2023年湖南省株洲市中考模拟数学试题（含解析）

这是一份2023年湖南省株洲市中考模拟数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省株洲市中考模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．4的算术平方根是（    ）
A．2 B． C．8 D．16
2．某种粒子的质量为0.00000081g，将0.00000081用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
3．年3月5日-3月13日，全国两会在首都北京召开，为了让学生更好地了解两会，某学校组织了一次关于“全国两会”的知识比赛，在抢答赛初赛中，某班4个小队的成绩统计结果如下表：

第1队
第2队
第3队
第4队
平均分




方差




要从4个小队中选出一个小队代表班级参加决赛，应该选哪个队伍参赛比较合理？（    ）
A．第1队 B．第2队 C．第3队 D．第4队
4．剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一，下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，菱形ABCD中，EF⊥AC，垂足为点H，分别交AD、AB及CB的延长线交于点E、M、F，且AE：FB＝1：2，则AH：AC的值为（　　）

A． B． C． D．
6．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（    ）

A． B． C． D．
7．如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点D，C；再分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E；作射线，过点E分别作交于点G，于点F．若，则的长为（    ）

A． B． C． D．
8．图，AB为的直径，点C在上，连接AC，BC，过点O作于点D，过点C作的切线交OD的延长线于点E．连接AD，若，，则AD的长为（    ）

A． B． C． D．
9．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：“五只雀、六只燕，共重斤（等于两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量：各为多少？”若假设每只雀、燕的体重相同，设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，则列方程组为（    ）
A． B． C． D．
10．已知一次函数，二次函数．若时，恒成立，则a的取值范围是(    )
A．或 B．且 C． D．

二、填空题
11．函数中，自变量x取值范围是__________
12．因式分解：m2-8m+16=________．
13．如图，在矩形中，对角线、交于点，已知，，则的长为______ ．

14．如图，是圆O的直径，弦交于点E，连接．若，则_________．

15．已知关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______．
16．如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为_______．

17．如图，等边的周长为1，作于，在的延长线上取点，使，连接，以为边作等边；作于，在的延长线上取点C4，使，连接，以为边作等边；…且点A1，A2，A3，…都在直线同侧，如此下去，则，，，．．．，的周长和为___________，面积之和为__________(，且n为整数)．
  
18．如图，在半径为的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上的一点，且，①求扇形的面积为______；②若，则的长是______．
  

三、解答题
19．计算：
20．先化简，再求值：，其中．
21．正方形对角线交于点O，E为线段上一点，延长到点N，使，交边于点F，连接．

(1)求证：为直角三角形．
(2)若点E为中点，正方形的边长为6，求的长．
22．钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说：“我们需要重视防护，但也不必恐慌，尽量少去人员密集的场所，出门戴口罩，在室内注意通风，勤洗手，多运动，少熬夜．”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解，通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识，并鼓励社区居民在线参与作答《2022年新型冠状病毒防治》试卷，社区管理员随机从甲、乙两个小区各抽取20名人员的答卷成绩，并对他们的成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
甲小区：85  80  95  100  90  95  85  65  75  85  90  90  70  90  100  80  80  90  95  75
乙小区：80  60  80  95  65  100  90  85  85  80  95  75  80  90  70  80  95  75  100  90
整理数据：
成绩x（分）




甲小区
2
5
8
a
乙小区
3
7
5
5
分析数据：
统计量
平均数
中位数
众数
甲小区
85.75
87.5
b
乙小区
83.5
c
80
应用数据：
(1)填空：________，________，________．
(2)若甲小区共有800人参与答卷，请估计甲小区成绩大于90分的人数；
(3)社区管理员看完统计数据，准备从成绩在60到70分之间（包含60分和70分）的两个小区中随机抽取2人进行再测试，请求出抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率．
23．如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为．

(1)求坡顶A到地面的距离；
(2)计算古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，，）
24．如图，点，是直线上在第一象限的两点，过，两点分别作轴的平行线交双曲线于，两点．

(1)当，时，求k的值；
(2)当时：
①若，求与的数量关系；
②若，求的值．
25．如图，内接于，是的直径，点P是延长线上的一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的直径．

26．平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于，，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图，点是直线上的一个动点，连接，，是否存在点使最小，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；

参考答案：
1．A
【分析】如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，可以表示为，其中，正的平方根叫做的算术平方根．正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．
【详解】解：4的算术平方根是，
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根的定义，明确平方根与算术平方根的区别与联系是本题的关键．
2．C
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.00000081=8.1×10-7.
故选C．
【点睛】考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．B
【分析】先从平均数分析，取平均数高的，再结合从方差分析，方差越小，成绩分数越稳定，取方差值小的即可．
【详解】解：∵，
∴选出第1队和第2队代表，
又∵，方差越小，成绩分数越稳定，
∴选出第2队代表，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是平均数和方差的意义等知识内容，正确掌握平均数和方差的内容是解题的关键．
4．D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
5．B
【分析】连接BD，如图，利用菱形的性质得AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，再证明EF∥BD，接着判断四边形BDEF为平行四边形得到DE＝BF，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，所以AE：CF＝1：5，然后证明△AEH∽△CFH得到AH：HC＝AE：CF＝1：5，最后利用比例的性质得到AH：AC的值．
【详解】解：连接BD，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD，
而DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE＝BF，
由AE：FB＝1：2，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，
∴AE：CF＝x：5x＝1：5，
∵AE∥CF，
∴△AEH∽△CFH，
∴AH：HC＝AE：CF＝1：5，
∴AH：AC＝1：6．
故选B．

【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的性质及相似三角形的性质.
6．C
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下：

A
B
C
D
A

（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）

（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）

（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）

由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种，
故其概率为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
7．B
【分析】作于点H，由角平分线的性质可证，再证明，然后根据勾股定理求解解．
【详解】作于点H，由作法知平分，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．

故选：B．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角的平分线，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，以及勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
8．D
【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OCB+∠BCE=90°，再由OB=OC，可得∠OBC+∠BCE=90°，再由OE⊥BC，可得∠E+∠BCE=90°，从而得到∠B=∠E，可证得△CDE∽△ACB，再由垂径定理可得CD=4，根据勾股定理可得DE=8，从而得到AC=4，即可求解．
【详解】：如图，连接OC，

∵CE是的切线，
∴OC⊥CE，即∠OCB+∠BCE=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠BCE=90°，
∵OE⊥BC，
∴∠CDE=90°，
∴∠E+∠BCE=90°，
∴∠B=∠E，
∵AB为的直径，
∴∠ACB=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ACB，
∴，
∵，OD⊥BC，
∴CD=4，
∵，
∴，
∴，解得：AC=4，
∴．
故选：D
【点睛】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
9．B
【分析】根据题目中的数量关系列方程组即可求解．
【详解】解：设每只雀的重量为x两，每只燕的重量为y两，
∴五只雀、六只燕，共重斤（等于两），列式为；
雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，列式为，
综上所述，列方程组为，
故选：．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握二元一次方程组表示数量关系的运用是解题的关键．
10．D
【分析】由已知可以确定经过点，经过点，根据时，恒成立，可以断定是两函数的交点，即可求a．
【详解】解：，
∴经过点，
，经过点，
∵时，恒成立，
∴，且是两函数的交点，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查一次函数与二次函数图象及性质；解题关键是能够根据两个函数分别经过的点，并得出点是函数的交点．
11．/
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；可得关系式，求解可得自变量x的取值范围．
【详解】解：根据题意，有，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件．掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解答本题的关键．
12．（m-4）2
【分析】先将原式写成完成平方公式的形式，然后运用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：m2-8m+16
= m2-8m+ 42
=（m-4）2．
故答案是（m-4）2．
【点睛】本题主要考查了运用完全平方公式因式分解，掌握完全平方公式的结构特点是解答本题的关键．
13．
【分析】根据矩形的性质和勾股定理得出，进而利用矩形的性质解答即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，，
，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，熟知矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
14．/28度
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是，可得，由，可得，进而可得．
【详解】连接，

∵是的直径，
∴，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．
15．
【分析】由于m的值不能确定，故应分和两种情况进行讨论．
【详解】解：当时，原方程可化为，解得；
当时，
∵关于x的方程有实数根，
∴，
解得：，
∴m的取值范围是：，
故答案为.
【点睛】本题考查的是根的判别式，在解答此题时要注意分类讨论．
16．300π
【分析】首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可．
【详解】∵底面圆的面积为100π，
∴底面圆的半径为10，
∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，
设扇形的母线长为l，则=20π，
解得：l=30，
∴扇形的面积为πrl=π×10×30=300π

17．
【分析】根据等边三角形的性质分别求出，，△A3C3C4，…，的周长和及面积和即可．
【详解】①先求等边三角形周长之和．
如下图，
  
∵等边的周长为1，于，
∴，，
由得，，
∴，
∴，
∴，
于是，
∴
∴的周长的周长，
∴，…，的周长分别为1，，，…，，
∴，…，的周长和为，
故所有等边三角形的周长和为：．
②再求等边三角形面积之和．
∵的周长为1，则边长为，
∴，
∴.
∴的面积为：.
由于第二个等边三角形的周长是第一个等边三角形周长的一半,
所以第二个等边三角形的面积是第一个等边三角形面积的.
故所有等边三角形面积之和为：


.
【点睛】本题考查等边三角形的性质、数字类规律探究，理解题意，找出变化规律是解答的关键．
18．
【分析】①利用圆周角定理求得，再根据扇形的面积公式即可求解；
②延长交于点E，求得，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．
【详解】解：①∵，
∴，
∵点A是劣弧的中点，
∴，
∵半径为，
∴扇形的面积为；
②延长交于点E，
  
∵点A是劣弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵半径为，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，圆周角定理，垂径定理，扇形的面积公式，掌握圆周角定理是解题的关键．
19．
【分析】先算出30度角的正弦值、负整数指数幂及零指数幂、算术平方根的值，再计算即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，负整数指数幂及零指数幂运算，熟记特殊角的三角函数值及运算法则是解题关键．
20．，
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，再把m的值代入计算即可．
【详解】解：


，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，二次根式的加减运算。掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)2

【分析】（1）由正方形的性质得到，点O是的中点，证明是的中位线，得到，则，即，从而证明为直角三角形；
（2）由三角形中位线定理得到，先证明，再证明，得到，则．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，对角线交于点O，
∴，点O是的中点，
∵，即点E是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，即，
∴为直角三角形；
（2）解：由（1）得是的中位线，
∴，
∵点E为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵正方形的边长为6，
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键．
22．(1)5；90；82.5
(2)200人
(3)

【分析】（1）通过分析甲小区落在90 （2）用总人数乘以样本中甲小区成绩大于90分的人数占总人数的百分比即可得到答案；
（3）先分析60到70分之间甲小区有2人，乙小区有3人，然后列出表格，得到所有的等可能的结果，根据概率公式即可得结果．
【详解】（1）解：落在90 ∴，
∵甲小区的出现次数最多数据的是90分 ，
∴众数是90 ，
即：b=90，
∵中位数是从小到大排列后处在第10、11位两个数的平均数，
∴乙小区的中位数为：，
即：；
（2）解：∵甲小区成绩大于90分的人数占总人数的百分比为：，
∴甲小区成绩大于90分的人数为：（人）；
（3）解：∵60到70分之间甲小区有2人，乙小区有3人，
列表如下：

甲1
甲2
乙1
乙2
乙3
甲1

甲1甲2
甲1乙1
甲1乙2
甲1乙3
甲2
甲2甲1

甲2乙1
甲2乙2
甲2乙3
乙1
乙1甲1
乙1甲2

乙1乙2
乙1乙3
乙2
乙2甲1
乙2甲2
乙2乙1

乙2乙3
乙3
乙3甲1
乙3甲2
乙3乙1
乙3乙2

由表格可知共有20种等可能的情况，其中抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区有12情况，
∴抽取的两人恰好一个是甲小区、一个是乙小区的概率为：．
【点睛】本题考查了频数、中位数与众数等概念、用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题的关键是要注意此题是放回实验还是不放回实验以及掌握概率=所求情况数与总情况数之比．
23．(1)米
(2)约19米

【分析】（1）过点A作于H，根据斜坡的坡度为，得出，设，则，，求出k值即可求解；
（2）延长交于D，根据，可得，从而得出四边形是矩形，再根据，得出，利用中，即可求解．
【详解】（1）解：过点A作于H，如图所示：

∵斜坡的坡度为，
∴，
设，则，
则，
，解得：，
，
坡顶A到地面的距离为米．
（2）解：延长交于D，如图所示：

，，
，
∴，
四边形是矩形，，，
，
∴为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
在中，，
即，解得：，
古塔的高度约19米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡度、矩形的判定及性质，解题的关键根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解．
24．(1)2
(2)①，②6

【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）①根据图象上点的坐标特征，则，，由即可得到，通过变形得到；
②根据即可得到，的关系，然后利用勾股定理，即可用，表示出所求的式子从而求解．
【详解】（1）解：当，时，则，
双曲线过点，
；
（2）当时，则反比例函数为，
①点，，轴，
，，
，
，
，
，
；
②，，
又，
，
两边平方得：，即．
，，
．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确表示出、的坐标是解题是关键．
25．(1)见解析
(2)见解析
(3)

【分析】（1）连结，如图，由为直径可得，结合、等腰三角形的性质和圆周角定理可得，进而可得，即可证明结论；
（2）通过证明，得到=，于是得到结论；
（3）先证得是等边三角形，得到，求得，得到，即可得到结论．
【详解】（1）证明：连结，如图，

∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相切；
（2）证明：∵，
∴ ，
∴=，
∴；
（3）解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．
26．(1)， ，，
(2)存在，，，，，，，，
(3)存在， ，

【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式，进而分别令，解方程即可求解；
（2）根据题意，对称轴为直线，设，根据勾股定理，，，分①当时，②当时，③当时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求解；
（3）存在点使最小，作点关于的对称点，连接交于点，连接，求得直线的解析式，直线的解析式为，联立方程即可求解．
【详解】（1）解：将，代入，
即，解得：，
∴，
令，则，
令，则，
解得：，
，，
（2）解：存在是直角三角形，
∵，对称轴为直线，
设，
∵，，
∴，，
①当时，,
∴
解得：
②当时，,
∴
解得：
③当时，,

解得：或.
综上所述：，，，，，，，
（3）存在点使最小，理由如下：
作点关于的对称点，连接交于点，连接，

由对称性可知，，
，
当、、三点共线时，有最小值，
，，，，
，
，
由对称性可知，
，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得，
，；
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，待定系数求解析式，勾股定理，轴对称的性质求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．