2023年湖南省株洲市荷塘区中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）

这是一份2023年湖南省株洲市荷塘区中考数学模拟试卷（5月份）（含解析），共46页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省株洲市荷塘区中考数学模拟试卷（5月份）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共19小题，共67.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. |−59|的相反数是(    )
A. 95 B. −95 C. 59 D. −59
2. 某几何体的主视图、左视图和俯视图如图所示，则其对应的几何体是(    )
A.
B.
C.
D.
3. 下列运算正确的是(    )
A. 2a+3a=5a2 B. a2⋅a3=a5
C. (−a2)3=a6 D. (a+b)(a−b)=a2+b2
4. 如图是一款手推车的平面示意图，其中AB//CD，∠3=150°，∠1=30°，则∠2的大小是(    )
A. 60°
B. 70°
C. 80°
D. 90°
5. 小明在计算一组数据的方差时，列出的公式如下s2=1n[(7−x−)2+(8−x−)2+(8−x−)2+(8−x−)2+(9−x−)2]，根据公式信息，下列说法中，错误的是(    )
A. 数据个数是5 B. 数据平均数是8 C. 数据众数是8 D. 数据方差是15
6. 某中学八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是(    )
A. 10x−102x=12 B. 102x−10x=30 C. 10x−102x=30 D. 102x−10x=12
7. 如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC=25°，在⊙O上任取一点D，且点D与点C位于直径AB的两侧，连接AD和DC，则∠D的度数是(    )
A. 50°
B. 60°
C. 65°
D. 75°
8. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠D=90°，AD=4，BC=3.分别以点A，C为圆心，大于12AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为(    )


A. 2 2 B. 4 C. 3 D. 10
9. 如图，平面直角坐标系中，过原点的直线AB与双曲线交于A、B两点，在线段AB左侧作等腰三角形ABC，底边BC//x轴，过点C作CD⊥x轴交双曲线于点D，连接BD，若S△BCD=16，则k的值是(    )
A. −4
B. −6
C. −8
D. −16
10. 下列各数为负数的是(    )
A. |−2| B. −22 C. 22 D. −(−2)
11. 随着人们生活水平的提高，对环境的保护越来越重视，下列垃圾分类标识的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
12. 下列计算正确的是(    )
A. a3⋅a2=a6 B. (−a2)3=a6 C. ab2⋅2a2b=2a3b3 D. (ab2)2=ab4
13. 据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到28nm.已知1nm=10−9m，则28nm用科学记数法表示是(    )
A. 28×10−9m B. 2.8×10−9m C. 2.8×10−8m D. 2.8×10−10m
14. 在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的玻璃球共有40个，除颜色外其他完全相同，小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，则口袋中白色球的个数可能是(    )
A. 24 B. 18 C. 16 D. 6
15. 不等式−3(x−2)≥0的解集在数轴上表示为(    )
A. B.
C. D.
16. 为了解学生课外阅读情况，某校随机抽取了一个班的50名学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是(    )
读书时间
6小时及以下
7小时
8小时
9小时
10小时及以上
学生人数
5
12
10
13
10

A. 10，9 B. 10，13 C. 8，13 D. 8，9
17. 如图，直线l1//l2，直线AB分别交l1，l2于点A，B，∠MAB=120°，以点B为圆心，BA长为半径画弧，若在弧上存在点C使∠ACB=20°，则∠1的度数是(    )
A. 80°
B. 75°
C. 70°
D. 60°
18. 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在弧AE上.若∠CDF=96°，则∠FCD的大小为(    )
A. 38°
B. 42°
C. 48°
D. 58°


19. 如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−1，与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：

①b2−4ac>0
②2a=b                                 
③点(−72,y1)、(−32,y2)、(54,y3)是该抛物线上的点，则y1 ④3b+2c<0
⑤ t(at+b)≤a−b(t为任意实数)
其中正确结论的个数是(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共14小题，共50.0分）
20. 我县九年级考生约14978人，该人口数精确到千位大约为______．
21. 分解因式：x3y−4xy=______．
22. 如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，弧长约为58π米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所对的圆心角度数为______．


23. 从−2，1两个数中随机选取一个数记为m，再从−1，0，2三个数中随机选取一个数记为n，则m、n的取值使得一元二次方程x2−mx+n=0有两个不相等的实数根的概率是______．
24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=6，CD//AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，则DE=______．


25. 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点(不与点B、C重合)，DE与AC交于点F，连结CE.下列结论：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，则CFAF=45；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=2+ 3.其中含所有正确结论的选项是______．

26. 若分式1x−3有意义，则x的取值范围是        ．
27. 写出一个比 11大且比4小的无理数        ．
28. 因式分解：a3−4ab2=        ．
29. 某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于______．
30. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若EF=5，则CD的长为______．


31. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形DEFG的边DE在BC上，AB=EF.反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点B，若阴影部分面积为4，则k的值为______．

32. 如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在BC，CD上，且BE=CF=1，连接AE，BF交于点P，连接PD，则tan∠APD的值为______ ．


33. 新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，已知在5×5的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上，则S△ABC= ______ ；sin∠ACB= ______ ．


三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
34. 计算(−2)2−(π− 2020)0+| 3−2|+2sin60°．
四、解答题（本大题共15小题，共148.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
35. (本小题8.0分)
先化简，再求代数式x−3x2+6x+9÷(1−6x+3)的值，其中x=2cos45°−6sin30°．
36. (本小题8.0分)
如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接并延长EF，与CB的延长线交于点G，连接BD．
(1)求证：四边形EGBD是平行四边形；
(2)连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=2，求AG的长．

37. (本小题8.0分)
某初中举行硬笔书法大赛，对各年级同学的获奖情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图．

请结合图中相关信息解答下列问题：
(1)扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是______度；
(2)请将条形统计图补全；
(3)获得一等奖的同学中有14来自七年级，有12来自九年级，其他同学来自八年级．现准备从获得一等奖的同学中任选2人参加市级硬笔书法大赛．请通过列表或画树状图的方法求所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的概率．
38. (本小题10.0分)
如图所示，某钓鱼爱好者周末到渭河边钓鱼，经测量某段河堤AC的坡角为30°，堤坡面AC长为32 3米，钓竿AO的倾斜角(即∠OAD)是60°，钓竿长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河提下端C之间的距离．(注：在本题中我们将钓竿和钓鱼线都分别看成段)

39. (本小题11.0分)
为迎接“国家创卫”检查，我市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱需340元；购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元．
(1)求每A个型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？
(2)该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱20个，其中购买A型垃圾箱不超过16个．求购买垃圾箱的总花费ω(元)与A型垃圾箱m(个)之间的函数关系式；
(3)在(2)中，当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最小，最小费用是多少？
40. (本小题12.0分)
如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点E在AB上，作DE⊥AB交AC的延长线于点D，过点C作⊙O的切线CF交DE于点F．
(1)求证：CF=DF．
(2)若点C为AD中点，CF=154，sin∠ADE=35，求⊙O的半径．

41. (本小题13.0分)
已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于点A(x1,0)，B(x2,0)(x1 (1)求a，b的值；
(2)分别求出直线AC和BC的解析式；
(3)若动直线y=m(0
42. (本小题6.0分)
计算：(12)−1−2sin30°+ 2cos45°．
43. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(2−a+3a+2)÷a2−1a+2，其中a=3．
44. (本小题8.0分)
如图，点E是正方形ABCD的边BC上的动点，∠AEF=90°，且EF=AE，FH⊥BH．
(1)求证：BE=CH；
(2)若AB=6，BE=2，求DF的长．

45. (本小题10.0分)
如图所示，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，点C、D、E在同一直线上，且CE⊥AE，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为α，且tanα=54.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1： 3，AB=10米，AE=20米.(测角器的高度忽略不计)
(1)求点B距水平地面AE的高度；
(2)若市政规定广告牌的高度不得大于9米，请问该公司的广告牌是否符合要求，并说明．

46. (本小题10.0分)
2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，某校举行了水资源保护知识竞赛.为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩x/分
频数
频率
60≤x<70
15
0.1
70≤x<80
a
0.2
80≤x<90
60
b
90≤x<100
45
c
(1)表中a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若该校共有360名学生，估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有多少名？

47. (本小题10.0分)
如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象交于点A(2 2,m )，点P是反比例函数y=kx(k≠0,x>0)图象上的一动点.过点P作PH上x轴，垂足为H，交直线y=x于点G．
(1)求k与m的值；
(2)若△OPG的面积是2，求此时点P的坐标．

48. (本小题13.0分)
已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)连接BE，求证：BE2=EH⋅EA；
(3)若⊙O的半径为10，sinA=35，求BH的长．


49. (本小题13.0分)
如图1，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，B(4,0)两点，与y轴相交于点C，连接BC，点P为线段BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线l，交BC于点G，交x轴于点E．
(1)求抛物线的表达式．
(2)过点C作CF⊥直线l，F为垂足，当点P运动到何处时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似？并求出此时点P的坐标．
(3)如图2，连接PC，PB，请问△PBC的面积S能否取得最大值？若能，请求出最大面积S，并求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】
【分析】
本题考查了相反数和绝对值的意义．
根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“−”号，求解即可．
【解答】
解：|−59|的相反数是−|−59|=−59，
故选：D．  
2.【答案】B 
【解析】解：根据三视图可得这个几何体的名称是三棱柱；
故选：B．
利用主视图以及俯视图即可得出该几何体是三棱柱，进而得出答案；
此题考查了由三视图判断几何体的知识，正确判断出几何体的形状是解题关键．

3.【答案】B 
【解析】解：A、2a+3a=5a，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、a2⋅a3=a5，原计算正确，故此选项符合题意；
C、(−b2)3=−a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、(a+b)(a−b)=a2−b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方、平方差公式逐一计算可得．
本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方的运算法则，平方差公式是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题主要考查平行线的性质，三角形外角性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
由平行线的性质可得∠A=∠1=30°，再由三角形的外角性质可求∠4，利用邻补角的定义即可求∠2的度数．
【解答】
解：如图，

∵AB//CD，∠1=30°，
∴∠A=∠1=30°，
∵∠3=∠A+∠4，∠3=150°，
∴∠4=∠3−∠A=120°，
∴∠2=180°−∠4=60°．
故选：A．  
5.【答案】D 
【解析】解：∵s2=1n[(7−x−)2+(8−x−)2+(8−x−)2+(8−x−)2+(9−x−)2]，
∴样本容量是5，故选项A不合题意；
样本平均数是：7+8+8+8+95=8，故选项B不合题意；
样本众数是8，故选项C不合题意；
样本方差是：s2=15×[(7−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(8−8)2+(9−8)2]=25，故选项D符合题意．
故选：D．
根据题目中的方差公式可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
本题考查方差、样本容量、算术平均数、众数，解答本题的关键是明确题意，会求一组数据的方差、样本容量、算术平均数、众数．

6.【答案】A 
【解析】解：由题意可得，
10x−102x=12，
故选：A．
根据八年级学生去距学校10千米的景点参观，一部分学生骑自行车先走，过了30分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．

7.【答案】C 
【解析】解：连接BC，如图所示，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=25°，
∴∠B=65°，
∵AC=AC，
∴∠D=∠B=65°．
故选：C．
连接BC，由圆周角定理的推论得∠ACB=90°，得∠B=65°，再由圆周角定理的推论得解．
此题考查了圆周角定理的推论、直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理的两个推论是解答此题的关键．

8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了作图−基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
连接FC，根据基本作图，可得OE垂直平分AC，由垂直平分线的性质得出AF=FC.再根据ASA证明△FOA≌△BOC，那么AF=BC=3，等量代换得到FC=AF=3，利用线段的和差关系求出FD=AD−AF=1.然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的长．
【解答】
解：如图，连接FC，则AF=FC．

∵AD//BC，
∴∠FAO=∠BCO．
在△FOA与△BOC中，
∠FAO=∠BCOOA=OC∠AOF=∠COB，
∴△FOA≌△BOC(ASA)，
∴AF=BC=3，
∴FC=AF=3，FD=AD−AF=4−3=1．
在△FDC中，∵∠D=90°，
∴CD2+DF2=FC2，
∴CD2+12=32，
∴CD=2 2．
故选：A．  
9.【答案】B 
【解析】解：如图，过点A作AH⊥BC于H，设BC与y轴交于E，

则OE//AH，
∵△ABC是等腰三角形，且底边BC//x轴，
∴BH=CH，
∵过原点的直线AB与双曲线交于A、B两点，
∴A、B关于原点O对称，即O为AB的中点，
∴点E为BH的中点，
∴BH=2BE，
∴BC=4BE，
设BE=a，则CE=3a，BC=4a，
∴A(−a,−ka)，B(a,ka)，C(−3a,ka)，D(−3a,−k3a)，
∴CD=−k3a−ka=−4k3a，
∵S△BCD=12BC⋅CD=16，
∴12⋅4a⋅(−4k3a)=16，
解得：k=−6，
故选：B．
过点A作AH⊥BC于H，设BC与y轴交于E，则OE//AH，由△ABC是等腰三角形得到BH=CH，由A、B关于点O中心对称得到点E是BH的中点，则BH=2BE，即有BC=4BE，设BE=a，则CE=3a，得到点A、点C和点D的坐标，再由△BCD的面积求得k的值．
本题考查了等腰三角形的性质，中心对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知等腰三角形的性质设出点A的坐标．

10.【答案】B 
【解析】解：A.|−2|=2，2>0，故A不符合题意；
B.−22=−4，−4<0，故B符合题意；
C.22=4，4>0，故C不符合题意；
D.−(−2)=2，2>0，故D不符合题意；
故选：B．
先化简各式，然后再进行判断即可．
本题考查了有理数的乘方，正数和负数，相反数，绝对值，熟练准确地化简各式是解题的关键．

11.【答案】B 
【解析】解：A、该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
此题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．

12.【答案】C 
【解析】解：A、a3⋅a2=a5≠a6，本选项不符合题意；
B、(−a2)3=−a6≠a6，本选项不符合题意；
C、ab2⋅2a2b=2a3b3，本选项符合题意；
D、(ab2)2=a2b4≠ab4，本选项不符合题意．
故选：C．
根据同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式的计算法则求解判断即可．
本题主要考查了同底数幂乘法，幂的乘方，积的乘方，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键．

13.【答案】C 
【解析】解：因为1nm=10−9m，
所以28nm=28×10−9m=2.8×10−8m.
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．

14.【答案】C 
【解析】
【分析】
先计算出白球的频率，再由数据总数×频率=频数计算白球的个数．
本题主要考查频率和频数，掌握频率和频数的关系是解题的关键．
【解答】
解：∵摸到红色球、黑色球的频率稳定在15%和45%，
∴摸到白球的频率为1−15%−45%=40%，
故口袋中白色球的个数可能是40×40%=16(个)．
故选：C．  
15.【答案】B 
【解析】解：去括号，得：−3x+6≥0，
移项，得：−3x≥−6，
系数化为1，得：x≤2，
故选：B．
根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、系数化为1可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．

16.【答案】D 
【解析】解：因为全班抽取了5+12+10+13+10=50人，所以一共有50个数据，
且表中数据已是从小到大排列的，最中间两个数据都是8，8，所以这一组数据的中位数是8+82=8，
这一组数据中出现次数最多的是9，所以众数是9．
故选：D．
根据众数与中位数的定义可以直接得到答案．
本题主要考查了众数和中位数，掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是关键．

17.【答案】A 
【解析】解：如图，
由作法得BA=BC，
∴∠BAC=∠ACB=20°，
∵∠MAB=120°，
∴∠MAC=120°−20°=100°，
∵直线l1//l2，
∴∠2=∠MAC=100°，
∴∠1=180°−∠2=80°．
故选：A．
先利用作法得到得BA=BC，则利用等腰三角形的性质得到∠BAC=20°，于是可计算出∠MAC=100°，再根据平行线的性质得到∠2=100°，然后根据邻补角的定义得到∠1的度数．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．

18.【答案】C 
【解析】解：如图，连接OE，OD，CE，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CDE=(5−2)×180°÷5=108°，
∵∠CDF=96°，
∴∠FDE=∠CDE−∠CDF=108°−96°=12°，
∴∠FCE=12°，
∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴∠EOD=360°÷5=72°，
∴∠ECD=12∠EOD=36°，
∴∠FCD=∠FCE+∠ECD=36°+12°=48°，
故选：C．
连接OE，OD，CE，根据正五边形的性质得出∠CDE的度数，从而得出∠FDE的度数即∠FCE的度数，再根据正五边形ABCDE内接于⊙O，得出∠ECD的度数即可求解．
本题考查了正多边形的性质，圆周角定理，根据正五边形的性质得出∠CDE与∠EOD的度数是解题的关键．

19.【答案】C 
【解析】解：①由函数图象可知，抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2−4ac>0，
∴①正确；
②∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−1，
∴−b2a=−1，
∴2a=b，
∴②正确；
③∵抛物线的对称轴为x=−1，点(54,y3)在抛物线上，
∴点(54,y3)关于对称轴对称的点为(−134,y3).
∵−72<−134<−32，且抛物线对称轴左边图象y值随x的增大而增大，
∴y1 ∴③错误；
④∵当x=−3时，y=9a−3b+c<0，且b=2a，
∴9a−3×2a+c=3a+c<0，
∴6a+2c=3b+2c<0，
∴④正确；
⑤∵b=2a，
∴方程at2+bt+a=0中△=b2−4a⋅a=0，
∴抛物线y=at2+bt+a与x轴只有一个交点，
∵图中抛物线开口向下，
∴a<0，
∴y=at2+bt+a≤0，
即at2+bt≤−a=a−b．
∴⑤正确，
正确的结论有4个，
故选：C．
逐一分析5条结论是否正确：①由抛物线与x轴有两个不相同的交点结合根的判别式即可得出该结论正确；②根据抛物线的对称轴为x=−1，即可得出b=2a，即②正确；③根据抛物线的对称性找出点(−134,y3)在抛物线上，再结合抛物线对称轴左边的单调性即可得出③错误；④由x=−3时，y<0，即可得出3a+c<0，结合b=2a即可得出④正确；⑤由方程at2+bt+a=0中△=b2−4a⋅a=0结合a<0，即可得出抛物线y=at2+bt+a中y≤0，由此即可得出⑤正确．综上即可得出结论．
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数与不等式以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是逐一分析5条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握二次函数的图象是关键．

20.【答案】1.5×104 
【解析】解：14978=1.4978×104≈1.5×104
故答案为：1.5×104
先用科学记数法表示，再根据四舍五入法，可以将题目中的数据精确到千位表示即可．
本题考查近似数，科学记数法，解答本题的关键是明确近似数的含义．

21.【答案】xy(x−2)(x+2) 
【解析】解：x3y−4xy
=xy(x2−4)
=xy(x−2)(x+2)．
故答案为：xy(x−2)(x+2)．
直接提取公因式xy，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．

22.【答案】90° 
【解析】解：设“弓”所对的圆心角度数为n°，
∵弧长l=nπR180，
∴n=180lπR=180×58ππ×1.25=90，
即“弓”所对的圆心角度数为90°，
故答案为：90°．
由弧长公式进行变形计算即可．
本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．

23.【答案】 
【解析】解：和树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中m、n的取值使得一元二次方程x2−mx+n=0有两个不相等的实数根(m2−4n>0)的结果有4种，
∴m、n的取值使得一元二次方程x2−mx+n=0有两个不相等的实数根的概率为=，
故答案为：．
画树状图，共有6种等可能的结果，其中m、n的取值使得一元二次方程x2−mx+n=0有两个不相等的实数根(m2−4n>0)的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及根的判别式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

24.【答案】95 5 
【解析】
【解答】
解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC= AB2−BC2=8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵CD//AB，
∴∠D=∠ABE，
∴∠D=∠CBE，
∴CD=BC=6，
又∵∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴AECE=BEDE=ABCD=106=53，
∴CE=38AC=38×8=3，
在Rt△BCE中，
BE= BC2+CE2= 62+32=3 5，
∴DE=35BE=35×3 5=95 5，
故答案为：95 5．
【分析】
本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质以及勾股定理是解题的关键．
由CD//AB，∠D=∠ABE，∠D=∠CBE，所以CD=BC=6，再证明△AEB∽△CED，根据相似比求出DE的长．  
25.【答案】①②③ 
【解析】解：如图1中，

∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=EC，∠ADB=∠AEC，故①正确，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠AEC+∠ADC=180°，
∴∠DAE+∠DCE=180°，
∴∠DAE=∠DCE=90°，
取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA=OD=OE=OC，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠DAC=∠CED，故②正确，
设CD=m，则BD=CE=2m.DE= 5m，OA= 52m，
过点C作CJ⊥DF于点J，
∵tan∠CDF=CJDJ=CECD=2，
∴CJ=2 55m，
∵AO⊥DE，CJ⊥DE，
∴AO//CJ，
∴CFAF=CJAO=2 55m 52m=45，故③正确．
如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，

∴BP=BN，PC=NM，∠PBN=60°，
∴△BPN是等边三角形，
∴BP=PN，
∴PA+PB+PC=AP+PN+MN，
∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB=∠APC=∠BPC=120°，PB=PC，AD⊥BC，
∴∠BPD=∠CPD=60°，
设PD=t，则BD=AD= 3t，
∴2+t= 3t，
∴t= 3+1，
∴CE=BD= 3t=3+ 3，故④错误．
故答案为：①②③．
①正确．证明△BAD≌△CAE(SAS)，可得结论；
②正确．证明A，D，C，E四点共圆，利用圆周角定理证明；
③正确．设CD=m，则BD=CE=2m.DE= 5m，OA= 52m，过点C作CJ⊥DF于点J，求出AO，CJ，可得结论；
④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB=∠APC=∠BPC=120°，PB=PC，AD⊥BC，设PD=t，则BD=AD= 3t，构建方程求出t，可得结论．
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

26.【答案】x≠3 
【解析】解：由题意得：x−3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：x≠3．
根据分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义，可得2x−3≠0，解可得答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
(3)分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

27.【答案】 15(答案不唯一) 
【解析】解：∵ 16=4，
∴ 11< 15<4，
∴一个比 11大且比4小的无理数是： 15，
故答案为： 15(答案不唯一)．
根据算术平方根的意义，可知4= 16，再根据无理数的意义，即可解答．
本题考查了无理数，实数大小比较，算术平方根，熟练掌握算术平方根，以及无理数的意义是解题的关键．

28.【答案】a(a+2b)(a−2b) 
【解析】解：a3−4ab2
=a(a2−4b2)
=a(a+2b)(a−2b)，
故答案为：a(a+2b)(a−2b)．
先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公司式，必须先提公因式．

29.【答案】mx+nym+n 
【解析】解：∵某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，
则这m+n个数据的总和为：mx+ny，
所以平均数为：mx+nym+n．
故答案为：mx+nym+n．
直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数．
此题主要考查了加权平均数，正确得出两组数据的总和是解题关键．

30.【答案】5 
【解析】解：∵点E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF是△ACB的中位线，
∴AB=2EF=2×5=10，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，
∴CD=12AB=12×10=5，
故答案为：5．
根据三角形中位线定理求出AB，根据直角三角形的斜边上的中线是斜边的一半解答．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

31.【答案】8 
【解析】解：如图：OF与CB交于点M，
  
设B(a,b)，
∵AB=EF=b，
在矩形OABC和矩形DEFG中，
CO=BA，∠OCB=∠FEC=90°，
∵∠CMO=∠FMB，
在△CMO和△EMF中，∠CMO=∠FMB∠OCB=∠FEC=90°CO=EF
∴△CMO≌△EMF(AAS)，
∵S阴影=S△EFM+S△OMB
=S△CMO+S△OMB
=S△OCB
=12ab，
∴12ab=4，
∴ab=8，
∴k=8；
故答案为：8．
设B(a,b)，证明△CMO≌△EMF(AAS)，根据S阴影=S△EFM+S△OMB，等量代换后得出12ab=4，从而求出k．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数比例系数k的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标根据反比例函数比例系数k的几何意义列出算式是解题的关键．

32.【答案】32 
【解析】解：连接AF，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠C，
∵BE=CF=1，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠BAE=∠CBF．
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BPE=∠APF=90°．
∵∠ADF=90°，
∴∠ADF+∠APF=180°，
∴A、P、F、D四点共圆，
∴∠APD=∠AFD，
∴tan∠APD=tan∠AFD=ADDF=33−1=32．
故答案为：32．
首先证明△ABE≌△BCF，再利用角的关系求得∠APF=90°，证明A、P、F、D四点共圆，得∠APD=∠AFD，可得结论．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆的性质、三角函数的定义，解决的关键是证明∠APF=90°．

33.【答案】4 2 55 
【解析】解：过A作AD⊥BC于D，如图：

由图可得：
BC= 12+32= 10，AC= 22+22=2 2，S△ABC=3×3−12×1×3−12×3×1−12×2×2=4，
∵12× 10⋅ AD=4，
∴AD=4 105，
∴sin∠ACB=ADAC=4 1052 2=2 55，
故答案为：4，2 55．
由正方形面积减去三个直角三角形面积可求S△ABC，过A作AD⊥BC于D，用面积法可求AD的长，在Rt△ACD中可得sin∠ACB．
本题考查勾股定理，三角形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是掌握勾股定理，三角形面积，求锐角三角函数．

34.【答案】解：(−2)2−(π− 2020)0+| 3−2|+2sin60°
=4−1+2− 3+2× 32
=4−1+2− 3+ 3
=5． 
【解析】本题涉及平方、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握平方、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简等知识点的运算．

35.【答案】解：原式=x−3(x+3)2÷x+3−6x+3
=x−3(x+3)2⋅x+3x−3
=1x+3，
当x=2× 22−6×12= 2−3时，原式=1 2−3+3= 22． 
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

36.【答案】证明：(1)连接AC，如图1：

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，
∵AF=AE，
∴AC⊥EF，
∴EG//BD．
又∵菱形ABCD中，ED//BG，
∴四边形EGBD是平行四边形．
(2)过点A作AH⊥BC于H．

∵∠FGB=30°，
∴∠DBC=30°，
∴∠ABH=2∠DBC=60°，
∵GB=AE=2，
∴AB=AD=4，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°，
∴AH=2 3，BH=2．
∴GH=4，
∴AG= AH2+GH2= 16+12=2 7． 
【解析】(1)连接AC，再根据菱形的性质得出EG//BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．
(2)过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．
本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．

37.【答案】108 
【解析】解：(1)∵被调查的总人数为16÷40%=40(人)，
∴扇形统计图中三等奖所在扇形的圆心角的度数是360°×1240=108°，
故答案为：108；

(2)一等奖人数为40−(8+12+16)=4(人)，
补全图形如下：


(3)一等奖中七年级人数为4×14=1(人)，九年级人数为4×12=2(人)，则八年级的有1人，
画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的有4种结果，
所以所选出的2人中既有七年级同学又有九年级同学的概率为412=13．
(1)先根据参与奖的人数及其所占百分比求得总人数，再用360°乘以三等奖人数所占比例即可得；
(2)用总人数减去其它奖项的人数求出一等奖的人数，从而补全图形；
(3)画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式计算可得．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比

38.【答案】解：延长OA交直线BC于H，
∵河堤AC的坡角为30°，
∴∠DAC=30°，
∵钓竿AO的倾斜角是60°，
∴∠DAO=60°，
∴∠OAC=90°，
∴AH=AC⋅tan∠ACH=32，
∴HC=2AH=3，
∵∠OHB=∠O=60°，
∴△OHB为等边三角形，
∴HB=OH=OA+AH=4.5，
则BC=HB−HC=1.5，
答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米 
【解析】延长OA交BC于H，根据题意得到∠OAC=90°，利用正切的概念求出AH，判断△OHB为等边三角形，求出HB，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用--坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

39.【答案】解：(1)设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，
由题意可得：x+2y=3403x+2y=540，
解得x=100y=120，
答：每个A型垃圾箱100元，每个B型垃圾箱120元；
(2)设购买m个A型垃圾箱，则购买(20−m)个B型垃圾箱，
由题意可得：ω=100m+120(20−m)=−20m+2400，
即ω=−20m+2400(0≤m≤16，且m为整数)；
(3)由(2)知，ω=−20m+2400，
∴ω随m的增大而减小．
∵0≤m≤16，且m为整数，
∴当m=16，w取得最小值，此时ω=2080，
即当购买A型垃圾箱个数16时总费用最小，最小费用是2080元． 
【解析】(1)根据购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱需340元；购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元，可以列出相应的方程组，然后求解即可；
(2)根据题意和题目中的数据，可以写出购买垃圾箱的总花费ω(元)与A型垃圾箱m(个)之间的函数关系式；
(3)根据(2)中的函数关系式和一次函数的性质、m的取值范围，可以求得总费用的最小值．
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．

40.【答案】(1)证明：连接OC，如图，

∵CF为切线，
∴OC⊥CF，
∴∠OCF=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵OA=OC，
∴∠1=∠A，
∴∠A+∠2=90°，
而DE⊥AE，
∴∠D+∠A=90°，
∴∠2=∠D，
∴FC=FD；

(2)解：连接BC交DE于G，如图，

∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠2+∠FCG=∠D+∠FGC，
∵∠2=∠D，
∴∠FCG=∠FGC，
∴CF=FG=DF=154，
∴CG=DG⋅sin∠D=152×35=92，
∴CD= DG2−CG2=6，
∵C是AD的中点，
∴AD=6，
∵∠A+∠D=∠A+∠B=90°，
∴∠B=∠D，
∴AB=ACsinB=635=10，
∴⊙O的半径为5． 
【解析】(1)连接OC，如图，利用切线的性质得∠OCF=90°，则∠1+∠2=90°，再利用∠1=∠A和互余可得到∠2=∠D，所以FC=FD；
(2)连接BC交DE于G，计算DG，进而得CD、AC，再解直角三角形得AB便可．
本题考查的是切线的性质、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形．

41.【答案】解：(1)由x2−2x−3=0，得x1=−1，x2=3．
∴A(−1,0)，B(3,0)，
把A，B两点的坐标分别代入y=ax2+bx+2联立求解，
得a=−23，b=43．

(2)由(1)可得y=−23x2+43x+2，
∵当x=0时，y=2，
∴C(0,2)．
设AC：y=kx+b，把A，C两点坐标分别代入y=kx+b，联立求得k=2，b=2．
∴直线AC的解析式为y=2x+2．
同理可求得直线BC的解析式是y=−23x+2．

(3)假设存在满足条件的点P，并设直线y=m与y轴的交点为F(0,m)．
①当DE为腰时，分别过点D，E作DP1⊥x轴于P1，作EP2⊥x轴于P2，如图，
则△P1DE和△P2ED都是等腰直角三角形，DE=DP1=FO=EP2=m，AB=x2−x1=4．
∵DE//AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴DEAB=CFOC，即m4=2−m2．
解得m=43．
∴点D的纵坐标是43，
∵点D在直线AC上，
∴2x+2=43，解得x=−13，
∴D(−13,43).
∴P1(−13,0)，同理可求P2(1,0)．
②当DE为底边时，
过DE的中点G作GP3⊥x轴于点P3，如图，

则DG=EG=GP3=m，
由△CDE∽△CAB，
得DEAB=CFOC，即2m4=2−m2，
解得m=1．
同1方法．求得D(−12,1)，E(32,1)，
∴DG=EG=GP3=1
∴OP3=FG=FE−EG=12，
∴P3(12,0)．
结合图形可知，P3D2=P3E2=2，ED2=4，
∴ED2=P3D2+P3E2，
∴△DEP3是Rt△，
∴P3(12,0)也满足条件．
综上所述，满足条件的点P共有3个，即P1(−13,0)或P2(1,0)或P3(12,0) 
【解析】(1)求出方程两根代入抛物线解析式即可；
(2)设所求的解析式为y=kx+b，用待定系数法求解；
(3)若△DEP为等腰直角三角形，应分情况进行讨论，需注意应符合两个条件：等腰，有直角．
本题考查的知识点较为全面：解一元二次方程，用待定系数法求函数解析式，相似的应用以及勾股定理，等腰三角形的性质等，需耐心分析，加以应用．

42.【答案】解：(12)−1−2sin30°+ 2cos45°
=2−2×12+ 2× 22
=2−1+1
=2． 
【解析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值代入运算即可．
本题考查特殊角的三角函数值的运算，以及负整数指数幂，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．

43.【答案】解：(2−a+3a+2)÷a2−1a+2
=(2a+4a+2−a+3a+2)÷(a+1)(a−1)a+2
=a+1a+2⋅a+2(a+1)(a−1)
=1a−1，
当a=3时，原式=13−1=12． 
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．

44.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，
∵FH⊥BH，
∴∠H=90°=∠B，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB=90°−∠FEH=∠EFH，
在△ABE和△EHF中，
∠B=∠H∠AEB=∠EFHAE=EF，
∴△ABE≌△EHF(AAS)，
∴AB=EH，
∴BC=EH，
∴BC−EC=EH−EC，即BE=CH；
(2)解：延长HF、AD交于G，如图：

由(1)知△ABE≌△EHF，BE=CH，
∴FH=BE=CH=2，
∵∠DCH=∠H=∠GDC=90°，
∴四边形DCHG是矩形，
∴GH=CD=AB=6，DG=CH=BE=2，
∴FG=GH−FH=6−2=4，
在Rt△DGF中，
DF= DG2+FG2= 22+42=2 5，
∴DF的长是2 5． 
【解析】(1)由四边形ABCD是正方形，FH⊥BH，AE=EF可得△ABE≌△EHF(AAS)，即得AB=EH，有BC=EH，故BE=CH；
(2)延长HF、AD交于G，由△ABE≌△EHF可得FH=BE=CH=2，证明四边形DCHG是矩形，有GH=CD=AB=6，DG=CH=BE=2，得FG=GH−FH=4，根据勾股定理可得DF的长是2 5．
本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理性质与应用，解题的关键是掌握全等三角形判定定理，证明△ABE≌△EHF．

45.【答案】解：(1)如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN=45°，∠DAE=α°，i=1： 3，AB=10米，AE=20米．
∵i=1： 3=BMAM=tan∠BAM，
∴∠BAM=30°，
∴BM=12AB=5(米)，
即点B距水平地面AE的高度为5米；
(2)在Rt△ABM中，
∴BM=12AB=5(米)=NE，
AM= 32AB=5 3(米)，
∴ME=AM+AE=(5 3+20)米=BN，
∵∠CBN=45°，
∴CN=BN=ME=(5 3+20)米，
∴CE=CN+NE=(5 3+25)米，
在Rt△ADE中，∠DAE=α，AE=20米，
∴DE=AE⋅tanα°≈20×54=25(米)，
∴CD=CE−DE
=5 3+25−25
=5 3
≈8.65(米)<9米，
∴符合要求． 
【解析】(1)根据坡度的意义，求出∠BAM=30°，再利用直角三角形的边角关系求出答案；
(2)在Rt△ABM中求出AM，进而求出ME，即BN，再在Rt△BCN中，得出CN=BN，在Rt△ADE中由边角关系求出DE，最终求出CD，取近似值比较得出答案．
本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，直角三角形的应用−坡角坡度问题，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解坡度的意义是解决问题的关键．

46.【答案】30  0.3  0.4 
【解析】解：(1)由题意得：a=150−15−45−60=30，b=45÷150=0.3，c=60÷150=0.4，
故答案为：30，0.3，0.4；
(2)补全频数分布直方图如下：

(3)360×0.4=144(名)，
答：估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有144名．
(1)由抽取的人数减去其它三个组的频数得出a的值，再由频率的定义求出b、c即可；
(2)由(1)中a的值，补全频数分布直方图即可；
(3)用360乘样本中90分以上的学生的频率即可．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

47.【答案】解：(1)∵正比例函数y=x与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象交于点A(2 2,m )，
∴m=2 2，k=2 2m，
∴k=8，
(2)设H点的横坐标为x，则G(x,x)，
∴S△GOH=12x2，
∵S△POH=12k=4，
∴S△OPG=S△POH−S△GOH=4−12x2=2，
∴x=2(负数舍去)，
∴P点的横坐标为2，
∴y=82=4，
∴P点的坐标为(2,4)． 
【解析】(1)利用正比例函数的解析式求得m=2 2，然后利用待定系数法即可求得k=8；
(2)设H点的横坐标为x，则G(x,x)，即可求得S△GOH=12x2，由S△POH=12k=4，得出S△OPG=S△POH−S△GOH=4−12x2=2，解得x=2，进而求得P点的坐标为(2,4)．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，表示出点的坐标是解题的关键．

48.【答案】(1)证明：如图1中，

∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
(2)证明：连接AC，如图2所示：

∵OF⊥BC，
∴BE=CE，BE=CE，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴CEEH=EACE，
∴CE2=EH⋅EA，
∴BE2=EH⋅EA；
(3)解：连接BE，如图3所示：

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为10，sin∠BAE=35，
∴AB=20，BE=AB⋅sin∠BAE=20×35=12，
∴EA= AB2−BE2=16，
∵BE=CE，
∴BE=CE=12，
∵CE2=EH⋅EA，
∴EH=9，
∴在Rt△BEH中，BH= BE2+EH2= 122+92=15． 
【解析】本题考查圆综合题、切线的判定和性质、垂径定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
(1)如图1中，欲证明BD是切线，只要证明AB⊥BD即可；
(2)连接AC，如图2所示，欲证明CE2=EH⋅EA，只要证明△CEH∽△AEC即可；
(3)连接BE，如图3所示，由CE2=EH⋅EA，可得EH=9，在Rt△BEH中，根据BH= BE2+EH2，计算即可．

49.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(4,0)的坐标代入函数的表达式得：−1−b+c=0−16+4b+c=0，
解得：b=3c=4．
∴抛物线的解析式为y=−x2+3x+4；
(2)如图1所示：

∵B(4,0)，
∴OB=4，
∵令x=0得y=4，
∴OC=4，
∴OC=OB，
∵∠CFP=∠COB=90°，
∴FC=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似，
设点P的坐标为(a,−a2+3a+4)(a>0)．
则CF=a，PF=|−a2+3a+4−4|=|a2−3a|，
∴|a2−3a|=a，
解得：a=2或a=4，
∴点P的坐标为(2,6)或(4,0)；
(3)如图2所示：连接EC，PB．

设点P的坐标为(a,−a2+3a+4).则OE=a，PE=−a2+3a+4，EB=4−a，
∵S四边形PCEB=12OB⋅PE=12×4(−a2+3a+4)，S△CEB=12EB⋅OC=12×4×(4−a)，
∴S△PBC=S四边形PCEB−S△CEB=2(−a2+3a+4)−2(4−a)=−2a2+8a=−2(a−2)2+8，
∵a=−2<0，
∴当a=2时，△PBC的面积S有最大值，最大值为8，此时P(2,6)． 
【解析】(1)将点A(−1,0)，B(4,0)的坐标代入抛物线的解析式，求得b、c的值即可；
(2)先由函数解析式求得点C的坐标，从而得到△OBC为等腰直角三角形，故此当CF=PF时，以P，C，F为顶点的三角形与△OBC相似．
设点P的坐标为(a,−a2+3a+4).则CF=a，PF=−a2+3a，接下来列出关于a的方程，从而可求得a的值，于是可求得点P的坐标；
(3)连接EC.设点P的坐标为(a,−a2+3a+4).则OE=a，PE=−a2+3a+4，EB=4−a.然后依据S△PBC=S四边形PCEB−S△CEB列出△PBC的面积与a的函数关系式，从而可求得三角形的最大面积．
本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定，用含a的式子表示相关线段的长度，然后列出△PBC的面积与a的函数关系式是解题的关键．