为正根可得
，解得，
综上知，.
故两个根的倒数和为
，
，，，
故，
，
故两个根的倒数和的最小值是.
故选：B
二、多选题
10．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.
【详解】
因为为真命题，
所以或，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对，
所以是命题“”为真命题充要条件，B错，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对，
所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错，
故选：AC
11．下列结论错误的是（ ）
A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为R；
B．不等式在R上恒成立的条件是且；
C．若关于x的不等式的解集为R，则；
D．不等式的解为.
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与对应二次函数的关系，结合各选项的描述判断A、B、C正误即可，对于D将不等式化为求解集即可.
【详解】
A：函数不存在零点，若则解集为R，若则解集为空集，错误；
B：由不等式对应的二次函数图像开口向下，说明且至多与x轴有一个交点，故，正确；
C：当时，显然不符合题意，当时由二次函数的性质知：，解得，正确；
D：，解得，错误；
故选：AD
12．已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
不等式变形后，确定相应二次方程的根有大小得不等式解集．
【详解】
不等式变形为，又，所以，
时，不等式解集为空集；
，，
时，，
因此解集可能为ABD．
故选：ABD．
三、填空题
13．已知二次函数的两个零点分别为，则不等式的解集为________
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与二次函数图象之间关系可直接得到结果.
【详解】
二次函数开口方向向上，且和为其两个零点，
的解集为.
故答案为：.
14．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】
将“不等式有解”转化为，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．
【详解】
不等式有解，
，
，，且，
，
当且仅当，即，时取“”，
，
故，即，
解得或，
故答案为：或．
15．若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出m.
【详解】
由题可知，－7和－1是二次方程的两个根，
故.经检验满足题意
故答案为：3.
16．设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件按集合A是否是分类讨论，再借助一元二次方程根的情况列式求解作答.
【详解】
因不等式的解集为A，且，
则当时，，解得：，此时满足，即，
当时，不妨令()，则一元二次方程在上有两个根，
于是有，解得或，解得：，
则有，综合得：，
所以a的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
17．已知全集为，集合，．
(1)求，；
(2)若，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简集合，根据集合的并集、补集、交集运算可得结果；
（2）分类讨论集合，根据子集关系列式可求出结果.
(1)
，
，
或，
.
(2)
因为，所以，
当，即时，，符合题意；
当，即时，，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
18．设全集，集合
(1)求；
(2)若集合满足，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简集合，利用交集的定义求解，再利用补集的定义求解；（2）化简集合，由，得，列不等式求解.
(1)
化简，
，所以或.
(2)
，因为，所以，
所以，
所以实数的取值范围为
19．已知全集，集合，集合.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次不等式的解法，求解集合，，再根据补集运算求解即可；
（2）由题知，再分和两种情况讨论求解即可；
(1)
解：由已知，
所以
当时，，
所以，
(2)
若，则
当时，，适合题意
故，从而
∵（当且仅当时取等号）
∴，∴
由得，解之得且
综上所述，的取值范围为
20．某科技公司研究表明：该公司的市场占有率与每年研发经费（单位：亿元）满足关系式：，其中为实常数.
(1)若时，该公司市场占有率不低于，则每年研发经费至少需要多少亿元？
(2)若时，求该公司市场占有率的最大值.
【答案】(1)至少需要亿元；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出，整理得出，解此不等式即可得出结论；
（2）化简函数解析式为，利用基本不等式可求得该公司市场占有率的最大值.
(1)
解：当时，，由，可得，
解得，即每年的研发经费至少需要亿元.
(2)
解：当时，，
当且仅当时，等号成立，
因此，若时，该公司市场占有率的最大值为.
21．已知
(1)求二次函数的值域：
(2)当时，若二次函数的值恒大于0，求a的取值范围．
【答案】(1)[0，]
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求解集合，再求二次函数的值域；
（2）首先将不等式，参变分离得，转化为求函数的最值，即可求解.
(1)
等价于，．
解得
所以．
∴二次函数，
函数在区间单调递增，所以当时，y取最大值为，
当时，y取最小值为0，
所以二次函数．的值域是[0，]．
(2)
由（1）知
∵恒成立．
即恒成立．
∴恒成立． ．
∵．∴
∵，∴．
当且仅当且时，即时，等号成立，．
∴，故a的取值范围为
22．已知函数，
(1)恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，求不等式的解集；
(3)若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值.
【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)
【解析】
【分析】
（1）将不等式化为；当时易知满足题意；当时，根据一元二次不等式恒成立问题的求法可求得结果；
（2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果；
（3）分别在、和三种情况下，讨论根的个数得到满足题意的范围.
(1)
由得：恒成立，恒成立，
当时，恒成立，符合题意；当时，则，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
(2)
当时，；
令，解得：，；
当，即时，恒成立，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
(3)
由得：；
当时，，解得：，方程有且仅有两个实根，不合题意；
当时，无解，则，解得：；方程有且仅有两个实根，不合题意；
当时，则或，解得：或，
方程有四个不同的实根，，解得：，则且；
综上所述：实数的取值范围为.
第09讲 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
【学习目标】
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.
4.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型，并加以解决.
【基础知识】
知识点一 一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(其中a，b，c均为常数，a≠0)的不等式都是一元二次不等式．
知识点二 二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三 一元二次不等式的解集的概念
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集．
知识点四 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
知识点五 利用不等式解决实际问题的一般步骤
(1)选取合适的字母表示题中的未知数；
(2)由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案．
知识点六 一元二次不等式恒成立问题
(1)转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔
(2)分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.
知识点七 简单的分式不等式的解法
系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间”
【考点剖析】
考点一：解不含参数的一元二次不等式
例1．不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
直接解一元二次不等式即可得答案.
【详解】
解：原式化为，即，故不等式的解集为.
故选:D
考点二：解含参数的一元二次不等式
例2．已知关于x的不等式的解集为．
(1)写出a和b满足的关系；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简，结合不等式的解集即可判断，得到即可得到a和b满足的关系.
（2）可用或对不等式进行等价转化，化简计算即可求出不等式的解集.
(1)
解：因为，所以，
因为不等式的解集为，所以，且，解得．
(2)
由（1）得
则不等式等价为，
即，即．
因为，所以不等式的解为．
即所求不等式的解集为．（说明：解集也可以用a表示）
考点三：一元二次不等式恒成立问题
例3．若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
分和两种情况，结合二次函数的图像与性质，求解即可.
【详解】
当时，不等式为，满足题意；
当，需满足，解得，
综上可得，的取值范围为，
故答案为：.
考点四：由一元二次方程的根确定参数
例4．若不等式的解集为，则不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】
由不等式的解集可知和是方程的两根且，由此可得韦达定理的形式，将所求不等式化为，解一元二次不等式可得结果.
【详解】
的解集为，
和是方程的两根且，，即；
则可化为，，
解得：或，即不等式的解集为.
故答案为：.
考点五：一元二次方程的根的分布问题
例5．方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】
【分析】
根据的图像可得两个根都大于时关于的不等式组，解出的范围即可.
【详解】
解：的两个根都大于
，解得
可求得实数的取值范围为
故答案为：
考点六：一次分式不等式的解法
例6．不等式的解集是_______．（结果用集合或区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】
不等式的解集，即为不等式的解集，根据一元二次不等式的解法即可得解.
【详解】
解：不等式的解集，
即为不等式的解集，
解得，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
考点七：实际问题中的一元二次不等式问题
例7．汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离是分析交通事故的一个重要指标．在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速分别有如下关系式：，．问：甲、乙两辆汽车是否有超速现象？
【答案】甲种车型没有超速现象, 乙种车型有超速现象.
【解析】
【分析】
根据题意，得到一元二次不等式，结合解一元二次方程的方法进行求解即可.
【详解】
因为甲种车型的刹车距离与车速的关系式：，
所以由题意可得：，或舍去，即，当时，，
显然甲种车型没有超速现象；
因为乙种车型的刹车距离与车速的关系式：，
所以由题意可得：，或舍去，即，因此乙种车型有超速现象.
【真题演练】
1．设集合，．若，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
∵ 集合，，
∴是方程的解，即
∴
∴，故选C
2．已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由根与系数关系及基本不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件.
【详解】
由题设，，且，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：C
3．不等式的解集是（ ）
A．R B． C．或 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，分析即可得答案.
【详解】
由题意得所求，令，为开口向上的抛物线，
，
所以恒成立，
所以不成立，故的解集为.
故选：B
4．已知不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.
【详解】
由不等式的解集知：和是方程的两根，.
故选：A.
5．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可得，，进而不等式可化为，由此可求不等式的解集．
【详解】
解：关于x的不等式的解集为，
，，
可化为，
，
关于x的不等式的解集是．
故选：D．
6．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______
【答案】20
【解析】
【详解】
把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解.
七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2.
所以一月份至十月份的销售总额为:
3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2,
所以xmin=20.
7．若关于的不等式的解集中恰有3个正整数，则实数的取值范围为___________．
【答案】，
【解析】
【分析】
不等式化为，根据解集中恰好有3个正整数即可求得m的范围.
【详解】
可化为，
该不等式的解集中恰有3个正整数，
不等式的解集为，且；
故答案为：，．
8．不等式的解集为__________．
【答案】{x|x≥1或x＜﹣2}
【解析】
【分析】
利用移项，通分，转化整式不等式求解即可．
【详解】
由得，即，
解得：x≥1或x＜﹣2，
所以原不等式的解集为{x|x≥1或x＜﹣2}．
故答案为：{x|x≥1或x＜﹣2}．
9．函数的零点为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，通过解方程，再检验可得出答案.
【详解】
由定义域为
由，即，可得
解得或
又时，不满足方程
时满足条件.
故答案为：
10．解关于x的不等式
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
原不等式可化为然后分，和三种情况求解不等式
【详解】
解：关于x的不等式
可化为
（1）当时，，解得．
（2）当，所以
所以方程的两根为-1和，
当，即时，不等式的解集为或}，
当，即时，不等式的解集为．
当，即时，不等式的解集为或}，．
（3）当时，
因为方程的两根为—1和，
又因为，所以．
即不等式的解集是，
综上所述：当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或
当时，不等式的解集为
当时，不等式的解集为或}，
11．命题关于的方程有两个相异负根；命题，．
(1)若命题为假命题，求实数的取值范围；
(2)若这两个命题有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将问题转化为对，为真命题，分离变量可得，则可得，进而求得结果；
（2）由（1）可知为真时的范围；由一元二次方程根的分布可求得为真时的范围；根据两个命题一真一假可分类讨论得到结果.
(1)
若命题为假命题，则对，为真命题；
，即；
（当且仅当，即时取等号），，解得：，
实数的取值范围为.
(2)
由（1）知：若命题为真命题，则；
若命题为真命题，则，解得：；
若真假，则；若假真，则；
综上所述：实数的取值范围为.
【过关检测】
一、单选题
1．函数的零点为（ ）
A．（1，0） B．（1，3）
C．1和3 D．（1，0）和（3，0）
【答案】C
【解析】
【分析】
令，即可得到方程，解得即可；
【详解】
解：令，解得或，所以函数的零点为：1和3.
故选：C．
2．已知集合， ，若，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解一元二次不等式求得集合A，根据集合的关系得到关于的不等式组，解出即可.
【详解】
因为或，
，且，
所以有，解得，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：该题考查的是有关集合运算的问题，解题方法如下：
（1）根据一元二次不等式的解法求得集合A；
（2）根据两集合的并集为，得到关于的不等式组，求得结果.
3．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
首先利用一元二次不等式和方程的关系，列出根与系数的关系，得到的关系，代入不等式化简求解.
【详解】
的解集是，，得，
则不等式，
即，解得：，
所以不等式的解集是.
故选：D
4．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先解出集合中对应的不等式，然后可得答案.
【详解】
由可得，由可得，，即或，
所以，所以，
故选：C
5．已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先由题给条件求得，，，再解不等式即可.
【详解】
关于x的不等式的解集为
，且和1是方程的两个根，
则，，
关于x的不等式，即，
，解得，
故不等式的解集为，
故选：A
6．若，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
按照开口向上一元二次不等式解法，解之即可.
【详解】
由
可得或
则不等式的解集是
故选：D
7．若不等式的解集是，则的值为（ ）
A．-10 B．-14 C．10 D．14
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系求出a、b，即可得结果.
【详解】
由题意，和是方程的两个根，
由韦达定理得：且，解得：，，
所以.
故选：B
8．关于x的方程有两个实数根，，且，那么m的值为（ ）
A． B． C．或1 D．或4
【答案】A
【解析】
【分析】
，利用韦达定理可得答案.
【详解】
关于x的方程有两个实数根，
，
解得：，
关于x的方程有两个实数根，，
，，
，即，
解得：或舍去
故选：A.
9．已知关于x的方程有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ）
A．-2 B． C． D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
由判别式可解得，由根与系数关系可得，由的范围结合不等式的性质变形可得答案．
【详解】
由题意可得，
解得或，
设两个为，，由两根为正根可得
，解得，
综上知，.
故两个根的倒数和为
，
，，，
故，
，
故两个根的倒数和的最小值是.
故选：B
二、多选题
10．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
先求命题“”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.
【详解】
因为为真命题，
所以或，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，A对，
所以是命题“”为真命题充要条件，B错，
所以是命题“”为真命题充分不必要条件，C对，
所以是命题“”为真命题必要不充分条件，D错，
故选：AC
11．下列结论错误的是（ ）
A．若函数对应的方程没有根，则不等式的解集为R；
B．不等式在R上恒成立的条件是且；
C．若关于x的不等式的解集为R，则；
D．不等式的解为.
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与对应二次函数的关系，结合各选项的描述判断A、B、C正误即可，对于D将不等式化为求解集即可.
【详解】
A：函数不存在零点，若则解集为R，若则解集为空集，错误；
B：由不等式对应的二次函数图像开口向下，说明且至多与x轴有一个交点，故，正确；
C：当时，显然不符合题意，当时由二次函数的性质知：，解得，正确；
D：，解得，错误；
故选：AD
12．已知关于的一元二次不等式，其中，则该不等式的解集可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
不等式变形后，确定相应二次方程的根有大小得不等式解集．
【详解】
不等式变形为，又，所以，
时，不等式解集为空集；
，，
时，，
因此解集可能为ABD．
故选：ABD．
三、填空题
13．已知二次函数的两个零点分别为，则不等式的解集为________
【答案】
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与二次函数图象之间关系可直接得到结果.
【详解】
二次函数开口方向向上，且和为其两个零点，
的解集为.
故答案为：.
14．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】
将“不等式有解”转化为，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求最值，最后解出关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案．
【详解】
不等式有解，
，
，，且，
，
当且仅当，即，时取“”，
，
故，即，
解得或，
故答案为：或．
15．若关于x的不等式的解集为，则实数m的值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出m.
【详解】
由题可知，－7和－1是二次方程的两个根，
故.经检验满足题意
故答案为：3.
16．设不等式的解集为A，若，则a的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定条件按集合A是否是分类讨论，再借助一元二次方程根的情况列式求解作答.
【详解】
因不等式的解集为A，且，
则当时，，解得：，此时满足，即，
当时，不妨令()，则一元二次方程在上有两个根，
于是有，解得或，解得：，
则有，综合得：，
所以a的取值范围为.
故答案为：
四、解答题
17．已知全集为，集合，．
(1)求，；
(2)若，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简集合，根据集合的并集、补集、交集运算可得结果；
（2）分类讨论集合，根据子集关系列式可求出结果.
(1)
，
，
或，
.
(2)
因为，所以，
当，即时，，符合题意；
当，即时，，解得，
综上所述：实数的取值范围是.
18．设全集，集合
(1)求；
(2)若集合满足，求实数的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【解析】
【分析】
（1）化简集合，利用交集的定义求解，再利用补集的定义求解；（2）化简集合，由，得，列不等式求解.
(1)
化简，
，所以或.
(2)
，因为，所以，
所以，
所以实数的取值范围为
19．已知全集，集合，集合.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据一元二次不等式的解法，求解集合，，再根据补集运算求解即可；
（2）由题知，再分和两种情况讨论求解即可；
(1)
解：由已知，
所以
当时，，
所以，
(2)
若，则
当时，，适合题意
故，从而
∵（当且仅当时取等号）
∴，∴
由得，解之得且
综上所述，的取值范围为
20．某科技公司研究表明：该公司的市场占有率与每年研发经费（单位：亿元）满足关系式：，其中为实常数.
(1)若时，该公司市场占有率不低于，则每年研发经费至少需要多少亿元？
(2)若时，求该公司市场占有率的最大值.
【答案】(1)至少需要亿元；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由已知可得出，整理得出，解此不等式即可得出结论；
（2）化简函数解析式为，利用基本不等式可求得该公司市场占有率的最大值.
(1)
解：当时，，由，可得，
解得，即每年的研发经费至少需要亿元.
(2)
解：当时，，
当且仅当时，等号成立，
因此，若时，该公司市场占有率的最大值为.
21．已知
(1)求二次函数的值域：
(2)当时，若二次函数的值恒大于0，求a的取值范围．
【答案】(1)[0，]
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求解集合，再求二次函数的值域；
（2）首先将不等式，参变分离得，转化为求函数的最值，即可求解.
(1)
等价于，．
解得
所以．
∴二次函数，
函数在区间单调递增，所以当时，y取最大值为，
当时，y取最小值为0，
所以二次函数．的值域是[0，]．
(2)
由（1）知
∵恒成立．
即恒成立．
∴恒成立． ．
∵．∴
∵，∴．
当且仅当且时，即时，等号成立，．
∴，故a的取值范围为
22．已知函数，
(1)恒成立，求实数的取值范围；
(2)当时，求不等式的解集；
(3)若使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值.
【答案】(1)
(2)答案见解析；
(3)
【解析】
【分析】
（1）将不等式化为；当时易知满足题意；当时，根据一元二次不等式恒成立问题的求法可求得结果；
（2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果；
（3）分别在、和三种情况下，讨论根的个数得到满足题意的范围.
(1)
由得：恒成立，恒成立，
当时，恒成立，符合题意；当时，则，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
(2)
当时，；
令，解得：，；
当，即时，恒成立，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
综上所述：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
(3)
由得：；
当时，，解得：，方程有且仅有两个实根，不合题意；
当时，无解，则，解得：；方程有且仅有两个实根，不合题意；
当时，则或，解得：或，
方程有四个不同的实根，，解得：，则且；
综上所述：实数的取值范围为.
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