2024高考数学大一轮复习Word版题库（人教A版文）第三章 导数及其应用 第3节 导数与函数的极值、最值

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第3节　导数与函数的极值、最值
考试要求　1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件；2.会用导数求函数的极大值、极小值；3.会求闭区间上函数的最大值、最小值；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.


1.函数的极值与导数
条件
f′(x0)＝0
x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2，2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.
4.函数f(x)＝2x－xln x的极值是(　　)
A. B. C.e D.e2
答案　C
解析　因为f′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x，令f′(x)>0时，解得0或a0，∴f′(x)0)，
所以f′(x)＝2x－＝.
①当a0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)无极值.
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去).
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0，)

(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)

极小值

所以当x＝时，f(x)取得极小值，且f()＝()2－1－2aln ＝a－1－aln a，无极大值.
综上，当a0时，函数f(x)在x＝处取得极小值a－1－aln a，无极大值.
角度3　已知极值求参数的值(范围)
例3 (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________.
(2)(2021·洛阳质检)已知函数f(x)＝x3－ax2＋.若f(x)在(a－1，a＋3)上存在极大值，则a的取值范围是________.
答案　(1)11　(2)(－9，0)∪(0，1)
解析　(1)f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
由题意得解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(x)无极值，
所以a＝1，b＝3不符合题意，
当a＝2，b＝9时，经检验满足题意.
∴a＋b＝11.
(2)f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－2a)，
令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.
当a＝0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，
f(x)无极值，不合题意.
当a>0时，f(x)在x＝处取得极小值，
在x＝0处取得极大值，
则a－1