统考版2024高考数学二轮专题复习课时作业22坐标系与参数方程理
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1.
[2023·青海省西宁市高三二模]数学中有许多美丽的曲线,如在平面直角坐标系xOy中,曲线E:x2+y2=a(eq \r(x2+y2)-x),(a>0)的形状如心形(如图),我们称这类曲线为笛卡尔心形曲线.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,当a=1时.
(1)求曲线E的极坐标方程;
(2)已知P,Q为曲线E上异于O的两点,且eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))=0,求|PQ|的最大值.
2.[2023·四川大学附属中学高三检测]在直角坐标系xOy中,曲线M的方程为(x-3)2+(y-4)2=4,曲线N的方程为xy=a.以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为θ=eq \f(π,4).
(1)求曲线M,N的极坐标方程;
(2)若a>0,直线l与曲线M交于A,B两点,与曲线N的一个交点为点C,且eq \f(1,|OA|)+eq \f(1,|OB|)+eq \f(1,|OC|)=eq \f(\r(2),2),求a的值.
3.[2023·四川成都七中模拟]在直角坐标系xOy中,倾斜角为α的直线l的参数方程为:eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=2+tcsα,,y=\r(3)+tsinα))(t为参数),在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C的极坐标方程为ρ2=2ρcsθ+8.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))=4eq \r(2),求直线l的倾斜角.
4.[2023·河南省开封市高三二模]在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=1+t,,y=\r(3)t))(t为参数),曲线C2的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=\r(2)(csθ+sinθ),,y=csθ-sinθ))(θ为参数).
(1)将曲线C2的参数方程化为普通方程;
(2)已知点M(1,0),曲线C1和C2相交于A,B两点,求|eq \f(1,|MA|)-eq \f(1,|MB|)|.
5.[2023·江西省重点中学高三联考]在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=\f(1,2)t,y=\f(\r(3),2)t))(t为参数),以坐标原点为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcsθ-2=0,点P的极坐标是(eq \f(2\r(15),3),eq \f(2π,3)).
(1)求直线l的极坐标方程及点P到直线l的距离;
(2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求△PMN的面积.
6.[2023·四川省成都市高三模拟]在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2csθ,θ∈[0,eq \f(π,2)].
(1)求C的参数方程;
(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=eq \r(3)x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.
课时作业22 坐标系与参数方程
1.解析:(1)将x=ρcsθ,y=ρsinθ代入曲线E,得ρ2=ρ-ρcsθ,即ρ=1-csθ,
所以,E的极坐标方程为ρ=1-csθ.
(2)不妨设P(ρ1,θ),Q(ρ2,θ+eq \f(π,2)),即ρ1=1-csθ,ρ2=1-cs(θ+eq \f(π,2))=1+sinθ,
|PQ|=eq \r(ρ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) +ρ eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )=eq \r((1-csθ)2+(1+sinθ)2)
=eq \r(3+2(sinθ-csθ))=eq \r(3+2\r(2)sin(θ-\f(π,4))),
而sin(θ-eq \f(π,4))∈[-1,1],故|PQ|max=eq \r(2)+1.
2.解析:(1)由(x-3)2+(y-4)2=4,得x2+y2-6x-8y+21=0,
所以曲线M的极坐标方程为ρ2-6ρcsθ-8ρsinθ+21=0.
由xy=a,得ρ2csθsinθ=a,即ρ2sin2θ=2a,
此即曲线N的极坐标方程.
(2)将θ=eq \f(π,4)代入ρ2sin2θ=2a(a>0),得ρ=eq \r(2a).
将θ=eq \f(π,4)代入ρ2-6ρcsθ-8ρsinθ+21=0,
得ρ2-7eq \r(2)ρ+21=0,
设A,B对应的参数分别是ρ1,ρ2,
则ρ1+ρ2=7eq \r(2),ρ1ρ2=21,
所以eq \f(1,|OA|)+eq \f(1,|OB|)+eq \f(1,|OC|)=eq \f(1,\r(2a))+eq \f(1,ρ1)+eq \f(1,ρ2)
=eq \f(\r(2a),2a)+eq \f(ρ1+ρ2,ρ1ρ2)=eq \f(\r(2a),2a)+eq \f(7\r(2),21)=eq \f(\r(2),2),
解得:a=9.
3.解析:(1)因为直线l的参数方程为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=2+tcsα,y=\r(3)+tsinα))(t为参数),
当α=eq \f(π,2)时,直线l的普通方程为x=2.
当α≠eq \f(π,2)时,直线l的普通方程为y-eq \r(3)=tanα(x-2).
因为ρ2=x2+y2,ρcsθ=x,ρ2=2ρcsθ+8,
所以x2+y2=2x+8.
所以C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0.
(2)曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x-8=0,
将直线l的参数方程代入曲线C的方程整理,
得t2+(2eq \r(3)sinα+2csα)t-5=0.
因为Δ=(2eq \r(3)sinα+2csα)2+20>0,可设该方程的两个根为t1,t2,
则t1+t2=-(2eq \r(3)sinα+2csα),t1t2=-5.
所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))=eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(t1-t2))=eq \r((t1+t2)2-4t1t2)
=eq \r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-(2\r(3)sinα+2csα)))2+20)=4eq \r(2).
整理得(eq \r(3)sinα+csα)2=3,
故2sin(α+eq \f(π,6))=±eq \r(3).
因为0≤α0,
设C1与C2的两个交点A,B对应的参数分别为t′1,t′2,
所以t′1+t′2=-eq \f(4,7),t′1t′2=-eq \f(12,7),
因为t′1t′2=-eq \f(12,7)
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