2022-2023学年天津市和平区益中学校八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市和平区益中学校八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如果有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图，在中，，，，则边上的高为(    )
 

A.  B.  C.  D.

3.  下列判断错误的是(    )

A. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B. 四个内角都相等的四边形是矩形
C. 邻边相等的平行四边形是菱形 D. 两条对角线垂直且平分的四边形是正方形

4.  如图，矩形的对角线交于点，若，，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则、的取值范围是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

7.  一组数据，，，，，，的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

8.  如图，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  若直角三角形的两边长分别为、，且满足，则该直角三角形的第三边长为(    )

A.  B. 或 C.  D. 或

10.  如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  如图，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港岀发到乙港行驶路程随时间变化的图象．则下列结论错误的是(    )

A. 轮船的速度为千米时
B. 快艇的速度为千米时
C. 轮船比快艇先出发小时
D. 快艇到达乙港用了小时

12.  直线与直线是常数，且交于点，当的值发生变化时，点到直线的距离总是一个定值，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  计算： ______ ．

14.  将直线向下平移个单位长度后，所得直线解析式______ ．

15.  甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击次．他们的平均成绩均为环，次射击成绩的方差分别是：，成绩较为稳定的是______ ．

16.  如下图，在▱中，对角线，相交于点，点是的中点，，则的长是______ ．

17.  如图，▱中，，，为边上一点，则最小值为______．

18.  如图，每个小正方形的边长都是，，，，均在网格的格点上．

判断是否为直角：______ 填写“是”或“不是”
直接写出四边形的面积为______ ．
找到格点，并画出四边形一个即可，使得其面积与四边形面积相等．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：
；
 

20.  本小题分
学校为了解全校学生参加社会实践活动情况，随机调查了部分学生一学期参加社会实践活动的时间单位：天，并用得到的数据绘制了统计图和图请根据图中提供的信息，回答下列问题：

Ⅰ本次随机调查的学生人数是______ ，图中的值是______ ；
Ⅱ求调查获取的学生社会实践活动时间样本数据的众数、中位数和平均数；
Ⅲ该校有名学生，根据获取的社会实践活动时间样本数据，估计该校一学期社会实践活动时间大于天的学生人数．

21.  本小题分
如图，在四边形中，，，，．
求的度数；
求四边形的面积．

22.  本小题分
如图，在四边形中，，，平分，连接交于点，过点作交延长线于点．
求证：四边形为菱形；
若，，求的长．

23.  本小题分
某地地震发生后，根据救灾指挥中心的信息，甲、乙两个重灾区急需一种大型挖据机，甲地需要台，乙地需要台，、两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠该型号挖据机台和台，并将其全部调运往灾区，如果从省调运一台挖据机到甲地耗资万元，到乙地耗资万元：从省调运一台挖掘机到甲地耗资万元，到乙地耗资万元设从调往甲地台挖掘机，两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资万元．
用含的代数式填写下表：

求与之间的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
若总耗资不超过万元，共有哪几种调运方案？

24.  本小题分
已知矩形中，、分别是、的中点，、分别是线段、的中点．
求证：≌；
判断四边形是______ 只写结论，不需证明；
在的前提下，当等于多少时，四边形是正方形，并给予证明．

25.  本小题分
在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于，两点，直线：与坐标轴交于点．

点的坐标为______ ，点的坐标为______ ；
如图，当时，点的坐标为______ ，点的坐标为______ 直线与相交于点，求两条直线与轴围成的的面积；
若直线，与轴不能围成三角形，的值为______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故选：．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；由勾股定理的逆定理证出三角形是直角三角形是解决问题的关键．根据所给的条件和勾股定理的逆定理证出是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可得出边上的高．
【解答】
解：，，，
，
是直角三角形，，
则由面积公式知，，
．
故选C．  

3.【答案】 

【解析】解：、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不符合题意；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，故不符合题意；
C、邻边相等的平行四边形是菱形，故不符合题意；
D、两条对角线相等、垂直且平分的四边形是正方形，故符合题意；
故选：．
根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理即可得到结论．
本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握各判定定理是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了矩形的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据矩形的对角线互相平分解答．
【解答】

解：在矩形中，，
，，
，
．
故选A．

5.【答案】 

【解析】解：．不能合并了；不符合题意．
B.；不符合题意．
C.正确；符合题意．
D.；不符合题意．
故选：．
和是合并同类二次根式的法则，项是算术平方根，不是平方根．是化简．
考查了平方根和算术平方根的区别；同类二次根式的合并法则；熟练进行二次根式的化简．
 

6.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、三象限，
，．
故选：．
根据一次函数图象与系数的关系进行判断．
本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．记住，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．
 

7.【答案】 

【解析】解：这组数据从小到大排列是：，，，，，，，
出现次数最多的数是，故众数是；
处在中间位置的数，即处于第四位的数是中位数，是，
故选：．
根据众数的意义，找出出现次数最多的数，根据中位数的意义，排序后找出处在中间位置的数即可．
考查众数、中位数的意义，即从出现次数最多的数、和排序后处于中间位置的数．
 

8.【答案】 

【解析】解：由函数图象知，当时，，
即不等式的解集为．
故选：．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象上方，所以关于的不等式的解集为．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，，
，，
当是直角三角形的直角边时，直角三角形的第三边长；
当是直角三角形的斜边时，直角三角形的第三边长，
直角三角形的第三边长为或．
故选：．
根据非负数的性质列出方程求出、的值，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，非负数的性质：几个非负数的和为时，这几个非负数都为．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，

由正方形的性质可得，，
，
是的中点，
，
，，
，
，
故选：．
如图，连接、，由正方形的性质可得，，则，由 是的中点，可得，根据勾故定理求、的值，根据，求的值，进而可求．
本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
 

11.【答案】 

【解析】解：观察图象，可知轮船出发小时后被快艇追上，所以错误的是第四个结论．
故选：．
观察图象，该函数图象表示的是路程与之间的函数关系，可知轮船出发小时后被快艇追上，在小时时快艇和轮船行驶的路程相等．
本题考查了一次函数的图象的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时分析清楚函数图象提供的信息是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：直线与直线是常数，且交于点，
解析式联立解得，，，
，
，
当为一个的确定的值时，是的正比例函数，
即：点在直线上，
点到直线的距离总是一个定值，
直线与直线平行，
，
．
故选：．
先求得交点的坐标，即可求出点的轨迹，进而判断出直线与直线平行，即可求出的值．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，平行线的判定，得出点的轨迹，利用方程的思想解决问题是解本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据算术平方根直接计算．
本题主要考查了算术平方根的知识，难度不大．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线向下平移个单位长度后：，即．
故答案为：．
直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．
本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．
 

15.【答案】乙 

【解析】解：因为，方差最小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙．
故填乙．
根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，
点是的中点，
为的中位线，
，
，
．
故答案为：．
根据平行四边形的性质，可得出点平分，则是三角形的中位线，则，继而求出答案．
本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，属于基础题，比较容易解答．
 

17.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，构造直角三角形是解题的关键．
由直角三角形的性质可得，，则当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，即可求解．
【解答】
解：如图，过点作，交的延长线于，

四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，
此时：，，
，
，，
则最小值为，
故答案为：．  

18.【答案】不是   

【解析】解：，，，
，
，
不是直角．
故答案为：不是；
四边形的面积．
故答案为：；
如图，四边形即为所求答案不唯一．

利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可；
利用分割法求出四边形的面积；
利用等高模型解决问题即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是掌握等高模型解决问题．
 

19.【答案】解：

；



． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
根据平方差公式计算即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：Ⅰ本次随机调查的学生人数是，
．
故答案为：，；
Ⅱ观察条形统计图，
在这组数据中，出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数为．
将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是，
有，
这组数据的中位数为．
，
这组数据的平均数是．
Ⅲ在统计的这组学生参加社会实践活动时间的样本数据中，社会实践活动时间大于天的学生人数占，
估计该校名学生中，参加社会实践活动时间大于天的学生人数约占，有．
参加社会实践活动时间大于天的学生人数约为．
Ⅰ依据条形统计图中的数据，即可得到本次随机调查的学生人数以及图中的值；
Ⅱ依据条形统计图中的数据，即可得出众数、中位数和平均数；
Ⅲ在统计的这组学生参加社会实践活动时间的样本数据中，社会实践活动时间大于天的学生人数占，即可估计该校一学期社会实践活动时间大于天的学生人数．
本题考查的是统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

21.【答案】解：连接，

，，
，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
的度数为；
由题意得：
四边形的面积的面积的面积


，
四边形的面积为． 

【解析】连接，在中，利用勾股定理求出的长，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答；
根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
，四边形是平行四边形，
平分，
，
，
，
▱是菱形；
解：四边形是菱形，，，
，，，
，
，
，
，
即，
解得：，
即的长为． 

【解析】先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题．
此题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
 

23.【答案】           

【解析】解：从调往甲地台挖掘机，甲地需要台，则从省调台到甲地；
因为省共台挖掘机，已经调往甲地台挖掘机，则还剩台调往乙地，乙地需要台，已经从省调台到乙地，省共台挖掘机，从省调台到甲地后还剩台调往乙地；
省运往乙地耗资；省运往甲地耗资，省运往乙地耗资，
故答案为：，，；，，；
由题意得：，
即：；
依题意，得，
解得：，
又，且为整数，
或，
要使总耗资不超过万元，有如下两种调运方案：
方案一：从省往甲地调运台，往乙地调运台；从省往甲地调运台，往乙地调运台．
万元；
方案二：从省往甲地调运台，往乙地调运台；从省往甲地调运台，往乙地调运台．
万元，
，
调运方案二的总耗资最少．
根据甲、乙两地需要大型挖掘机台数以及，两省挖掘机台数用未知数表示出分配方案．
利用就可以表示出省，省调甲，乙两地的台数，进而可以得到费用，得到函数解析式；
总耗资不超过万元，即可得到关于的不等式，即可求解；
此题主要考查了一次函数的应用及调运方案问题，根据已知表示出从省调台到甲地后还剩台调往乙地是解题关键．
 

24.【答案】菱形 

【解析】证明：四边形是矩形，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
≌；
解：四边形是菱形；理由如下：
由得：≌，
，
、分别是线段、的中点，
，，
，
又是的中点，
、是的中位线，
，，
，
四边形是菱形；
解：当时，四边形是正方形；
证明如下：当时，，
是等腰直角三角形，
，
同理：，
，
四边形是正方形．
由矩形的性质得出，，再由是的中点，根据即可证明≌；
先由得出，再由已知条件证出，、是的中位线，即可证出，得出四边形是菱形；
先证出，同理得出，证出，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定、正方形的判定；熟练掌握矩形的性质以及菱形、正方形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

25.【答案】         

【解析】解：直线：与坐标轴交于，两点，
当时，得，当时，；
，；
故答案为：，；
当时，直线：，
，，
联立，
解得，
，
的面积．
故答案为：，；
依题意，当时，两直线与轴不能围成三角形，则，
故答案为：．
对于，分别令，，即可求解；
对于，分别令，，即可求得，的坐标，联立求得点坐标，根据三角形的面积计算公式，即可求解；
根据两直线平行，比例系数相等，即可求解．
本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积等知识，理解题意，学会构建一次函数解决取值问题是解题的关键．