01、初中数学.有理数的概念.第01讲

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有理数的概念




内容
基本要求
略高要求
较高要求
有理数
理解有理数的意义
会比较有理数的大小

数轴
能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系
会借助数轴比较有理数的大小

相反数
会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求实数的相反数
掌握相反数的性质

绝对值
借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值
会利用绝对值的知识解决简单的化简问题



模块一 正负数的概念
正数：像．．等的数，叫做正数.在小学学过的数，除外都是正数.正数都大于.

负数：像．．．等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数.。负数都小于.
既不是正数，也不是负数.
一个数字前面的“＋”，“－”号叫做它的符号.
正数前面的“＋”可以省略，注意与表示是同一个正数.

用正．负数表示相反意义的量：
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然.
譬如：用正数表示向南，那么向北可以用负数表示为.
“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量.

【例1】杭州北高峰高于海平面536米记作+536米，那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作（　　） A．150 B．-150 C．150米 D．-150米
【难度】1星
【解析】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【答案】“正”和“负”相对，所以高于海平面536米记作+536米，那么吐鲁番艾丁湖湖底低于海平面150米记作-150米．
故选D．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．


【例2】飞机上升了-80米，实际上是（　　）
A．上升80米 B．下降-80米
C．先上升80米，再下降80米 D．下降80米
【难度】1星
【解析】解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．负号表示与上升意义相反，即下降．
【答案】负号表示与上升意义相反，即下降，则飞机上升了-80米，实际上是下降80米．
故选D．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．


【例3】下列语句：①不带“-”号的数都是正数；②带“-”号的数一定是负数；③不存在既不是正数也不是负数的数；④0℃表示没有温度．其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【难度】1星
【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【答案】①0不带“-”号，但是它不是正数．
②-0带负号，但是它不是负数．
③0既不是正数也不是负数．
④0℃表示有温度，温度为0度，温度可以为负数（零下）也可以为正数（零上）．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确正数和负数的定义，并且注意0这个特殊的数字，既不是正数也不是负数．


【例4】生活中常有用正负数表示范围的情形，例如某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃，由此可知在 ___18℃～22℃范围内保存该药品才合适．
【难度】1星
【解析】这是一道给出中心值根据误差判断药品的保存温度范围的问题．
【答案】根据题意某种药品的说明书上标明保存温度是（20±2）℃表示20℃以上记作“正”，低于20℃记作负，由此可知在18℃～22℃范围内保存该药品才合适．
故答案为18℃～22℃范围内保存该药品才合适．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．


【例5】台风“桑美”给我县的电力造成严重的影响，一突击队乘汽车抢修供电线路，南记为正，则北记为负．某天自A地出发，所走路程（单位：千米）为：+8，-6，-2，+4，-5，+2
问：①最后他们是否回到出发点？若没有，则在A地的什么位置？
答：他们 ____（填：有或没有）回到出发点，在A地的正 ______南方向，距A地 ____千米．
②若每千米耗油1.5升，则今天共耗油 _______40.5升.
【难度】2星
【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【答案】①根据题意可得：南记为正，北记为负，则距A的距离为（+8）+（-6）+（-2）+（+4）+（-5）+（+2）=+1．
最后他们没有回到出发点，在A地的正南方向，距A地1千米．
②从A地出发，汽车共走了|+8|+|-6|+|-2|+|+4|+|-5|+|+2|=27km；
故从A地出发到收工时耗油量为27×1.5=40.5（升）．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．





模块二 有理数的分类

有理数: 整数与分数统称有理数.

注：⑴正数和零统称为非负数；
⑵负数和零统称为非正数；
⑶正整数和零统称为非负整数；
⑷负整数和零统称为非正整数.


【例6】下列各数中：+3．-2.1． ．9． ．-（-8）．0．-|+3|，负有理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【难度】1星
【解析】把各式化简得：3，-2.1，- ，9，1.4，8，0，-3．
【答案】-2.1为负数有限小数，- 为负数无限循环小数，- 是负整数，所以是负有理数． 共3个．
【点评】判断一个数是有理数还是无理数，要把它化简成最后形式再判断．概念：无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数 整数和分数统称为有理数
【例7】下列四种说法：①0是整数；②0是自然数；③0是偶数；④0是非负数．其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【难度】1星
【解析】根据0的特殊规定和性质对各选项作出判断后选取答案，注意：2002年国际数学协会规定，零为偶数；我国2004年也规定零为偶数．
【答案】①0是整数，故本选项正确；
②0是自然数，故本选项正确；
③能被2整除的数是偶数，0可以，故本选项正确；
④非负数包括正数和0，故本选项正确．
所以①②③④都正确，共4个．
故选A．
【点评】本题主要对0的特殊性的考查，熟练掌握是解题的关键．
【例8】下列说法正确的是（　　）
A．非负有理数就是正有理数
B．零表示没有，是有理数
C．正整数和负整数统称为整数
D．整数和分数统称为有理数
【难度】1星
【解析】根据有理数的分类，采用排除法判断．
【答案】0是非负有理数，但不是正有理数，A错误；
零不是没有，它是整数，也是有理数，B错误；
0也是整数，C错误；
整数和分数统称为有理数，这是定义，D正确．
故选D．
【点评】本题主要考查有理数学习中概念的理解，必须熟练掌握．
【例9】既是正数，又是分数的数是（　　）
A．+2 B．0 C．3.5 D．
【难度】1星
【解析】按照有理数的分类进行选择即可．
【答案】A．+2虽然是正数，但不是分数，不合题意，故A错误；
B．0既不是正数，也不是分数，故B错误；
C．符合题意，故C正确；
D．虽然是分数，但不是正数，故D错误．
故选C．
【点评】认真掌握正数．负数．整数．分数的定义与特点．
注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．


【例10】最小的正整数是 _____1，最大的负整数是 _______.
【难度】1星
【解析】根据有理数的相关知识进行解答．
【答案】最小的正整数是1，最大的负整数是-1．
【点评】认真掌握正数．负数．整数的定义与特点．需注意的是：0是整数，但0既不是正数也不是负数．


【巩固】有理数中，是整数而不是正数的数是 _______0和负整数，是负数而不是分数的是 ________。
【难度】1星
【解析】①按照有理数的分类填写
②有理数分成正数．0．负数．正数又分成正整数和正分数，负数分成负整数和负分数．
【答案】零既不是正数也不是负数．
故在有理数中，是整数而不是正数的数是 0和负整数；
是负数而不是分数的是负整数．
故答案为：0和负整数；负整数．
【点评】本题主要考查的是有理数的定义．本题容易在0的分类上出错，注意：零既不是正数也不是负数．
【巩固】请写出三个既是负数，又是分数的有理数：__________
【难度】1星
【解析】：按照有理数的分类填写
【答案】- ．-0.5． ．-0.25． 等都符合题意．
【点评】本题主要考查了有理数的分类．在解答时，认真掌握正数．负数．整数．分数．正有理数．负有理数．非负数的定义与特点．

模块三 数轴
数轴：规定了原点．正方向和单位长度的直线.
注意：⑴原点．正方向．单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.
⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.
⑶数轴的画法及常见错误分析
①画一条水平的直线；
②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；
④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.
数轴画法的常见错误举例：
错例
原因

无原点

没有正方向

单位长度不统一

没有单位长度
有理数与数轴的关系：
一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.
在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.
注意：数轴上的点不都代表有理数，如.
利用数轴比较有理数的大小：
数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数.

【例11】数轴上有一个点从原点开始向左移动3个长度单位，再向右移动5个长度单位后，它所表示的有理数是（ ）
A．3 B．5 C．-3 D．2
【难度】1星
【解析】根据数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则进行计算．
【答案】数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则可知，此点所表示的数为：0-3+5=2．
故选D．
【点评】本题考查的是数轴上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知数轴上的点表示的数从原点开始左减右加的原则．


【例12】与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的数是（ ）
A．-1 B．5 C．3或-3 D．-1或5
【难度】1星
【解析】此题可借助数轴用数形结合的方法求解．由于点A与表示数是2的点距离为3，那么A应有两个点，记为A1，A2，分别位于表示数是2的点两侧，且到该点的距离为3，这两个点对应的数分别是-1和5，在数轴上画出A1，A2点如图所示．
【答案】设与在数轴上表示数2的点距离等于3个单位的点所表示的有理数为x，
因为点A与该点0的距离为3，
即|x-2|=3，
所以x=5或x=-1．

点评：此题综合考查了数轴．绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．


【例13】有理数a．b在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（　　）

A．a＞b B．a＞-b C．a＜b D．-a＜b
【难度】2星
【解析】数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．原点左边的数为负数，原点右边的数为正数．从图中可以看出0＜b＜1，a＜-1，|b|＜|a|．
【答案】根据数轴上a，b两点的位置可知，a＜-1＜0＜b＜1，|a|＞|b|，
∴a＜b，-a＞b，-b＞a；
故选C．
【点评】本题主要考查了利用数轴来比较有理数大小的题目．此类题目比较简单，可根据数轴上各点的坐标特点利用取特殊值的方法进行比较，以简化计算．


【例14】在数轴上，-2与-5之间的有理数有（　　）个．
A．无数个 B．4个 C．3个 D．2个
【难度】2星
【解析】数轴上的点和实数是一一对应的，两个数之间有无数个点，则对应的有理数或无理数有无数个．
【答案】在数轴上任意两个有理数之间都有无数个的有理数． 故选A．
【点评】本题主要考查了数轴与实数之间的关系：数轴上任意两个有理数之间都有无数个的有理数．


【例15】老师在黑板上画数轴，取了原点O后，用一个铁丝做的圆环作为工具，以圆环的直径在数轴上画出单位长1，再将圆环拉直成一线段，在数轴的正方向上以此线段长自原点O起截得A点，则A点表示的数是 __________。
【难度】3星
【解析】根据题意，求得圆环的直径为d=1，则圆环拉直成的线段的长度；然后由点A的几何意义在数轴上找得点A．
【答案】设圆环的直径为d，则圆环拉直成的线段的长度，
根据题意，得，= ∴A点表示的数是；
∵≈1.57＞1，
∴l=＞d，
∴在数轴上对应的点A如图所示：

【点评】考查了数轴的几何意义．


【例16】已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．

（1）若折叠后，数1表示的点与数-1表示的点重合，则此时数-2表示的点与数_____
表示的点重合；
（2）若折叠后，数3表示的点与数-1表示的点重合，则此时数5表示的点与数_____
表示的点重合；若这样折叠后，数轴上有A．B两点也重合，且A．B两点之间的距离为9（A在B的左侧），则A点表示的数为 ______，B点表示的数为______
【难度】3星
【解析】（1）数1表示的点与数-1表示的点重合，则这两点关于原点对称，求出-2关于原点的对称点即可；
（2）若折叠后，数3表示的点与数-1表示的点重合，则这两点一定关于1对称，即两个数的平均数是1，若这样折叠后，数轴上有A．B两点也重合，且A．B两点之间的距离为9（A在B的左侧），则这两点到1的距离是4.5，即可求解．
【答案】（1）2．（2）-3；A表示-3.5，B表示5.5．
【点评】本题借助数轴理解比较直观，形象．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．

模块四 相反数
相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0.
相反数的性质：
⑴代数意义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0．
相反数必须成对出现，不能单独存在．
例如和互为相反数，或者说是的相反数，是 的相反数，
而单独的一个数不能说是相反数．
另外，定义中的“只有”指除符号以外，两个数完全相同，注意应与“只要符号不同”区分开．
例如与互为相反数，而与虽然符号不同，但它们不是相反数．
⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．
这两点是关于原点对称的．
⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可．
一般地，数的相反数是；这里以表示任意一个数，可以为正数．0．负数，也可以是任意一个代数式．注意不一定是负数．
当时，；当时，；当时，.
⑷互为相反数的两个数的和为零，即若与互为相反数，则，
反之，若，则与互为相反数．
⑸多重符号的化简：一个正数前面不管有多少个“＋”号，都可以全部去掉；
一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉；
一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号，既“奇负偶正”（其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数的奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）.

【例17】的相反数是（ ）
A．2 B． C．-2 D．
【难度】1星
【解析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，- 的相反数为 ．
【答案】与- 符号相反的数是 ，所以- 的相反数是 ； 故选B．
【点评】本题主要相反数的意义，只有符号不同的两个数互为相反数，a的相反数是-a．


【例18】如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（ ）
A．+a和-（-a）互为相反数
B．+a和-a一定不相等
C．-a一定是负数
D．-（+a）和+（-a）一定相等
【难度】2星
【解析】根据相反数的定义去判断各选项．
【答案】A．+a和-（-a）互为相反数；错误，二者相等；
B．+a和-a一定不相等；错误，当a=0时二者相等；
C．-a一定是负数；错误，当a=0时不符合；
D．-（+a）和+（-a）一定相等；正确．
故选D．
【点评】本题考查了相反数的定义及性质，在判定时需注意0的界限．


【例19】若a，b互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是（ ）
A．-2a和-2b B．a+1和b+1 C．a+1和b-1 D．2a和2b
【难度】3星
【解析】若a，b互为相反数，则a+b=0，根据这个性质，四个选项中，两个数的和只要不是0的，一定不是互为相反数．
【答案】∵a，b互为相反数，∴a+b=0．
A中，-2a+（-2b）=-2（a+b）=0，它们互为相反数；
B中，a+1+b+1=2≠0，即a+1和b+1不是互为相反数；
C中，a+1+b-1=a+b=0，它们互为相反数；
D中，2a+2b=2（a+b）=0，它们互为相反数．
故选B．
【点评】本题考查了互为相反数的意义和性质：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；一对相反数的和是0．


【例20】相反数不大于它本身的数是（ ）
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
【难度】2星
【解析】设这数是a，得到a的不等式，求解即可；也可采用特殊值法进行筛选．
【答案】设这个数为a，根据题意，有-a≤a，所以a≥0． 故选D．
【点评】理解相反数的定义．实数a的相反数为-a；同时要理解不大于．不小于．非负数．非正数的含义．
【巩固】 的相反数是它本身．
【难度】１星
【解析】只有符号不同的两个数，绝对值相等叫做互为相反数．
【答案】∵在数轴上，绝对值相等的两个互为相反数的实数是0，故答案是：0．
【点评】本题主要考查了相反数的定义．
①在数轴上，互为相反数（0除外）的两个点位于原点的两旁，并且关于原点对称； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数； ③0的相反数是0．
【例21】已知代数式3x+1与代数式5-2x的值互为相反数，则x=_________
【难度】3星
【解析】根据相数的定义列出关于x的方程，3x+1+5-2x=0，解方程即可．
【答案】根据题意，有3x+1+5-2x=0，解之得x=-6．
故答案为-6．
【点评】熟练掌握相反数的概念和一元一次方程的解法．若两个数互为相反数，则它们的和为零，反之也成立．

模块五　　绝对值
绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离.数的绝对值记作.
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.
②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是.
③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：符号是负号，绝对值是.
求字母的绝对值：
① ② ③

【例22】在-（-2），-|-7|，，，中，负数有（　　）
A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个
【难度】１星
【解析】先将原题中的每一个数去掉括号．绝对值之后，再根据负数的定义作出判断与选择．
【答案】∵-（-2）=2，是正数；
-|-7|=-7，是负数；
-|+3|=-3是负数；
，是正数；
=是负数；
∴在以上数中，负数的个数是3．
故选C．
【点评】本题主要考查的是正数和负数，及绝对值．
去括号的法则是：①括号前面有“+“号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号不改变；③括号前面是“-“号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变为相反的符号．


【例23】下列说法，不正确的是（　　）
A．数轴上的数，右边的数总比左边的数大
B．绝对值最小的有理数是0
C．在数轴上，右边的数的绝对值比左边的数的绝对值大
D．离原点越远的点，表示的数的绝对值越大
【难度】2星
【解析】：根据实数与数轴的对应关系以及实数的意义即可判定选项A．C．D是否正确，0的上绝对值是0．
【答案】：A：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数比左边的数大，故此选项正确；
B：绝对值最小的有理数是0，故此选项正确；
C：-3在-2的左边，-3的绝对值大于-2的绝对值，故此选项错误；
D：离原点越远的点，表示的数的绝对值越大，故此窜项正确．
故选C．
【点评】本题主要考查了数轴和有理数之间的关系，0的绝对值是0．


【例24】如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（　　）

A．2的平方
B．-3.4的绝对值
C．-4.2的相反数
D． 的倒数
【难度】3星
【解析】先根据数轴上A点的位置确定A的取值范围，再根据每个选项中的数值进行判断即可．
【答案】由数轴上A点所表示的位置可知，3＜A＜4，
A．22=4，故本选项错误；
B．|-3.4|=3.4，3＜3.4＜4，故本选项正确；
C．4.2的相反数是4.2＞4，故本选项错误；
D． 的倒数是 =2.4，2.4＜3，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查的是数轴的特点及相反数．倒数的定义，能根据数轴的特点确定出A的取值范围是解答此题的关键．

板块六．科学计数法．有效数字
科学记数法：把一个大于10的数表示成的形式（其中，是整数），此种记法叫做科学记数法．
例如：就是科学记数法表示数的形式．
也是科学记数法表示数的形式．
有效数字： 从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字．
如：有两个有效数字：2，7 ；有5个有效数字：1，2，0，2，7．
注意：万，亿
常考点及易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保留有效数字的差别．
记忆方法：移动几位小数点问题．比如：要科学记数法，实际就是小数点向左移动到和之间，移动了位，故记为．
【例25】我国第六欢人口普查的结果表明，目前肇庆市的人口约为4050000人，这个数用科学记教法表示为（　　）
A． B． C． D．
【难度】1星
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【答案】 故选：C．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．


【例26】某种鲸的体重约为1.36×105kg．关于这个近似数，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字 B．精确到个位，有6个有效数字
C．精确到千位，有6个有效数字 D．精确到千位，有3个有效数字
【难度】2星
【解析】有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【答案】1.36×105kg最后一位的6表示6千，共有1．3．6三个有效数字．
故选D．
【点评】此题考查了科学记数法表示的数的有效数字的确定方法，要注意10的n次方限定的乘号前面的最后一位数表示的数位．


【例27】用四舍五入法按要求对0.05049分别取近似值，其中错误的是（　　）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.05（精确到百分位）
C．0.05（精确到千分位）
D．0.050（精确到0.001）
【难度】2星
【解析】根据近似数与有效数字的概念对四个选项进行逐一分析即可．
【答案】A．0.05049精确到0.1应保留一个有效数字，故是0.1，故本选项正确；
B．0.05049精确到百分位应保留一个有效数字，故是0.05，故本选项正确；
C．0.05049精确到千分位应是0.050，故本选项错误；
D．0.05049精确到0.001应是0．050，故本选项正确．
故选C．
【点评】本题考查的是近似数与有效数字，即从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．


【例28】据国家统计局2011年4月28日发布的《2011年第六次全国人口普查主要数据公报（第一号）》，总人口为1370536875人，这一数字用科学记数法表示为（ ）（保留四个有效数字）
A． B． C． D．
【难度】2星
【解析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于1370536875有10位，所以可以确定n=10-1=9．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【答案】=故选：C．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．
课堂检测

1. 在下列选项中，具有相反意义的量是（　　）
A．胜二局与负三局
B．盈利3万元与支出3万元
C．气温升高3℃与气温为-3℃
D．向东行20米和向南行20米
【难度】1星
【解析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再分析选项，选择正确答案．
【答案】A．胜二局与负三局，符合相反意义的量，故选项正确；
B．盈利与亏损才符合相反意义的量，而盈利与支出不是相反意义，应为盈利3万元与亏损3万元，故选项错误；
C．升高与下降才符合相反意义的量，而升高3℃与气温本身为-3℃不是相反意义的量，应为气温升高3℃与气温下降-3℃，故选项错误；
D．东行和西行才符合相反意义的量，而东行和南行则不是相反意义量，应为向东行20米和向西行20米，故选项错误．
故选A．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．


2. 在有理数中，不存在这样的一个数a，它（　　）
A．既是自然数又是整数
B．既是分数又是负数
C．既是非正的数又是非负的数
D．既是正数又是负数
【难度】2星
【解析】本题需要根据有理数的分类．自然数．整数．分数．负数．正数的特点及定义对各个选项逐个分析，找出正确选项即可．
【答案】因为自然数是整数，所以A错
因为负分数即是分数由是负数，所以B错
因为0既是非正的数又是非负的数，所以C错
故选D．
【点评】本题主要考查学生对自然数．整数．分数．负数．正数的特点及定义的理解和掌握，解答此题的关键是对有关概念的灵活掌握．


3. -8的相反数是（ ） A．-8 B． C． D．8
【难度】1星
【解析】根据相反数的定义进行解答即可．
【答案】由相反数的定义可知，-8的相反数是． 故选D．
点评：本题考查的是相反数的定义，即只有符号不同的两个数叫互为相反数．


4. 在2，+8， ， ，-5，0，-7，87，0.5，-6.79中负整数的个数是（　　）
A．4个 B．5个 C．2个 D．3个
【难度】2星
【解析】正整数，0，负整数组成整数，审清题意本题要选的是负整数．
【答案】以上数据中只有-5，-7是负整数．
故答案为C．
【点评】本题考负整数的概念以及审题一定仔细看条件．


5. 在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是（ ）
A．-1 B．3 C．±2 D．-1或3
【难度】2星
【解析】先设此点表示的数为x，再根据数轴上距离的定义进行解答即可．
【答案】设在数轴上，与表示数1的点的距离是2的点表示的数是x，
则|x-1|=2，
解得x=-1或x=3．
故选D．
【点评】本题考查的是数轴上距离的定义，属较简单题目．


6. 如果a的相反数是 ，那么a的值是（　　）
A．-3 B．3 C． D．
【难度】1星
【解析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，- 的相反数为 ．
【答案】∵与a符号相反的数是 ，而与 符号相反的数是 ，
∴a= ； 故选D．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．


7. 下列数：-0.5， ，0.1，-3，0，-（+0.75）， ， ．其中是负分数的有（　　）：
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【难度】3星
【解析】根据有理数的分类：有理数 ，和分数的定义解答．
【答案】∵-0.5= ．-（+0.75）=- ． = ．|- |= ，
∴在-0.5， ，0.1，-3，0，-（+0.75）， ， 中的负分数有：-0.5， ，-（+0.75）共3个；
故选B．
【点评】本题综合考查了有理数．相反数．绝对值．注意，分数与小数实际上是一回事，你可以把所有的小数划成分数，也可以把大部分分数划成小数


8. 地球上水的总储量为，但目前能被人们生产．生活利用的水只占总储量的0.77%，即约为，因此我们要节约用水．请将用科学记数法表示是（　　）
A． B．
C． D．

【难度】1星
【解析】先根据科学记数法的方法求出n的值，再用科学记数法表示即可．
【答案】∵写成原数为：107 000 000 000 000 00，
∴n=17-1=16，
∴用科学记数法表示是
故选A．
【点评】本题考查的是科学记数法，能根据题意把写成原数是解答此题的关键．


9. 据统计，十堰市2011年报名参加9年级学业考试总人数为26537人，则26537用科学记数法表示为（保留两个有效数字）（　　）
A．2.6x104 B．2.7x104 C．2.6x105 D．2.7x105
【难度】2星
【解析】：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于26537有位，所以可以确定n=5-1=4．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【答案】26537=2.6537×104≈2.7×104．
故选：B．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．




课后作业

1. 如果+9%表示“增加9%”，那么“减少6%”可以记作（　　）
A．-6% B．-4% C．+6% D．+4%
【难度】1星
【解析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．所以“减少6%”可以记作-6%．
【答案】∵“正”和“负”相对，
又∵+9%表示“增加9%”，
∴“减少6%”可以记作-6%．
故选A．
【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．


2. 食堂购进10袋大米，每袋以100千克为准，称重时，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重记录如下：
+5，-3，+7，0，0，+2，-4，-1，+8，-2．
食堂共购进大米 ________千克．
【难度】1星
【解析】求出10袋大米总计超出或不足的重量，再加上10×100千克即可．
【答案】（+5）+（-3）+（+7）+0+0+2+（-4）+（-1）+8+（-2）
=5+7+2+8+（-3）+（-4）+（-1）+（-2）
=22+（-10）=12，（3分）
100×10+12=1012（千克），（5分）
答：食堂共购进大米1012千克．（6分）
【点评】用正数表示其中一种意义的量，另一种量用负数表示；特别地，在用正负数表示向指定方向变化的量时，通常把向指定方向变化的量规定为正数，而把向指定方向的相反方向变化的量规定为负数．


3. 下列说法中错误的是（　　）
A．正整数．负整数．零统称为整数
B．正分数．负分数统称为分数
C．整数．分数和零统称为有理数
D．0是偶数，也是自然数
【难度】1星
【解析】按照有理数的分类填写：有理数 ．
【答案】A．整数分为正整数．负整数和零，故本选项正确；
B．分数分为正分数和负分数，故本选项正确；
C．有理数分为整数．分数，故本选项错误；
D．偶数包括正偶数．负偶数和0；自然数是表示物体个数的数，自然数由0开始（包括0），一个接一个，组成一个无穷的集体． 故本选项正确；
故选C．
【点评】本题主要考查了有理数的分类．在解题时，认真掌握正数．负数．整数．分数．正有理数．负有理数．非负数的定义与特点．
注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
4. 下列说法：①-2.5既是负数．分数，也是有理数；②-25既是负数，也是整数，但不是自然数；③0既不是正数，也不是负数；④0是非负数．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【难度】2星
【解析】按照有理数的定义（有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式）分类做出判断．
【答案】①-2.5=- ，所以它是有理数，同时也是负数和分数，故正确；
②-25是负整数，但不是自然数，自然数是大于等于0的正整数，故正确；
③0既不是正数，也不是负数，是整数，故正确；
④0既不是正数，也不是负数，是非负数，故正确；
故选D．
【点评】①认真掌握正数．负数．整数．分数．正有理数．负有理数．非负数的定义与特点．
②注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．

5. 数轴上的A点表示的数是-3，数轴上另一点B到A点的距离是2，则B点所表示的数是________。
【难度】2星
【解析】先将点A在数轴上标出来，然后根据题意在数轴上找到点B即可．
【答案】设A点表示的有理数为x，B点表示的有理数为y，
∵点B与点A的距离为2，即，
∴，
解得．
故答案为：或．

【点评】此题综合考查了数轴．绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．


6.数轴上表示互为相反数a与-a的两个点（ ）
A．到原点的距离一样远
B．到原点的距离不一样远
C．表示数a的点在原点的右边
D．表示数-a的点在原点的左边
【难度】2星
【解析】由于互为相反数的两个数绝对值相等，所以它们到原点的距离相同．
【答案】符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数；因此表示互为相反数a与-a的两个点到原点的距离一样远．
故选A．
【点评】理解相反数的定义是解答此题的关键．符号不同，而绝对值相等的两个数互为相反数．
7. 已知数轴上A．B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是6，点A在点B的左边，则点A．B表示的数分别是 __________
【难度】2星
【解析】利用数形结合的思想，数轴上A．B表示的数互为相反数，说明A，B到原点的距离相等，再通过它们的距离为6，并且点A在点B的左边，可以确定这两个点的位置，即它们所表示的数．
【答案】数轴上A．B表示的数互为相反数，则两个点到原点的距离相等，而它们的距离为6，所以它们到原点的距离都为3；有因为点A在点B的左边，所以点A．B表示的数分别是-3，3．
故答案为-3，3．
【点评】熟练掌握数轴的有关知识和相反数的定义．数轴有原点，方向和单位长度，数轴上的点与实数一一对应；若两个数互为相反数，则它们的和为0．利用数轴可以很好的解决有关实数的问题．


8. 下列说法正确的有（　　）
①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数．
A．②④⑤⑥
B．③⑤
C．③④⑤
D．③⑤⑥
【难度】3星
【解析】分别根据有理数．绝对值．相反数的定义及数轴的特点对各小题进行逐一判断．
【答案】①0是有理数，|0|=0，故本小题错误；
②互为相反数的两个数的绝对值相等，故本小题错误；
③互为相反数的两个数的绝对值相等，故本小题正确；
④有绝对值最小的有理数，故本小题错误；
⑤由于数轴上的点和实数是一一对应的，所以所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，故本小题正确；
⑥只有符号不同的两个数互为相反数，故本小题错误．
所以③⑤正确．
故选B．
【点评】本题考查的是有理数．绝对值．相反数的定义及数轴的特点，熟知以上知识是解答此题的关键．


9. 由四舍五入得到近似数3.00万（　　）
A．精确到万位，有1个有效数字
B．精确到个位，有1个有效数字
C．精确到百分位，有3个有效数字
D．精确到百位，有3个有效数字
【难度】2星
【解析】确定3.00万这样的数精确到哪一位，可以先确定小数点前面的3表示3万，是万位，然后看这个数的最后一位相应数0在百位上，这个数就是精确到百位．
【答案】近似数3.00万精确到百位，有3个有效数字． 故选D．
【点评】 确定有效数字时要注意：左边第一个不是0的数字前的0不是有效数字，而后面的0是有效数字．不是用科学记数法表示的数需要确定精确到哪一位，主要看最后一位是什么位，就是精确到哪一位．


10. 某地区有54310人参加中考，将54310用科学记数法（保留2个有效数字）表示为（　　）
A．54×103 B．0.54×105 C．5.4×104 D．5.5×104
【难度】2星
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于54310有5位，所以可以确定n=5-1=4．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【答案】54310=5.431×104≈5.4×104． 故选C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．


11.某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正．减产记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
七
增减
+5
-2
-4
+13
-10
+16
-9
（1）根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车 __________辆；
（2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车 _________辆；
（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车 ________辆；
（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是 ________元．
【难度】3星
【解析】（1）该厂星期四生产自行车200+13=213辆；
（2）该厂本周实际生产自行车（5-2-4+13-10+16-9）+200×7=1409辆；
（3）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车16-（-10）=26辆；
（4）这一周的工资总额是200×7×60+（5-2-4+13-10+16-9）×（60+15）=84675辆．
【答案】（1）超产记为正．减产记为负，所以星期四生产自行车200+13辆，
故该厂星期四生产自行车213辆；
（2）根据题意5-2-4+13-10+16-9=9，200×7+9=1409辆，
故该厂本周实际生产自行车1409辆；
（3）根据图示产量最多的一天是216，产量最少的一天是190，216-190=26辆，
故产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车26辆；
（4）根据图示本周工人工资总额=7×200×60+9×75=84675元，
故该厂工人这一周的工资总额是84675．
【点评】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．