2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第三章 导数及其应用 第2节 导数与函数的单调性

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第2节　导数与函数的单调性
考试要求　1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.利用导数研究函数的单调性，并会解决与之有关的方程(不等式)问题.


1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)0(或0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；
当f′(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.(　　)
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.(　　)
(3)函数在(a，b)内单调递减与函数的单调递减区间为(a，b)是不同的.(　　)
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
解析　(1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.
2.(易错题)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是(　　)
A.(0，1] B.[0，＋∞)
C.(－∞，－1] D.[－1，0)∪(0，1]
答案　A
解析　由题意知f′(x)＝2x－＝(x>0)，
由f′(x)≤0，得00，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上递增，而F(－1)＝
f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1，故选B.
5.(易错题)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________.
答案　－4
解析　f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]，
∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根，
则a＝(－1)×4＝－4.
6.(2021·青岛检测)已知函数f(x)＝sin 2x＋4cos x－ax在R上单调递减，则实数a的取值范围是________.
答案　[3，＋∞)
解析　f′(x)＝2cos 2x－4sin x－a
＝2(1－2sin2x)－4sin x－a
＝－4sin2x－4sin x＋2－a＝－(2sin x＋1)2＋3－a.
由题设，f′(x)≤0在R上恒成立.
因此a≥3－(2sin x＋1)2恒成立，则a≥3.

考点一　不含参函数的单调性
1.函数f(x)＝x＋＋2ln x的单调递减区间是(　　)
A.(－3，1) B.(0，1)
C.(－1，3) D.(0，3)
答案　B
解析　法一　函数的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1－＋，令f′(x)＝1－＋f(1)>f
D.f>f>f(1)
(2)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当xc B.c>b>a
C.a>c>b D.c>a>b
答案　(1)A　(2)D
解析　(1)因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f＝f.又当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f(x)在上是增函数，所以ff，故选A.
(2)设g(x)＝xf(x)，
则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
又当x