初中数学中考复习：25锐角三角函数综合复习(含答案)

中考总复习：锐角三角函数综合复习—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题
1. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝,则tan A等于 (   )

   A．          B．        C．        D．

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA=．则下列关系式中不成立的是（　 ）

 A．tanA•cotA=1  B．sinA=tanA•cosA   C．cosA=cotA•sinA  D．tan2A+cot2A=1

          第2题                     第3题

3．如图，在四边形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC等于（　 ）

     A．           B．          C．         D．

4．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是(   )

A．      B．      C．      D．

5．如图所示，已知∠α的终边OP⊥AB，直线AB的方程为y＝－x＋，则cosα等于    (    )

    A．      B．     C．     D．

             第5题                                  第6题

6．如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（　　）

 A.  B.

 C.  D.

;

二、填空题

7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为．则θ＝      ．

8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为           .

9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB=            .

第8题                    第9题               第11题

10．当0°＜α＜90°时，求的值为           ．

11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则tan∠OBE=         ．

12．已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP=1，则tan∠BPC的值是　           ．

三、解答题

13．如图所示，某拦河坝截面的原设计方案为AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6m为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长．(精确到0.1m)

14. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1 m) （sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）

15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离．从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C、D间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)

16. 在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．

(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；

(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；

(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】D；

【解析】在Rt△ABC中，设AC＝3k，AB＝5k，则BC＝4k，由定义可知tan A＝．故选D.

2.【答案】D；

【解析】根据锐角三角函数的定义，得

A、tanA•cotA==1，关系式成立；

B、sinA=，tanA•cosA=，关系式成立；

C、cosA=，cotA•sinA=，关系式成立；

D、tan2A+cot2A=（）2+（）2≠1，关系式不成立．

故选D．

3.【答案】B；

【解析】连接BD．

∵E、F分別是AB、AD的中点．
∴BD=2EF=4
∵BC=5，CD=3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC=
故选B．

4.【答案】C；

【解析】设CE＝x，则AE＝8-x．由折叠性质知AE＝BE＝8-x．在Rt△CBE中，

由勾股定理得BE2＝CE2+BC2，即(8-x)2＝x2+62，解得，

∴ tan∠CBE．

5.【答案】A；

【解析】∵y＝－x＋，∴当x＝0时，y＝，当y＝0时，x＝1，

∴A(1，0)，B，∴OB＝，OA＝1，

∴AB＝＝，∴cos∠OBA＝.

 ∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．

∴cosα＝cos∠OBA＝．故选A.

6.【答案】D；

【解析】由数轴上A点的位置可知，＜A＜2．

A、由sin30°＜x＜sin60°可知，×＜x＜，即＜x＜，故本选项错误；

B、由cos30°＜x＜cos45°可知，＜x＜×，即＜x＜，

故本选项错误；

C、由tan30°＜x＜tan45°可知，×＜x＜1，即＜x＜1，故本选项错误；

D、由cot45°＜x＜cot30°可知，×1＜x＜，即＜x＜，故本选项正确．

故选D．

二、填空题

7．【答案】30°；

【解析】x1·x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝()2，

∴sinθ＝，∴θ＝30°．

8．【答案】；

【解析】∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，

由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，

∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，

∴∠DCF=∠AFE，

∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，

∴DF=3，

∴tan∠AFE=tan∠DCF=  =  ．

9．【答案】；

【解析】连接AO并延长交圆于E，连CE．

∴∠ACE=90°（直径所对的圆周角是直角）；

在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，

∴sin∠E=；

又∵∠B=∠E（同弧所对的的圆周角相等），

∴sinB=．

10．【答案】1；

【解析】由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α

∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．

    ∴.

     ∵0°＜α＜90°，∴cosα＞0．

     ∴原式＝＝1．

11．【答案】；

   【解析】连接EC．根据圆周角定理∠ECO=∠OBE．

在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，

则tan∠ECO=．故tan∠OBE=．

12．【答案】2或；  

【解析】此题有两种可能：

（1）当点P在线段CD上时，∵BC=2，DP=1，CP=1，∠C=90°，∴tan∠BPC==2；

（2）当点P在CD延长线上时，∵DP=1，DC=2，∴PC=3，

又∵BC=2，∠C=90°，∴tan∠BPC=．

故答案为：2或．

三、解答题

13.【答案与解析】

    解：如图所示，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．

    在Rt△ABE中，，

∴AE＝ABsin∠ABE＝6sin 74°≈5.77(cm)；

，

∴BE＝ABcos∠ABE＝6cos 74°≈1.65(m)．

∵AH∥BC，∴DF＝AE≈5.77m．

在Rt△BDF中，，

∴(m)．

    ∴AD＝EF＝BF-BE＝4.04-1.65≈2.4(m)．

14.【答案与解析】

解：在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，∠BAD＝18°，

∴，

BD＝tan∠BAD·AB＝tan 18°×9，

∴CD＝tan 18°×9-0.5．

在Rt△DCE中，∠DEC＝90°，∠CDE＝72°，

∴，＝sin 72°×(tan 18°×9-0.5)≈2.3(m)．

即该图中CE的长约为2.3m．

15.【答案与解析】

    解：如图所示，由已知可得

∠ACB＝60°，∠ADB＝45°．

∴在Rt△ABD中，BD＝AB．

又在Rt△ABC中，

∵，

∴，即．

∵BD＝BC+CD，∴．

∴CD＝AB-AB＝180-180×＝（180-60)米．

答：小岛C、D间的距离为(180-)米．

16.【答案与解析】

    解：(1)BF＝CG．

证明：在△ABF和△ACG中，

∵∠F＝∠G＝90°，∠FAB＝∠GAC，AB＝AC，

∴△ABF≌△ACG(AAS)，

∴BF＝CG．

(2)DE+DF＝CG．

证明：过点D作DH⊥CG于点H(如图所示)．

∵DE⊥BA于点E，∠G＝90°，DH⊥CG，

∴四边形EDHG为矩形，

∴DE＝HG．DH∥BG．

∴∠GBC＝∠HDC

∴AB＝AC．

∴∠FCD＝∠GBC＝∠HDC．

又∵∠F＝∠DHC＝90°，CD＝DC，

∴△FDC≌△HCD(AAS)，∴DF＝CH．

∴GH+CH＝DE+DF＝CG，

即DE+DF＝CG．

(3)仍然成立．

(注：本题还可以利用面积来进行证明，比如(2)中连结AD)