备战2024高考一轮复习数学（理） 课时验收评价(十二)　函数与方程

课时验收评价(十二)　函数与方程

一、点全面广强基训练

1．(2023·全国高三专题练习)如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是(　 )

A．[－2.1，－1]  B．[4.1,5]

C．[1.9,2.3]  D．[5,6.1]

解析：选C　由题图可得A、B、D选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，C选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点．故选C.

2．(2023·广西桂电中学高三阶段练习)已知下表为函数f(x)＝ax3＋cx＋d部分自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值非整数值时，取值精确到0.01.

下列关于函数f(x)的叙述不正确的是(　 )

A．f(x)为奇函数

B．f(x)在[0.55,0.6]上没有零点

C．f(x)在(－∞，－0.35]上单调递减

D．a<0

解析：选B　由f(0)＝0，则d＝0，故f(x)＝ax3＋cx，所以f(－x)＝－ax3－cx＝－f(x)且定义域为R，故f(x)为奇函数，A正确；又f(0.56)＝0.03>0，f(0.59)＝－0.26<0，所以f(x)在[0.56，0.59]上必有零点，B错误；根据已知表格数据x>0.35的情况下，x越大，函数值越小，由三次函数的性质知a<0，所以在(－∞，－0.35]上单调递减，C、D正确．

3．(2023·海南模拟预测)函数f(x)＝－ln x＋2的零点所在的大致区间为(　 )

A．(1，e)  B．(e，e2)

C．(e2，e3)  D．(e3，e4)

解析：选C　f(x)＝－ln x＋2在(0，＋∞)上连续不断，且单调递减，f(1)＝3>0，f(e)＝＋1>0，f(e2)＝>0，f(e3)＝－1<0，f(e4)＝－2<0，所以零点位于(e2，e3)，故选C.

4．已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，则m的取值范围是(　 )

A．(－5，－4)  B．

C.  D．(－5，－2)

解析：选C　令f(x)＝x2＋(m－2)x＋5－m，因为f(x)＝0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)内，所以即解不等式组可得－<m<－4，即m的取值范围是，故选C.

5．(2023·南阳中学高三阶段练习)已知函数f(x)＝81ln x－x－3－80的零点位于区间(k，k＋1)内，则整数k＝(　 )

A．1  B．2  C．3  D．4

解析：选B　因为函数y＝81ln x与y＝－x－3－80在(0，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因为f(2)＝81ln 2－83<0，f(3)＝81ln 3－81>0，f(2)·f(3)<0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故k＝2.

6．(2023·全国高三专题练习)若f(x)为奇函数，且x0是y＝f(x)－2ex的一个零点，则－x0一定是下列哪个函数的零点(　 )

A．y＝f(－x)e－x－2  B．y＝f(x)ex＋2

C．y＝f(x)ex－2  D．y＝f(－x)ex＋2

解析：选B　f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)且x0是y＝f(x)－2ex的一个零点，所以f(x0)＝2ex0，把－x0分别代入下面四个选项，对于A，f(x0)ex0－2＝2(ex0)2－2，不一定为0，故A错误；对于B，f(－x0)e－x0＋2＝－f(x0)e－x0＋2＝－2·ex0·e－x0＋2＝0，所以－x0是函数y＝f(x)ex＋2的零点，故B正确；对于C，f(－x0)e－x0－2＝－2e0－2＝－4，故C不正确；对于D，f(x0)e－x0＋2＝2ex0e－x0＋2＝4，故D不正确．

7．函数f(x)＝(a∈R)，若方程f(x)＝0有两个实根，则a的取值范围是(　 )

A．(－∞，－1)  B．(－∞，0)

C．(－1,0)  D．[－1,0)

解析：选D　当x>0时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝，此时有一个实数根，由方程f(x)＝0有两个实根，可得当x≤0时，y＝ex＋a＝0只有一个实数根，可转化成a＝－ex，x≤0，因为当x≤0时，y＝－ex单调递减，且y＝－ex∈[－1,0)，所以a∈[－1,0)．

8．(2023·全国高三专题练习)已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝2sin x＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为(　 )

A．a>b>c  B．b>a>c

C．c>a>b  D．b>c>a

解析：选D　由h(x)＝2sin x＋x＝0得x＝0，∴c＝0，由f(x)＝0得2x＝－x，由g(x)＝0得log2x＝－x.在同一平面直角坐标系中画出y＝2x、y＝log2x、y＝－x的图象，由图象知a<0，b>0，∴a<c<b.

9．(2023·甘肃武威十八中高三阶段练习)函数y＝ax2＋2ax＋3(a≠0)的一个零点为1，则其另一个零点为________．

解析：由函数y＝ax2＋2ax＋3(a≠0)的一个零点为1，可得方程ax2＋2ax＋3＝0(a≠0)的一个根为1，根据根与系数的关系可得x1＋x2＝－＝－2，所以另一个根为－3.故函数的另一个零点为－3.

答案：－3

10．(2023·全国高三专题练习)已知函数f(x)＝log2(x－1)＋a在区间(2,3)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为________．

解析：由对数函数的性质，可得f(x)为单调递增函数，且函数f(x)在(2,3)上有且仅有一个零点，所以f(2)·f(3)<0，即a·(a＋1)<0，解得－1<a<0，所以实数a的取值范围是(－1,0)．

答案：(－1,0)

11．(2023·全国高三专题练习)函数f(x)＝ 的零点个数为________．

解析：当x≤0时，f(x)＝x＋2有一个零点－2；当x>0时，f(x)＝x＋e2>0，无零点，故函数f(x)＝的零点个数为1.

答案：1

12．(2023·全国高三专题练习)函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，能说明“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题的一个函数f(x)的解析式可以为f(x)＝________.

解析：函数f(x)的图象在区间(0,2)上连续不断，且“若f(x)在区间(0,2)上存在零点，则f(0)·f(2)<0”为假命题，可知函数f(x)满足在(0,2)上存在零点，且f(0)·f(2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f(x)＝(x－1)2.

答案：(x－1)2(答案不唯一)

二、重点难点培优训练

1．(2023·四川南江中学高三阶段练习)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－a存在两个零点，则实数a的取值范围是(　 )

A．(－∞，0)  B．(－∞，1)

C．(0,1)  D．(1，＋∞)

解析：选C　当x<2时，f(x)＝(x－1)3在(－∞，2)上单调递增，f(x)∈(－∞，1)，当x≥2时，f(x)＝e2－x在[2，＋∞)上单调递减，f(x)∈(0,1]，由g(x)＝0，得f(x)＝a，因此函数g(x)的零点即为直线y＝a与函数y＝f(x)图象的交点的横坐标，在同一坐标系内作出直线y＝a与函数y＝f(x)图象，如图，观察图象得，直线y＝a与函数y＝f(x)的图象有两个公共点时，0<a<1，所以函数g(x)＝f(x)－a存在两个零点，实数a的取值范围是(0,1)．

2．(2023·咸阳高新一中高三开学考试)已知定义域为R的偶函数f(x)的图象是连续不间断的曲线，且f(x＋2)＋f(x)＝f(1)，对任意的x1，x2∈[－2,0]，x1≠x2，>0恒成立，则f(x)在区间[－100,100]上的零点个数为(　 )

A．100  B．102 

C．200  D．202

解析：选A　令x＝－1，得f(1)＋f(－1)＝f(1)，即f(－1)＝0，因为对任意的x1，x2∈[－2,0]，x1≠x2，>0恒成立，所以，f(x)在[－2，0]上单调递增，因为f(x)为偶函数，所以f(1)＝0，f(x)在(0,2)上单调递减，f(x＋2)＋f(x)＝f(1)＝0，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数，因为f(x)在一个周期内有两个零点，故f(x)在区间[－100,100]上的零点个数为50×2＝100.