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初中1.4 用一元二次方程解决问题课堂检测
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这是一份初中1.4 用一元二次方程解决问题课堂检测，共25页。试卷主要包含了某药品经过两次降价等内容，欢迎下载使用。
1.4 用一元二次方程解决问题
1．（2022·江苏江苏·九年级期末）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．289（1﹣x）2＝256 B．256（1﹣x）2＝289
C．289（1﹣2x）＝256 D．256（1﹣2x）＝289
2．（2022·江苏常州·九年级期末）为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（ ）
A．200（+x)=288 B．200（1+2x)=288
C．200（1+x)²＝288 D．200（1+x²)=288
3．（2022·江苏无锡·九年级期末）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏江苏·九年级期末）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价．某种药品原价为289元，在连续进行两次降价后价格调整为256元．设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·江苏南京·九年级期末）某企业2018年全年收入720万元，2018、2019、2020这三年的全年收入的和为2383.2万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x，则可列方程( )
A．720(1＋x)2＝2383.2 B．720＋720(1＋x)＋720(1＋x)2＝2383.2
C．720(1＋2x)＝2383.2 D．720(1＋3x)＝2383.2
6．（2022·江苏宿迁·九年级期末）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元．则二月份、三月份营业额的平均增长率为__________．
7．（2022·江苏扬州·九年级期末）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为______.
8．（2022·江苏南京·九年级期末）某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______．
9．（2022·江苏南京·九年级期末）一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至64元，设平均每次降价的百分率为，则根据题意可列方程为__________．
10．（2022·江苏省南京二十九中教育集团致远中学九年级期末）某药品经过两次降价．每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同、设平均每次降价的百分率是x，可列方程为_____________________．
11．（2022·江苏扬州·九年级期末）无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，2019年底至2021年底，我国拥有民用无人机驾驶执照的人数从2.44万人增加到6.72万人．若设2019年底至2021年底，我国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为______．
12．（2022·江苏扬州·九年级期末）某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为，可列方程为__________
13．（2022·江苏江苏·九年级期末）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到507千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为_________．
14．（2022·江苏镇江·九年级期末）一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为．类似的，一种药品经过n次降价，药价从每盒a元下调至b元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为______．
15．（2022·江苏泰州·九年级期末）随着退耕还林政策的进一步落实，某村从2017年底到2019年底林地面积变化如图所示，则2018，2019这两年该村林地面积年平均增长的百分率为_______．
16．（2022·江苏淮安·九年级期末）要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米?设AB=x米，根据题意可列出方程的为_________．
17．（2022·江苏连云港·九年级期末）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株．设每盆多植x株，则可以列出的方程是____________．
18．（2022·江苏泰州·九年级期末）某国产品牌的新能汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从1月份的10万辆增长到3月份的12.1万辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为______．
19．（2022·江苏宿迁·九年级期末）某工厂两年内产值翻了一番，则该工厂产值年平均增长的百分率等于 _____．（结果精确到0.1%，参考数据：1.414，1.732．）
20．（2022·江苏淮安·九年级期末）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
(1)设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 m（用含x的代数式表示）；
(2)若菜园的面积为100m2，求x的值．
21．（2022·江苏淮安·九年级期末）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
22．（2022·江苏常州·九年级期末）百货大楼童装专柜平均每天可售出30件童装，每件盈利40元，为了迎接“周年庆”促销活动，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．要使平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？
23．（2022·江苏泰州·九年级期末）某服装厂生产一批服装，成本为180元/件．当销售单价为200元/件时，月销售量为2000件，经市场调研发现，销售单价每涨1元，月销售量将减少2件．根据物价部门的规定，这批服装的利润率不得超过100%，若该服装厂这个月销售总额为540000元则销售单价为多少元/件？
24．（2022·江苏镇江·九年级期末）某体育用品商店举行“年终狂欢”促销活动，某种运动鞋零售价每双240元，如果一次性购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于160元．一位顾客购买这样的运动鞋支付了3600元，求这位顾客购买了多少双鞋？
25．（2022·江苏南京·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．
(1)求小路的宽度．
(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
26．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求2022年1月“冰墩墩”的销量．
27．（2022·江苏盐城·九年级期末）随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增．某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？
28．（2022·江苏·射阳县第六中学九年级期末）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
29．（2022·江苏淮安·九年级期末）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆．
（1）求该品牌电动车销售量的月平均增长率；
（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元．
30．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道如图所示，问人行通道的宽度是多少米？
31．（2022·江苏泰州·九年级期末）学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）．
(1)如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；
(2)若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长．
32．（2022·江苏扬州·九年级期末）用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
(1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
(2)生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
33．（2022·江苏徐州·九年级期末）如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．
34．（2022·江苏江苏·九年级期末）张大伯家有一块长8米，宽6米的矩形菜地，现在将这块菜地长和宽都拓宽x米（如图所示），如果要使拓宽后的矩形菜地的面积是原面积的，那么x应该为多少？
35．（2022·江苏常州·九年级期末）老李有一块长方形菜地（长大于宽），面积为180m2，他利用菜地宽处修了一个宽为3m的蓄水池，修完后老李发现他的菜地刚好变成一个正方形菜地.那么老李原来的菜地周长为___________m．
36．（2022·江苏南京·九年级期末）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形A的周长和面积的一半？”
(1)当已知矩形A相邻两边的长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B相邻两边的长分别是x和y，根据题意，得方程组消去y，化简得2x2﹣7x+6＝0．解得x1＝ ，x2＝ ，∴满足要求的矩形B存在．
(2)如果已知矩形A相邻两边的长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
(3)设矩形A相邻两边的长分别为m和n，若所求矩形B存在，请直接写出m和n满足的关系式．
37．（2022·江苏扬州·九年级期末）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出10件．
（1）每件商品涨价多少元时，每星期该商品的利润是4000元？
（2）每件商品的售价为多少元时，才能使每星期该商品的利润最大？最大利润是多少元？
38．（2022·江苏扬州·九年级期末）某种服装，平均每天销售20件，每件盈利20元． 经调研发现，在成本不变的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，为确保每件服装获得一定的利润，每件降价不超过10元．
(1)设每件降价x元，则每天将销售 件；(用含x的代数式表示)
(2)如果每天要盈利540元，每件应降价多少元？
39．（2022·江苏无锡·九年级期末）某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，但售价不低于35元/本．方案二：前5本按定价出售，超过5本以上的部分可以打折．
(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量；
(2)如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？
40．（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
(1)BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
41．（2022·江苏南京·九年级期末）为适应“新冠肺炎”常态化疫情防控需要，去年10月，某社区根据实际需要，采购了5000个口罩，一部分用于社区家庭，其余部分用于社区工作人员．据统计，10月份该社区有200户家庭有口罩需求，平均每户需要10个，其余口罩刚好满足社区工作人员的防疫需要．随着秋冬季的来临，防疫的压力加大，11月份，该社区对口罩的总需求量比10月份增加了20%，需要口罩的家庭户数比10月份增加了a%，社区工作人员需要口罩的个数比10月份增如了1.5a%，同时，由于该社区加大了管控力度，平均每户家庭的口罩需求量减少了a%，求a的值．
42．（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0．
参考答案：
1．A
【解析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x）2，由题意可列方程289（1﹣x）2＝256．
解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1﹣x），则第二次售价为289（1﹣x）2
由题意得：289（1﹣x）2＝256
故选A．
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
2．C
【解析】设月增长率为x，根据等量关系用增长率表示7月份的销售量与销售288相等，可列出方程200（1+x)²＝288即可．
解：设月增长率为x，则可列出方程200（1+x)²＝288．
故选C．
本题考查列一元二次方程解增长率问题应用题，掌握列一元二次方程解增长率问题应用题方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键．
3．B
【解析】根据等量关系：原价×（1－x）2=现价列方程即可．
解：根据题意，得：，
故答案为：B．
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解答的关键．
4．C
【解析】设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289(1－x)，根据关键语句“连续两次降价后为256元”可得方程．
设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289(1－x)，则第二次降价为289(1 -x)2，
由题意得：
故选：C．
此题主要考查求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
5．B
【解析】2018年全年收入720万元，2019年全年收入是720（1+x），2020年全年收入是2（1+x）2，本题首先由题意得出题中的等量关系即三年的全年收入的和为2383.2万元，列出方程即可．
解：设该企业全年收入的年平均增长率为x，则2019年全年收入是720（1+x），2020年全年收入是2（1+x）2，
依题意得：720＋720(1＋x)＋720(1＋x)2=2383.2．
故选：B．
本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．
6．20%
【解析】利用关系式：一月份的营业额×（1+增长率）2=三月份的营业额，设出未知数列出方程解答即可．
解：设这两个月的营业额增长的百分率是x．
200×（1+x）2=288，
解得：x1=-2.2（不合题意舍去），x2=0.2，
答：每月的平均增长率为20%．
故答案为：20%．
此题考查一元二次方程的应用，得到三月份营业额的关系式是解决本题的关键．
7．80(1+x)2＝100
【解析】利用增长后的量＝增长前的量×(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程.
解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨
2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即：80(1+x)(1+x)＝100或80(1+x)2＝100.
故答案为80(1+x)2＝100.
本题考查了一元二次方程与增长率问题的实际运用，熟练掌握相关概念是解题关键
8．4.86（1+x）2=6
【解析】根据等量关系：增产前的产量×（1+x）2=增产后的产量列出方程即可．
解：根据题意，得：4.86（1+x）2=6，
故答案为：4.86（1+x）2=6．
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．
9．
【解析】先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1-降价的百分率)=64，把相应数值代入即可求解．
解：第一次降价后的价格为80×(1-x)元，
第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为80×(1-x)×(1-x)元，
所以可列方程为：．
故答案为：．
本题考查平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
10．
【解析】此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的(1一x)，第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程即可．
根据意义可列方程：
，
故答案为：．
本题考查一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
11．
【解析】设用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，根据“用无人机驾驶执照的人数从2.44万人增加到6.72万人．”列出方程，即可求解．
解：设用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，根据题意得：
．
故答案为：
本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
12．
【解析】第一天500本，第二天增长500x本，第二天实际为（500+500x）本，第三天增长（500+500x）×x本，本，第三天实际为[（500+500x）+（500+500x）×x]本，整理，这个数量就是720本，建立等式即可．
根据题意，得，
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的平均增长率问题，正确理解平均增长率是解题的关键．
13．
【解析】根据增长率问题公式解答．
解：设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为，
故答案为：．
此题考查了一元二次方程的实际应用—增长率问题，正确掌握增长率问题的计算公式（a是前量，b是后量，x是增长率），并正确应用是解题的关键．
14．a（1-x）n=b
【解析】利用经过n次降价后的价格=原价×（1-平均每次降价的百分率）n，即可得出关于x的一元n次方程，此题得解．
解：依题意得：a（1-x）n=b．
故答案为：a（1-x）n=b．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元高次方程是解题的关键．
15．10%
【解析】设年平均增长率是x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
设年平均增长率是x，
根据题意有：，
解得：x=10%，（负值舍去），
故年平均增长率是10%，
故答案为：10%．
本题考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
16．x（100-4x）=400
【解析】由题意，得BC的长为（100-4x）米，根据矩形面积列方程即可.
解：设AB为x米，则BC的长为（100-4x）米
由题意，得x（100-4x）=400
故答案为：x（100-4x）=400.
本题主要考查了一元二次方程的实际问题，解决问题的关键是通过图形找到对应关系量，根据等量关系式列方程.
17．(3＋x)(4－0.5x)＝15
【解析】由每盆多植x株，可得每盆共有(x+3)株；由“每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元”可得：增加x株后平均每株盈利为(4-0.5x)元；接下来根据等量关系：每盆花的株数×平均每株盈利=15元，即可列出方程．
解：根据题意可得(x+3)(4-0.5x)=15．
故答案为：(x+3)(4-0.5x)=15．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解答本题的关键．
18．10%
【解析】可先表示出2月份的销量，那么2月份的销量×（1+增长率）=12.1，把相应数值代入即可求解．
解：2月份的销量为10×（1+x），3月份的销量在2月份销量的基础上增加x，
为10×（1+x）×（1+x），根据题意得，
10（1+x）2=121．
解得，（舍去），
∴从1月份到3月份的月平均增长率为10%
故答案为：10%
考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
19．
【解析】设该工厂产值年平均增长的百分率为x，利用两年后的产值＝原产值×（1+年平均增长的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，计算求出满足要求的解即可．
解：设该工厂产值年平均增长的百分率为x，
由题意得：，
解得： ，（不合题意，舍去），
∴
∴该工厂产值年平均增长的百分率约为．
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的应用，近似数．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
20．(1)（30－2x）
(2)10
【解析】（1）根据图形直接可得答案；
（2）由矩形面积公式列方程即可解得答案．
(1)
解：设垂直于墙的一边长为xm，
由图可得：平行于墙的一边长为（30−2x）m，
故答案为：30−2x；
(2)
解：根据题意得：x（30−2x）＝100，
∴x2−15x＋50＝0，因式分解得，解得x＝5或x＝10，
当x＝5时，30−2x＝20>18；当x＝10时，30−2x＝10<18；
∴x＝5不合题意，舍去，即x＝10，
答：x的值为10m．
本题考查根据题意列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意、数形结合列出相应代数式及方程．
21．她购买了20件这种服装．
【解析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．
解：设购买了件这种服装，根据题意得出：
，
解得：，，
当时，不合题意舍去；
答：她购买了20件这种服装．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据已知得出每件服装的单价．
22．10元或20元
【解析】设每件童装应降价x元，根据题意列出一元二次方程，解方程求解即可
解：设每件童装应降价x元
根据题意，得
解这个方程，得
答：每件童装应降价10元或20元．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
23．300元/件
【解析】设销售单价为元/件，根据等量关系销售单价×销量=5400000，列方程得，解方程即可．
解：设销售单价为元/件，根据题意，得
．
整理得，
解得：，．
因为成本为180元/件，且这批服装的利润率不得超过100%，所以售价不得超过360元/件．所以舍去．
答：销售单价为300元/件．
本题考查列一元二次方程解应用题，掌握一元二次方程解应用题方法与步骤是解题关键．
24．20
【解析】利用总价=单价×数量可求出购买10双鞋所需费用，由该值小于3600可得出购买数量超过10，设这位顾客购买了x双鞋，则每双鞋的售价为（300-6x）元，利用总价=单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合单价不能低于160元，即可得出这位顾客购买了20双鞋．
解：∵240×10=2400（元），2400＜3600，
∴购买数量超过10．
设这位顾客购买了x双鞋，则每双鞋的单价为240-6（x-10）=（300-6x）元，
依题意得：x（300-6x）=3600，
整理得：x2-50x+600=0，
解得：x1=20，x2=30．
当x=20时，300-6x=300-6×20=180＞160，符合题意；
当x=30时，300-6x=300-6×30=120＜160，不符合题意，舍去．
答：这位顾客购买了20双鞋．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．(1)小路的宽度是2m；
(2)每次降价的百分率为20%
【解析】（1）设小路的宽度为xm，根据总面积为480列方程求解即可；
（2）设每次降价的百分率为y，根据等量关系列方程50（1－y）2=32解方程即可求解．
(1)
解：设小路的宽度为xm，根据题意，
得：（20+2x）（16+2x）=480，
整理得： x2+18x－40＝0，
解得：x1=2，x2=－20（舍去），
答：小路的宽度为2m；
(2)
解：设每次降价的百分率为y，根据题意，
得：50（1－y）2=32，
解得：y1＝0.2，y2＝1.8（舍去），
答：每次降价的百分率为20%．
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．
26．(1)该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%；
(2)2022年1月“冰墩墩”的销量为3.993万件．
【解析】（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率x，等量关系是12月销量，两用增长率表示12月份销量=3.63，列方程3（1+x）2=3.63，解方程即可；
（2）列算式3.63（1+10%）计算即可．
(1)
解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率x，
根据题意，得：3（1+x）2=3.63,
∴
∴，或
∵增长率不能为负数，舍去，经检验符合题意
答该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%；
(2)
解：3.63（1+10%）=3.993万件，
答2022年1月“冰墩墩”的销量为3.993万件．
本题考查列一元二次方程解增长率问题应用题，有理数乘法运算，掌握列一元二次方程解增长率问题应用题方法与步骤，有理数乘法运算法则是解题关键．
27．（1）每天增长的百分率是20%；（2）应该建5条生产线
【解析】（1）设每天增长的百分率是x，然后根据开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，列出方程求解即可；
（2）设应该建y条生产线，然后根据每增加1条生产线，由于资调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，列出方程求解即可．
解：（1）设每天增长的百分率是x，
由题意得：，
解得，
∴每天增长的百分率是20%；
（2）设应该建y条生产线，
由题意得：，
整理得：，
解得或（舍去），
∴应该建5条生产线，
答：应该建5条生产线．
本题主要考查可一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确理解题意列出方程求解．
28．（1）10%；（2）26620个
【解析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案．
解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1（不合题意舍去），
∴x＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
（2）依据题意可得：
24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个），
答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个．
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量．
29．（1）20％；（2）273000．
【解析】（1）设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，2月份该品牌电动车销售量为150(1＋x)，则3月份该品牌电动车销售量为150(1＋x) (1＋x) ＝150(1＋x)2. 据此列出方程求解.
（2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．
解：（1）设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意得
150（1+x）2=216，
解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）
答：该品牌电动车销售量的月平均增长率为20％．
（2）由（1）得该品牌电动车销售量的月平均增长率为20％，
∴2月份的销售量为150×（1+20％）=180
∴则1-3月份的销售总量为150+180+216=546（辆）
∴（元）
答：该经销商1月至3月共盈利273000元．
本题考查一元二次方程的应用及有理数的乘法的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
30．人行通道的宽度是2米
【解析】设人行通道的宽度为x米，将两个绿地平移到一起，然后用含x的是表示绿地的长与宽，最后依据面积为28平方米列方程求解即可．
解：设人行通道的宽度为x米，
∴．
∴，
∴
由题意知：
∴
∴（舍）
答：人行通道的宽度是2米．
本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为28平方米得出等式是解题关键．
31．(1)BC=（21-3x）米；
(2)AB的长为2米或5米．
【解析】（1）用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得BC的长；
（2）根据矩形的面积公式列式求解即可．
（1）
设AB边长为x米，则EF=DC=AB=x米，
所以BC=（21-3x）米；
（2）
根据题意得：x（21-3x）=30，
解得：x=2或x=5，
答：AB的长为2米或5米．
考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够正确的表示出BC的长．
32．(1)6米
(2)不能达到，理由见解析
【解析】（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则可得生态园平行于墙的边长，从而由面积关系即可得到方程，解方程即可；
（2）方法与（1）相同，判断所得方程有无解即可．
(1)
设生态园垂直于墙的边长为x米，则x≤7，生态园平行于墙的边长为(42－3x)米
由题意得：x(42－3x)=144
即
解得：（舍去）
即生态园垂直于墙的边长为6米.
(2)
不能，理由如下：
设生态园垂直于墙的边长为y米，则生态园平行于墙的边长为(42－3y)米
由题意得：y(42－3y)=150
即
由于
所以此一元二次方程在实数范围内无解
即生态园的面积不能达到150平方米.
本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，理解题意并根据等量关系正确列出方程是解题的关键．
33．剪去的正方形的边长为1
【解析】根据题意设出未知数，根据矩形铁皮的长与宽，以及底面面积列出三组等式解方程组即可．
设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为﹣x＝（3﹣x）cm，
依题意得：（5﹣2x）（3﹣x）＝6，
整理得：2x2﹣11x+9＝0，
解得：x1＝1，x2＝，
当x＝1时，5﹣2x＝3，3﹣x＝2，符合题意；
当x＝时，5﹣2x＝﹣4＜0，不合题意，舍去．
答：剪去的正方形的边长为1．
本题考查一元二次方程的应用，三元方程组解法，关键在于设多个未知数，利用代数表示列出方程．
34．2
【解析】先表示出拓宽后长方形的长和宽，再根据“拓宽后的矩形菜地的面积是原面积的”列方程求解即可．
解：由题意得．
整理得：．
解想：（舍去）．
答：x应该为2．
本题考查了一元二次方程的应用；得到拓宽后地块的长与宽的代数式是解决本题的易错点．
35．54
【解析】设出原来菜地的宽为，然后用表示出原来菜地的长，接着利用面积列出方程，并求解方程，最后通过周长公式求出答案即可．
解：原来菜地的宽为，由题意可知： 原来菜地的长为，
故有：，
解得：，（舍去），
老李原来的菜地周长为：．
故答案为：54．
本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练利用等式关系列出方程，是求解该类问题的关键．
36．(1)2，
(2)不存在
(3)（m+n）2-8mn≥0
【解析】（1）直接利用求根公式计算即可；
（2）参照（1）中的解法解题即可；
（3）解法同上，利用根的判别式列不等关系可求m，n满足的条件．
(1)
2x2-7x+6=0，
∵△=49-48=1＞0，
∴，
∴x1=2，x2=，
∴满足要求的矩形B存在．
故答案为2，；
(2)
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得
，
消去y化简，得
2x2-3x+2=0，
∵△=9-16＜0，
∴不存在矩形B．
(3)
，
∴2x2-（m+n）x+mn=0，
∴△=（-m-n）2-8mn=（m+n）2-8mn≥0
∴当（m+n）2-8mn≥0时，矩形B存在．
类题目考查了一元二次方程的应用，要读懂题意，准确地找到等量关系列方程组，要会灵活运用根的判别式在不解方程的情况下判断一元二次方程的解的情况．
37．（1）20；（2）65，6250．
【解析】（1）每件涨价x元，则每件的利润是（60-40+x）元，所售件数是（300-10x）件，根据利润=每件的利润×所售的件数列方程，即可得到结论；
（2）设每件商品涨价m元，每星期该商品的利润为W，根据题意先列出函数解析式，再由函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
解：（1）设每件商品涨价x元，
根据题意得，（60-40+x）（300-10x）=4000，
解得：x1=20，x2=-10，（不合题意，舍去），
答：每件商品涨价20元时，每星期该商品的利润是4000元；
（2）设每件商品涨价m元，每星期该商品的利润为W，
∴W=（60-40+m）（300-10m）=-10m2+100m+6000=-10（m-5）2+6250
∴当m=5时，W最大值．
∴60+5=65（元），
答：每件定价为65元时利润最大，最大利润为6250元．
本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．
38．(1)20+5x
(2)每件应降价2元
【解析】（1）直接利用销量=20+5x进而得出答案；
（2）每件应降价x元，根据“总利润=每件×销售量”列出方程求出答案即可．
(1)
设每件降价x元，平均每天销售的服装为y件，
则x与y之间的函数关系（用x表示y）为：y=20+5x（0≤x≤10）；
故答案为：20+5x；
(2)
由题意可得：（20-x）（20+5x）=540，
整理得，
解得：x1=2，x2=14（不合题意舍去），
答：每件应降价2元．
此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出一元二次方程是解题关键．
39．(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本
(2)书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元
【解析】（1）设读书兴趣小组购买书籍x本，列出等量关系式，求解即可；
（2）设书店折扣至少低于折才能使得实付金额少于600元，列出不等式为，解出即可．
(1)
设读书兴趣小组购买书籍x本，
根据题意，当购买数量不超过10本时每本按50元出售，
∵，
∴兴趣小组购买书籍数量超过10本，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴，
答：该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本；
(2)
设书店折扣为y折才能使得实付金额少于600元，
由题意得，，
∴，
答：书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元．
本题考查解一元二次方程以及解一元一次不等式，根据题意找出关系式是解题的关键．
40．(1)（12﹣2t）；4t
(2)t＝2或4
【解析】（1）根据速度×时间=路程，列出代数式即可；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．
（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm．故答案是：（12﹣2t）；4t．
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC，∴AB∥DH，又∵D是AC的中点，∴BH=BC＝12cm，DH是△ABC的中位线，∴DHAB＝6cm，根据题意，得（12﹣2t）（24﹣4t）×62t×12＝40，整理，得t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4，即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
41．
【解析】根据11月份口罩需求比10月份增加了20%等于家庭人数和社区工作人员所用量，列一元二次方程即可．
解：根据题意得：
整理得
解得
当时，
当时，，不符合题意，舍去
故
本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
42．的值为5
【解析】由题意知第二个周期后共有个人感染，可列方程，计算求出符合要求的解即可．
解：由题意知，在第一个周期后共有个人感染
第二个周期后共有个人感染
∴可列方程
∴
解得或（舍去）
∴新冠病毒的基本传染数为5．
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
1.4 用一元二次方程解决问题
1．（2022·江苏江苏·九年级期末）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为289元的药品进行连续两次降价后为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．289（1﹣x）2＝256 B．256（1﹣x）2＝289
C．289（1﹣2x）＝256 D．256（1﹣2x）＝289
2．（2022·江苏常州·九年级期末）为保护人民群众生命安全，减少交通事故，自2020年7月1日起，我市市民骑车出行必须严格遵守“一盔一带”规定，某头盔经销商经过统计发现：某品牌头盔从5月份到7月份销售量的月增长率相同，若5月份销售200个，7月份销售288个，设月增长率为x则可列出方程（ ）
A．200（+x)=288 B．200（1+2x)=288
C．200（1+x)²＝288 D．200（1+x²)=288
3．（2022·江苏无锡·九年级期末）一种药品经过两次降价，药价从每盒60元下调至48.6元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏江苏·九年级期末）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价．某种药品原价为289元，在连续进行两次降价后价格调整为256元．设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·江苏南京·九年级期末）某企业2018年全年收入720万元，2018、2019、2020这三年的全年收入的和为2383.2万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x，则可列方程( )
A．720(1＋x)2＝2383.2 B．720＋720(1＋x)＋720(1＋x)2＝2383.2
C．720(1＋2x)＝2383.2 D．720(1＋3x)＝2383.2
6．（2022·江苏宿迁·九年级期末）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元．则二月份、三月份营业额的平均增长率为__________．
7．（2022·江苏扬州·九年级期末）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为______.
8．（2022·江苏南京·九年级期末）某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______．
9．（2022·江苏南京·九年级期末）一种药品经过两次降价，药价从每盒80元下调至64元，设平均每次降价的百分率为，则根据题意可列方程为__________．
10．（2022·江苏省南京二十九中教育集团致远中学九年级期末）某药品经过两次降价．每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率相同、设平均每次降价的百分率是x，可列方程为_____________________．
11．（2022·江苏扬州·九年级期末）无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，2019年底至2021年底，我国拥有民用无人机驾驶执照的人数从2.44万人增加到6.72万人．若设2019年底至2021年底，我国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为______．
12．（2022·江苏扬州·九年级期末）某书店第一天销售500本图书，之后两天的销售量按相同的增长率增长，第三天的销售量为720本，若设每天的增长率为，可列方程为__________
13．（2022·江苏江苏·九年级期末）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到507千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为_________．
14．（2022·江苏镇江·九年级期末）一种药品经过2次降价，药价从每盒80元下调至51.2元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为．类似的，一种药品经过n次降价，药价从每盒a元下调至b元，设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为______．
15．（2022·江苏泰州·九年级期末）随着退耕还林政策的进一步落实，某村从2017年底到2019年底林地面积变化如图所示，则2018，2019这两年该村林地面积年平均增长的百分率为_______．
16．（2022·江苏淮安·九年级期末）要利用一面很长的围墙和100米长的隔离栏建三个如图所示的矩形羊圈，若计划建成的三个羊圈总面积为400平方米，则羊圈的边长AB为多少米?设AB=x米，根据题意可列出方程的为_________．
17．（2022·江苏连云港·九年级期末）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株．设每盆多植x株，则可以列出的方程是____________．
18．（2022·江苏泰州·九年级期末）某国产品牌的新能汽车因物美价廉而深受大众喜爱，在某地区的销售量从1月份的10万辆增长到3月份的12.1万辆，则从1月份到3月份的月平均增长率为______．
19．（2022·江苏宿迁·九年级期末）某工厂两年内产值翻了一番，则该工厂产值年平均增长的百分率等于 _____．（结果精确到0.1%，参考数据：1.414，1.732．）
20．（2022·江苏淮安·九年级期末）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．
(1)设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 m（用含x的代数式表示）；
(2)若菜园的面积为100m2，求x的值．
21．（2022·江苏淮安·九年级期末）小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？
22．（2022·江苏常州·九年级期末）百货大楼童装专柜平均每天可售出30件童装，每件盈利40元，为了迎接“周年庆”促销活动，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．要使平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？
23．（2022·江苏泰州·九年级期末）某服装厂生产一批服装，成本为180元/件．当销售单价为200元/件时，月销售量为2000件，经市场调研发现，销售单价每涨1元，月销售量将减少2件．根据物价部门的规定，这批服装的利润率不得超过100%，若该服装厂这个月销售总额为540000元则销售单价为多少元/件？
24．（2022·江苏镇江·九年级期末）某体育用品商店举行“年终狂欢”促销活动，某种运动鞋零售价每双240元，如果一次性购买超过10双，那么每多购1双，所购运动鞋的单价降低6元，但单价不能低于160元．一位顾客购买这样的运动鞋支付了3600元，求这位顾客购买了多少双鞋？
25．（2022·江苏南京·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．
(1)求小路的宽度．
(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
26．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．
(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，求2022年1月“冰墩墩”的销量．
27．（2022·江苏盐城·九年级期末）随着疫情在国内趋稳，却在国外迎来爆发期，多国采购中国防疫物资需求大增．某工厂建了1条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，若每天生产口罩的个数增长的百分率相同，请解答下列问题：
（1）每天增长的百分率是多少？
（2）经过一段时间后，工厂发现1条生产线最大产能是900万个/天，但如果每增加1条生产线，由于资调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，应该建几条生产线？
28．（2022·江苏·射阳县第六中学九年级期末）某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
29．（2022·江苏淮安·九年级期末）电动自行车已成为市民日常出行的首选工具．据某市品牌电动自行车经销商1至3月份统计，该品牌电动自行车1月份销售150辆，3月销售216辆．
（1）求该品牌电动车销售量的月平均增长率；
（2）若该品牌电动自行车的进价为2300元，售价2800元，则该经销商1月至3月共盈利多少元．
30．（2022·江苏盐城·九年级期末）如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道如图所示，问人行通道的宽度是多少米？
31．（2022·江苏泰州·九年级期末）学校打算用21米的篱笆围成两间长方形兔舍饲养小兔，兔舍的一面靠墙（如图，墙足够长）．
(1)如果AB边长为x米，求BC边长（用含x的代数式表示）；
(2)若两间兔舍的总面积是30平方米，求AB的长．
32．（2022·江苏扬州·九年级期末）用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
(1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
(2)生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
33．（2022·江苏徐州·九年级期末）如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．
34．（2022·江苏江苏·九年级期末）张大伯家有一块长8米，宽6米的矩形菜地，现在将这块菜地长和宽都拓宽x米（如图所示），如果要使拓宽后的矩形菜地的面积是原面积的，那么x应该为多少？
35．（2022·江苏常州·九年级期末）老李有一块长方形菜地（长大于宽），面积为180m2，他利用菜地宽处修了一个宽为3m的蓄水池，修完后老李发现他的菜地刚好变成一个正方形菜地.那么老李原来的菜地周长为___________m．
36．（2022·江苏南京·九年级期末）探索一个问题：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形A的周长和面积的一半？”
(1)当已知矩形A相邻两边的长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形B相邻两边的长分别是x和y，根据题意，得方程组消去y，化简得2x2﹣7x+6＝0．解得x1＝ ，x2＝ ，∴满足要求的矩形B存在．
(2)如果已知矩形A相邻两边的长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．
(3)设矩形A相邻两边的长分别为m和n，若所求矩形B存在，请直接写出m和n满足的关系式．
37．（2022·江苏扬州·九年级期末）某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出10件．
（1）每件商品涨价多少元时，每星期该商品的利润是4000元？
（2）每件商品的售价为多少元时，才能使每星期该商品的利润最大？最大利润是多少元？
38．（2022·江苏扬州·九年级期末）某种服装，平均每天销售20件，每件盈利20元． 经调研发现，在成本不变的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，为确保每件服装获得一定的利润，每件降价不超过10元．
(1)设每件降价x元，则每天将销售 件；(用含x的代数式表示)
(2)如果每天要盈利540元，每件应降价多少元？
39．（2022·江苏无锡·九年级期末）某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案方案一：若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有书籍的售价可比定价降2元，但售价不低于35元/本．方案二：前5本按定价出售，超过5本以上的部分可以打折．
(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出购买书籍的数量；
(2)如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买（1）中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？
40．（2022·江苏宿迁·九年级期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当P运动到B点时P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts．
(1)BP＝ cm；BQ＝ cm；（用t的代数式表示）
(2)D是AC的中点，连接PD、QD，t为何值时△PDQ的面积为40cm2？
41．（2022·江苏南京·九年级期末）为适应“新冠肺炎”常态化疫情防控需要，去年10月，某社区根据实际需要，采购了5000个口罩，一部分用于社区家庭，其余部分用于社区工作人员．据统计，10月份该社区有200户家庭有口罩需求，平均每户需要10个，其余口罩刚好满足社区工作人员的防疫需要．随着秋冬季的来临，防疫的压力加大，11月份，该社区对口罩的总需求量比10月份增加了20%，需要口罩的家庭户数比10月份增加了a%，社区工作人员需要口罩的个数比10月份增如了1.5a%，同时，由于该社区加大了管控力度，平均每户家庭的口罩需求量减少了a%，求a的值．
42．（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0．
参考答案：
1．A
【解析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是289（1﹣x）2，由题意可列方程289（1﹣x）2＝256．
解：设平均每次降价的百分率为x，则第一次降价售价为289（1﹣x），则第二次售价为289（1﹣x）2
由题意得：289（1﹣x）2＝256
故选A．
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
2．C
【解析】设月增长率为x，根据等量关系用增长率表示7月份的销售量与销售288相等，可列出方程200（1+x)²＝288即可．
解：设月增长率为x，则可列出方程200（1+x)²＝288．
故选C．
本题考查列一元二次方程解增长率问题应用题，掌握列一元二次方程解增长率问题应用题方法与步骤，抓住等量关系列方程是解题关键．
3．B
【解析】根据等量关系：原价×（1－x）2=现价列方程即可．
解：根据题意，得：，
故答案为：B．
本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系列出方程是解答的关键．
4．C
【解析】设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289(1－x)，根据关键语句“连续两次降价后为256元”可得方程．
设平均每次降价的百分率为x，则第一降价售价为289(1－x)，则第二次降价为289(1 -x)2，
由题意得：
故选：C．
此题主要考查求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
5．B
【解析】2018年全年收入720万元，2019年全年收入是720（1+x），2020年全年收入是2（1+x）2，本题首先由题意得出题中的等量关系即三年的全年收入的和为2383.2万元，列出方程即可．
解：设该企业全年收入的年平均增长率为x，则2019年全年收入是720（1+x），2020年全年收入是2（1+x）2，
依题意得：720＋720(1＋x)＋720(1＋x)2=2383.2．
故选：B．
本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×（1±x），再经过第二次调整就是a×（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”．
6．20%
【解析】利用关系式：一月份的营业额×（1+增长率）2=三月份的营业额，设出未知数列出方程解答即可．
解：设这两个月的营业额增长的百分率是x．
200×（1+x）2=288，
解得：x1=-2.2（不合题意舍去），x2=0.2，
答：每月的平均增长率为20%．
故答案为：20%．
此题考查一元二次方程的应用，得到三月份营业额的关系式是解决本题的关键．
7．80(1+x)2＝100
【解析】利用增长后的量＝增长前的量×(1+增长率)，设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程.
解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80(1+x)吨
2018年蔬菜产量为80(1+x)(1+x)吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即：80(1+x)(1+x)＝100或80(1+x)2＝100.
故答案为80(1+x)2＝100.
本题考查了一元二次方程与增长率问题的实际运用，熟练掌握相关概念是解题关键
8．4.86（1+x）2=6
【解析】根据等量关系：增产前的产量×（1+x）2=增产后的产量列出方程即可．
解：根据题意，得：4.86（1+x）2=6，
故答案为：4.86（1+x）2=6．
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．
9．
【解析】先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1-降价的百分率)=64，把相应数值代入即可求解．
解：第一次降价后的价格为80×(1-x)元，
第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为80×(1-x)×(1-x)元，
所以可列方程为：．
故答案为：．
本题考查平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
10．
【解析】此题可设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的(1一x)，第二次降价后的单价是原来的，根据题意列方程即可．
根据意义可列方程：
，
故答案为：．
本题考查一元二次方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
11．
【解析】设用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，根据“用无人机驾驶执照的人数从2.44万人增加到6.72万人．”列出方程，即可求解．
解：设用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，根据题意得：
．
故答案为：
本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
12．
【解析】第一天500本，第二天增长500x本，第二天实际为（500+500x）本，第三天增长（500+500x）×x本，本，第三天实际为[（500+500x）+（500+500x）×x]本，整理，这个数量就是720本，建立等式即可．
根据题意，得，
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的平均增长率问题，正确理解平均增长率是解题的关键．
13．
【解析】根据增长率问题公式解答．
解：设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为，
故答案为：．
此题考查了一元二次方程的实际应用—增长率问题，正确掌握增长率问题的计算公式（a是前量，b是后量，x是增长率），并正确应用是解题的关键．
14．a（1-x）n=b
【解析】利用经过n次降价后的价格=原价×（1-平均每次降价的百分率）n，即可得出关于x的一元n次方程，此题得解．
解：依题意得：a（1-x）n=b．
故答案为：a（1-x）n=b．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元高次方程是解题的关键．
15．10%
【解析】设年平均增长率是x，根据题意列出一元二次方程即可求解．
设年平均增长率是x，
根据题意有：，
解得：x=10%，（负值舍去），
故年平均增长率是10%，
故答案为：10%．
本题考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键．
16．x（100-4x）=400
【解析】由题意，得BC的长为（100-4x）米，根据矩形面积列方程即可.
解：设AB为x米，则BC的长为（100-4x）米
由题意，得x（100-4x）=400
故答案为：x（100-4x）=400.
本题主要考查了一元二次方程的实际问题，解决问题的关键是通过图形找到对应关系量，根据等量关系式列方程.
17．(3＋x)(4－0.5x)＝15
【解析】由每盆多植x株，可得每盆共有(x+3)株；由“每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元”可得：增加x株后平均每株盈利为(4-0.5x)元；接下来根据等量关系：每盆花的株数×平均每株盈利=15元，即可列出方程．
解：根据题意可得(x+3)(4-0.5x)=15．
故答案为：(x+3)(4-0.5x)=15．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系是解答本题的关键．
18．10%
【解析】可先表示出2月份的销量，那么2月份的销量×（1+增长率）=12.1，把相应数值代入即可求解．
解：2月份的销量为10×（1+x），3月份的销量在2月份销量的基础上增加x，
为10×（1+x）×（1+x），根据题意得，
10（1+x）2=121．
解得，（舍去），
∴从1月份到3月份的月平均增长率为10%
故答案为：10%
考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
19．
【解析】设该工厂产值年平均增长的百分率为x，利用两年后的产值＝原产值×（1+年平均增长的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，计算求出满足要求的解即可．
解：设该工厂产值年平均增长的百分率为x，
由题意得：，
解得： ，（不合题意，舍去），
∴
∴该工厂产值年平均增长的百分率约为．
故答案为：．
本题考查了一元二次方程的应用，近似数．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
20．(1)（30－2x）
(2)10
【解析】（1）根据图形直接可得答案；
（2）由矩形面积公式列方程即可解得答案．
(1)
解：设垂直于墙的一边长为xm，
由图可得：平行于墙的一边长为（30−2x）m，
故答案为：30−2x；
(2)
解：根据题意得：x（30−2x）＝100，
∴x2−15x＋50＝0，因式分解得，解得x＝5或x＝10，
当x＝5时，30−2x＝20>18；当x＝10时，30−2x＝10<18；
∴x＝5不合题意，舍去，即x＝10，
答：x的值为10m．
本题考查根据题意列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意、数形结合列出相应代数式及方程．
21．她购买了20件这种服装．
【解析】根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出等式方程求出即可．
解：设购买了件这种服装，根据题意得出：
，
解得：，，
当时，不合题意舍去；
答：她购买了20件这种服装．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据已知得出每件服装的单价．
22．10元或20元
【解析】设每件童装应降价x元，根据题意列出一元二次方程，解方程求解即可
解：设每件童装应降价x元
根据题意，得
解这个方程，得
答：每件童装应降价10元或20元．
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
23．300元/件
【解析】设销售单价为元/件，根据等量关系销售单价×销量=5400000，列方程得，解方程即可．
解：设销售单价为元/件，根据题意，得
．
整理得，
解得：，．
因为成本为180元/件，且这批服装的利润率不得超过100%，所以售价不得超过360元/件．所以舍去．
答：销售单价为300元/件．
本题考查列一元二次方程解应用题，掌握一元二次方程解应用题方法与步骤是解题关键．
24．20
【解析】利用总价=单价×数量可求出购买10双鞋所需费用，由该值小于3600可得出购买数量超过10，设这位顾客购买了x双鞋，则每双鞋的售价为（300-6x）元，利用总价=单价×数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合单价不能低于160元，即可得出这位顾客购买了20双鞋．
解：∵240×10=2400（元），2400＜3600，
∴购买数量超过10．
设这位顾客购买了x双鞋，则每双鞋的单价为240-6（x-10）=（300-6x）元，
依题意得：x（300-6x）=3600，
整理得：x2-50x+600=0，
解得：x1=20，x2=30．
当x=20时，300-6x=300-6×20=180＞160，符合题意；
当x=30时，300-6x=300-6×30=120＜160，不符合题意，舍去．
答：这位顾客购买了20双鞋．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．(1)小路的宽度是2m；
(2)每次降价的百分率为20%
【解析】（1）设小路的宽度为xm，根据总面积为480列方程求解即可；
（2）设每次降价的百分率为y，根据等量关系列方程50（1－y）2=32解方程即可求解．
(1)
解：设小路的宽度为xm，根据题意，
得：（20+2x）（16+2x）=480，
整理得： x2+18x－40＝0，
解得：x1=2，x2=－20（舍去），
答：小路的宽度为2m；
(2)
解：设每次降价的百分率为y，根据题意，
得：50（1－y）2=32，
解得：y1＝0.2，y2＝1.8（舍去），
答：每次降价的百分率为20%．
本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．
26．(1)该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%；
(2)2022年1月“冰墩墩”的销量为3.993万件．
【解析】（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率x，等量关系是12月销量，两用增长率表示12月份销量=3.63，列方程3（1+x）2=3.63，解方程即可；
（2）列算式3.63（1+10%）计算即可．
(1)
解：设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率x，
根据题意，得：3（1+x）2=3.63,
∴
∴，或
∵增长率不能为负数，舍去，经检验符合题意
答该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%；
(2)
解：3.63（1+10%）=3.993万件，
答2022年1月“冰墩墩”的销量为3.993万件．
本题考查列一元二次方程解增长率问题应用题，有理数乘法运算，掌握列一元二次方程解增长率问题应用题方法与步骤，有理数乘法运算法则是解题关键．
27．（1）每天增长的百分率是20%；（2）应该建5条生产线
【解析】（1）设每天增长的百分率是x，然后根据开工第一天生产300万个，第三天生产432万个，列出方程求解即可；
（2）设应该建y条生产线，然后根据每增加1条生产线，由于资调配等原因每条生产线的最大产能将减少30万个/天，现该厂要保证每天生产口罩3900万个，列出方程求解即可．
解：（1）设每天增长的百分率是x，
由题意得：，
解得，
∴每天增长的百分率是20%；
（2）设应该建y条生产线，
由题意得：，
整理得：，
解得或（舍去），
∴应该建5条生产线，
答：应该建5条生产线．
本题主要考查可一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确理解题意列出方程求解．
28．（1）10%；（2）26620个
【解析】（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，根据1月及3月的日产量，即可列出方程求解．
（2）利用4月份平均日产量=3月份平均日产量×（1＋增长率）即可得出答案．
解：（1）设口罩日产量的月平均增长率为x，依据题意可得：
20000（1＋x）2＝24200，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝−2.1（不合题意舍去），
∴x＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%；
（2）依据题意可得：
24200（1＋10%）＝24200×1.1＝26620（个），
答：按照这个增长率，预计4月份平均日产量为26620个．
本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1＋年平均增长率）年数＝增长后的量．
29．（1）20％；（2）273000．
【解析】（1）设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，2月份该品牌电动车销售量为150(1＋x)，则3月份该品牌电动车销售量为150(1＋x) (1＋x) ＝150(1＋x)2. 据此列出方程求解.
（2）根据（1）求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．
解：（1）设该品牌电动车销售量的月平均增长率为x，根据题意得
150（1+x）2=216，
解得x1=0.2，x2=-2.2（舍去）
答：该品牌电动车销售量的月平均增长率为20％．
（2）由（1）得该品牌电动车销售量的月平均增长率为20％，
∴2月份的销售量为150×（1+20％）=180
∴则1-3月份的销售总量为150+180+216=546（辆）
∴（元）
答：该经销商1月至3月共盈利273000元．
本题考查一元二次方程的应用及有理数的乘法的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
30．人行通道的宽度是2米
【解析】设人行通道的宽度为x米，将两个绿地平移到一起，然后用含x的是表示绿地的长与宽，最后依据面积为28平方米列方程求解即可．
解：设人行通道的宽度为x米，
∴．
∴，
∴
由题意知：
∴
∴（舍）
答：人行通道的宽度是2米．
本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为28平方米得出等式是解题关键．
31．(1)BC=（21-3x）米；
(2)AB的长为2米或5米．
【解析】（1）用总长减去三条垂直于墙的边长即可求得BC的长；
（2）根据矩形的面积公式列式求解即可．
（1）
设AB边长为x米，则EF=DC=AB=x米，
所以BC=（21-3x）米；
（2）
根据题意得：x（21-3x）=30，
解得：x=2或x=5，
答：AB的长为2米或5米．
考查了一元二次方程的应用的知识，解题的关键是能够正确的表示出BC的长．
32．(1)6米
(2)不能达到，理由见解析
【解析】（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则可得生态园平行于墙的边长，从而由面积关系即可得到方程，解方程即可；
（2）方法与（1）相同，判断所得方程有无解即可．
(1)
设生态园垂直于墙的边长为x米，则x≤7，生态园平行于墙的边长为(42－3x)米
由题意得：x(42－3x)=144
即
解得：（舍去）
即生态园垂直于墙的边长为6米.
(2)
不能，理由如下：
设生态园垂直于墙的边长为y米，则生态园平行于墙的边长为(42－3y)米
由题意得：y(42－3y)=150
即
由于
所以此一元二次方程在实数范围内无解
即生态园的面积不能达到150平方米.
本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，理解题意并根据等量关系正确列出方程是解题的关键．
33．剪去的正方形的边长为1
【解析】根据题意设出未知数，根据矩形铁皮的长与宽，以及底面面积列出三组等式解方程组即可．
设剪去的正方形的边长为xcm，则底面的长为（5﹣2x）cm，宽为﹣x＝（3﹣x）cm，
依题意得：（5﹣2x）（3﹣x）＝6，
整理得：2x2﹣11x+9＝0，
解得：x1＝1，x2＝，
当x＝1时，5﹣2x＝3，3﹣x＝2，符合题意；
当x＝时，5﹣2x＝﹣4＜0，不合题意，舍去．
答：剪去的正方形的边长为1．
本题考查一元二次方程的应用，三元方程组解法，关键在于设多个未知数，利用代数表示列出方程．
34．2
【解析】先表示出拓宽后长方形的长和宽，再根据“拓宽后的矩形菜地的面积是原面积的”列方程求解即可．
解：由题意得．
整理得：．
解想：（舍去）．
答：x应该为2．
本题考查了一元二次方程的应用；得到拓宽后地块的长与宽的代数式是解决本题的易错点．
35．54
【解析】设出原来菜地的宽为，然后用表示出原来菜地的长，接着利用面积列出方程，并求解方程，最后通过周长公式求出答案即可．
解：原来菜地的宽为，由题意可知： 原来菜地的长为，
故有：，
解得：，（舍去），
老李原来的菜地周长为：．
故答案为：54．
本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练利用等式关系列出方程，是求解该类问题的关键．
36．(1)2，
(2)不存在
(3)（m+n）2-8mn≥0
【解析】（1）直接利用求根公式计算即可；
（2）参照（1）中的解法解题即可；
（3）解法同上，利用根的判别式列不等关系可求m，n满足的条件．
(1)
2x2-7x+6=0，
∵△=49-48=1＞0，
∴，
∴x1=2，x2=，
∴满足要求的矩形B存在．
故答案为2，；
(2)
设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得
，
消去y化简，得
2x2-3x+2=0，
∵△=9-16＜0，
∴不存在矩形B．
(3)
，
∴2x2-（m+n）x+mn=0，
∴△=（-m-n）2-8mn=（m+n）2-8mn≥0
∴当（m+n）2-8mn≥0时，矩形B存在．
类题目考查了一元二次方程的应用，要读懂题意，准确地找到等量关系列方程组，要会灵活运用根的判别式在不解方程的情况下判断一元二次方程的解的情况．
37．（1）20；（2）65，6250．
【解析】（1）每件涨价x元，则每件的利润是（60-40+x）元，所售件数是（300-10x）件，根据利润=每件的利润×所售的件数列方程，即可得到结论；
（2）设每件商品涨价m元，每星期该商品的利润为W，根据题意先列出函数解析式，再由函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大．
解：（1）设每件商品涨价x元，
根据题意得，（60-40+x）（300-10x）=4000，
解得：x1=20，x2=-10，（不合题意，舍去），
答：每件商品涨价20元时，每星期该商品的利润是4000元；
（2）设每件商品涨价m元，每星期该商品的利润为W，
∴W=（60-40+m）（300-10m）=-10m2+100m+6000=-10（m-5）2+6250
∴当m=5时，W最大值．
∴60+5=65（元），
答：每件定价为65元时利润最大，最大利润为6250元．
本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解．
38．(1)20+5x
(2)每件应降价2元
【解析】（1）直接利用销量=20+5x进而得出答案；
（2）每件应降价x元，根据“总利润=每件×销售量”列出方程求出答案即可．
(1)
设每件降价x元，平均每天销售的服装为y件，
则x与y之间的函数关系（用x表示y）为：y=20+5x（0≤x≤10）；
故答案为：20+5x；
(2)
由题意可得：（20-x）（20+5x）=540，
整理得，
解得：x1=2，x2=14（不合题意舍去），
答：每件应降价2元．
此题主要考查了一元二次方程的应用，正确得出一元二次方程是解题关键．
39．(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本
(2)书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元
【解析】（1）设读书兴趣小组购买书籍x本，列出等量关系式，求解即可；
（2）设书店折扣至少低于折才能使得实付金额少于600元，列出不等式为，解出即可．
(1)
设读书兴趣小组购买书籍x本，
根据题意，当购买数量不超过10本时每本按50元出售，
∵，
∴兴趣小组购买书籍数量超过10本，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴，
答：该兴趣小组按照方案一的优惠方式购买书籍15本；
(2)
设书店折扣为y折才能使得实付金额少于600元，
由题意得，，
∴，
答：书店折扣至少低于7折才能使得实付金额少于600元．
本题考查解一元二次方程以及解一元一次不等式，根据题意找出关系式是解题的关键．
40．(1)（12﹣2t）；4t
(2)t＝2或4
【解析】（1）根据速度×时间=路程，列出代数式即可；
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，利用三角形中位线定理求得DH的长度；然后根据题意和三角形的面积列出方程，求出方程的解即可．
（1）根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm，所以BP＝（12﹣2t）cm．故答案是：（12﹣2t）；4t．
（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵∠B＝90°，即AB⊥BC，∴AB∥DH，又∵D是AC的中点，∴BH=BC＝12cm，DH是△ABC的中位线，∴DHAB＝6cm，根据题意，得（12﹣2t）（24﹣4t）×62t×12＝40，整理，得t2﹣6t+8＝0，解得：t1＝2，t2＝4，即当t＝2或4时，△PBQ的面积是40cm2．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系．
41．
【解析】根据11月份口罩需求比10月份增加了20%等于家庭人数和社区工作人员所用量，列一元二次方程即可．
解：根据题意得：
整理得
解得
当时，
当时，，不符合题意，舍去
故
本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键．
42．的值为5
【解析】由题意知第二个周期后共有个人感染，可列方程，计算求出符合要求的解即可．
解：由题意知，在第一个周期后共有个人感染
第二个周期后共有个人感染
∴可列方程
∴
解得或（舍去）
∴新冠病毒的基本传染数为5．
本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
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