浙江温州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（较难题）

这是一份浙江温州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（较难题），共42页。试卷主要包含了根据以下素材，探索完成任务，根据信息，完成活动任务，问题等内容，欢迎下载使用。
浙江温州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（较难题）
一．二次函数的应用（共2小题）
1．（2023•龙湾区一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何拟定计时器的计时方案？
问题背景
“漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图1），
它是中国古代人民对函数思想的创造性应用．

素材1
为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶”
的水位．如图2，若打开出水口B，水位就
稳定在BC位置，随着“受水壶”内的水
逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间．
小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器．
素材2
实验发现，当打开不同的出水口时，水位
可以稳定在相应的高度，从而调节计时时
长T（即“受水壶”到达最高位200mm的
总时间）．右表是记录“漏水壶”水位高度
h（mm）与“受水壶”每分钟上升高度x（mm）
的部分数据，已知h关于x的函数表达式
为：h＝ax2+c．
h（mm）
…
72
162
288
…
x（mm/min）
…
10
15
20
…

问题解决
任务1
确定函数关系
求h关于x的函数表达式．
任务2
探索计时时长
“漏水壶”水位定在98mm时，求计时器的计时时长T．
任务3
拟定计时方案
小明想要设计出“漏水壶”水位高度和计时时长都是
整数的计时器，且“漏水壶”水位需满足
112.5mm～220.5mm（含112.5mm，220.5mm）．
请求出所有符合要求的方案．
2．（2023•文成县一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何给桥护栏挂小彩灯
素材1
图1是桥的护栏实物图，护栏长200米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后用该模板在图纸上绘制抛物线图
案，彩灯沿抛物线摆放．

素材2
方案一：护栏中间正好可以摆5具模板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下边．
方案二：将模板一部分放入护栏，绘制若干条抛物线图案，靠上下两边连成两条波浪线，每条抛物线的高度都相等，相对两条抛物线的顶点之间的距离h为0.7米．
方案三：将方案一和方案二中的抛物线图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的图案摆在中间，小的图案摆两边，连成一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对称图形，每条抛物线图案保持完整，两边能摆尽摆，可以有空余．

任务
问题解决

一
确定抛物线形状
求出模板抛物线的函数解析式；
二
确定方案二中一条抛物线图案的宽度和摆放方案
求出其中一条抛物线图案的宽度CD，每边这样的图案最多可以摆放几个？
三
设计方案三摆放方案
确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案．
二．平行四边形的判定与性质（共1小题）
3．（2023•鹿城区一模）在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长ED至点F，使得DF＝DE，连结BF．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形．
（2）BG⊥CE于点G，连结CF，若G是CE的中点，CF＝6，tan∠BCG＝3，求平行四边形BCEF的周长．

三．四边形综合题（共2小题）
4．（2023•鹿城区一模）根据信息，完成活动任务．
活动一：探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系．如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如表所示：

AB的长（cm）
10
20
30
40
50
BC的长（cm）
15
30
45
60
75
sin∠BCD
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
【任务1】如图2，作BH⊥CD于点H，设BH＝y（cm），AB＝x（cm），求y关于x的函数表达式．
活动二：设计该地房子的数量与层数．
在长方形土地上按图3所示设计n幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示．现要求每幢楼层数不超过24，每层楼高度为3米．
【任务2】当1号楼层数为24时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上．
【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格．
（1）所有房子层数总和超过160．
（2）正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上．
方案设计
每幢楼层数
n的值
层数总和
　 　
　 　
　 　
5．（2023•温州一模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°．P，Q分别是AC，CD上的动点，且满足，E是射线AD上一点，AP＝EP，设DQ＝x，AP＝y．

（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当△PQE中有一条边与AC垂直时，求DQ的长．
（3）如图2，当点Q运动到点C时，点P运动到点F．连结FQ，以FQ，PQ为边作平行四边形PQFG．
①当GF所在直线经过点D时，求平行四边形PQFG的面积；
②当点G在△ABC的内部（不含边界）时，直接写出x的取值范围．
四．垂径定理（共1小题）
6．（2023•文成县一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，，过点C作CH∥AF交AB于点G，交AD于点H．
（1）求证：CD＝CH；
（2）若CG＝2GH，AB＝10，求AF．

五．圆的综合题（共5小题）
7．（2023•平阳县一模）如图，点O在Rt△ABC的斜边AB上，半圆O切AC于点D，切BC于点E，连接OD，OE，Q为线段BC上一点，QP⊥AB交AB于点P，已知AC＝3，BC＝6，设OP＝x，EQ＝y．
（1）求半圆O的半径和OB的长；
（2）若点Q在线段BE上．①求y关于x的函数表达式；②在OE上取点F（不与点O重合），连接PF，QF，当△PQF为等腰直角三角形时，求所有满足条件x的值；
（3）当PQ经过的中点G时，求QG的长．

8．（2023•鹿城区一模）问题：如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，D在AB延长线上，DE⊥AD于点D，过B，C，D三点的⊙O交DE于点F，连结CD，CF．当△CDF为等腰三角形时，求BD的长．
思路：小明在探索该问题时，发现∠CFD＝∠CBA，于是作CH⊥DF于点H，然后分步求解．
（1）设BD＝x，用x的代数式分别表示CH和FH．

（2）当△CDF为等腰三角形时，求x的值．
请完成上述各步骤的解答．
拓展：小明发现点A关于CD的对称点始终落在⊙O上，于是他设计了如下问题：“当点A关于CD的对称点A'恰为的中点时，求BD的长”，请完成该题的解答．

9．（2023•龙湾区一模）如图1，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，以AB为直径作半圆O交AD于点E，过点E作⊙O的切线交CD于点G，交BA的延长线于点F．当点P从点G运动至点F时，点Q恰好从点A运动至点B，设AQ＝x，PF＝y．

（1）求证：AF＝DG．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）连结PQ．
①当PQ与△AEB的一边平行时，求x的值．
②如图2，记PQ与BE交于点M，连结MG，BG．若∠EPM＝∠MGB，求△BMQ的面积．
10．（2023•龙港市一模）如图1，在矩形OABC中，OC＝3OA＝15，对角线AC，OB交于点D，E是AO延长线上一点，连结CE，DE，已知AE＝CE，MN为半圆O的直径，CE切半圆O于点F．
（1）求证：△ADE∽△AOC．
（2）求半圆O的直径．
（3）如图2，动点P在CF上点C出发向终点F匀速运动，同时，动点Q从M出发向终点N匀速运动，且它们恰好同时停止运动．
①当PQ与△ABD的一边平行时，求所有满足条件的MQ的长．
②作点F关于PQ的对称点F'，当点F'落在半圆O上时，直接写出的值．

11．（2023•瓯海区一模）如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在△ABP的外接圆上，且位于正方形ABCD的内部，EA＝EP，连结AE，EP．
（1）求证：△PAE是等腰直角三角形．
（2）如图2，连结DE，过点E作EF⊥BC于点F，请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由．
（3）当P是BC的中点时，DE＝2．
①求BC的长．
②若点Q是△ABP外接圆的动点，且位于正方形ABCD的外部，连结AQ．当∠PAQ与△ADE的一个内角相等时，求所有满足条件的AQ的长．



浙江温州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（7套）-03解答题（较难题）
参考答案与试题解析
一．二次函数的应用（共2小题）
1．（2023•龙湾区一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何拟定计时器的计时方案？
问题背景
“漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图1），
它是中国古代人民对函数思想的创造性应用．

素材1
为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶”
的水位．如图2，若打开出水口B，水位就
稳定在BC位置，随着“受水壶”内的水
逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间．
小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器．
素材2
实验发现，当打开不同的出水口时，水位
可以稳定在相应的高度，从而调节计时时
长T（即“受水壶”到达最高位200mm的
总时间）．右表是记录“漏水壶”水位高度
h（mm）与“受水壶”每分钟上升高度x（mm）
的部分数据，已知h关于x的函数表达式
为：h＝ax2+c．
h（mm）
…
72
162
288
…
x（mm/min）
…
10
15
20
…

问题解决
任务1
确定函数关系
求h关于x的函数表达式．
任务2
探索计时时长
“漏水壶”水位定在98mm时，求计时器的计时时长T．
任务3
拟定计时方案
小明想要设计出“漏水壶”水位高度和计时时长都是
整数的计时器，且“漏水壶”水位需满足
112.5mm～220.5mm（含112.5mm，220.5mm）．
请求出所有符合要求的方案．
【答案】任务1：h关于x的函数关系式为h＝0.72x2；
任务2：计时器的计时时长为min；
任务3：方案一，“漏水壶”水位高度为128mm，计时器计时时长15min；方案二，“漏水壶”水位高度为200mm，计时器计时时长12min．
【解答】解：任务1：
把x＝10，h＝72和x＝20，h＝288分别代入h＝ax2+c，
得，
解得
所以h关于x的函数关系式为h＝0.72x2；
任务2：
当h＝98时，98＝0.72x2，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴T＝＝＝（min），
∴计时器的计时时长为min；
任务3：
由112.5≤h≤220.5，得12.5≤x≤17.5，
∵，
∴．
∵h和T都是整数，
∴T＝12，13，14，15，16，
当T＝12时，，h＝200；
当T＝13时，x＝，h＝0.72×≈170.41；
T＝14时，x＝＝，h＝0.72×≈146.94；
当T＝15时，，h＝128；
所以符合要求的方案有两种，
方案一，“漏水壶”水位高度为128mm，计时器计时时长15min；
方案二，“漏水壶”水位高度为200mm，计时器计时时长12min．
2．（2023•文成县一模）根据以下素材，探索完成任务．
如何给桥护栏挂小彩灯
素材1
图1是桥的护栏实物图，护栏长200米，高1.6米，图2是桥护栏示意图，为了使彩灯挂起来整齐美观，设计小组首先制作了外缘呈抛物线型模板，然后用该模板在图纸上绘制抛物线图
案，彩灯沿抛物线摆放．

素材2
方案一：护栏中间正好可以摆5具模板，绘制5条抛物线图案连成一条波浪线，每条抛物线的顶点落在护栏的上下边．
方案二：将模板一部分放入护栏，绘制若干条抛物线图案，靠上下两边连成两条波浪线，每条抛物线的高度都相等，相对两条抛物线的顶点之间的距离h为0.7米．
方案三：将方案一和方案二中的抛物线图案各若干条，沿护栏下边摆放，大的图案摆在中间，小的图案摆两边，连成一条波浪线，且整个小彩灯图案呈轴对称图形，每条抛物线图案保持完整，两边能摆尽摆，可以有空余．

任务
问题解决

一
确定抛物线形状
求出模板抛物线的函数解析式；
二
确定方案二中一条抛物线图案的宽度和摆放方案
求出其中一条抛物线图案的宽度CD，每边这样的图案最多可以摆放几个？
三
设计方案三摆放方案
确定大小抛物线图案各需多少个，并给出摆放方案．
【答案】任务一：抛物线解析式为y＝x2；
任务二：这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个；
任务三：方案1：较大的抛物线段1条，较小的抛物线4条；方案2：较大的抛物线段2条，较小的抛物线4条；方案3：较大的抛物线段3条，较小的抛物线2条．
【解答】解：任务一：由题意得：AB＝200÷5＝40（m），点B的坐标为（20，0.8），
设抛物线解析式为y＝ax2，
将B点坐标代入解析式得：0.8＝400a，
解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝x2；
任务二：h＝0.7时，点D的纵坐标为：（1.6﹣0.7）÷2＝0.45，
当y＝0.45时，代入y＝x2，
得0.45＝x2，
解得x1＝﹣15，x2＝15，
∴CD＝30，
200÷30＝6，
∴这样的抛物线图案每边最多可以摆放6个；
任务三：设较大的抛物线可以摆放m条，较小的抛物线n条，
由以上条件可知：AB＝40，CD＝30，
40m+30n≤200（m，n为正整数，且m≤5），
①m＝1，n＝5（不能对称摆放，舍去），
②m＝1，n＝4（中间摆1个较大的，左右摆2个较小的，两边各余20米，符合题意），
③m＝2，n＝4（中间摆2个较大的，左右摆2个较小的，两边各余20米，符合题意），
④m＝3，n＝2（中间摆3个较大的，左右摆1个较小的，两边各余10米，符合题意）．
⑤m＝4，n＝1（不对称摆放，舍去），
综上所述，方案1：较大的抛物线段1条，较小的抛物线4条；方案2：较大的抛物线段1条，较小的抛物线4条；方案3：较大的抛物线段3条，较小的抛物线2条．
二．平行四边形的判定与性质（共1小题）
3．（2023•鹿城区一模）在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，延长ED至点F，使得DF＝DE，连结BF．
（1）求证：四边形BCEF是平行四边形．
（2）BG⊥CE于点G，连结CF，若G是CE的中点，CF＝6，tan∠BCG＝3，求平行四边形BCEF的周长．

【答案】（1）证明过程见解答；
（2）4+4．
【解答】（1）证明：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵DF＝DE＝EF，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴四边形BCEF是平行四边形；
（2）解：设BG与FC交于点H，

∵G是CE的中点，
∴EC＝2EG＝2CG，
∵四边形BCEF是平行四边形，
∴FB＝EC，EF＝BC，FB∥EC，
设EG＝CG＝x，则FB＝EC＝2x，
∵FB∥EC，
∴△FBH∽△CGH，
∴＝＝＝，
∵FH+HC＝CF＝6，
∴FH＝4，HC＝2，
∵tan∠BCG＝＝3，
∴BG＝3CG＝3x，
∵BH＝2GH，BG＝BH+GH，
∴BH＝2x，GH＝x，
∴GH＝CG＝x，
∵BG⊥CE，
∴△GHC是等腰直角三角形，
∵HC＝2，
∴GH＝CG＝x＝HC＝，
∴FB＝EC＝2x＝2，
在Rt△BCG中，根据勾股定理得：
BC＝＝＝x＝2，
∴平行四边形BCEF的周长＝2（BC+FB）＝2（2+2）＝4+4．
三．四边形综合题（共2小题）
4．（2023•鹿城区一模）根据信息，完成活动任务．
活动一：探究某地正午太阳光下长方体高度与影子的关系．如图1是长方体在正午阳光下投影情况，图2是图1的俯视图，通过实验测得一组数据如表所示：

AB的长（cm）
10
20
30
40
50
BC的长（cm）
15
30
45
60
75
sin∠BCD
0.8
0.8
0.8
0.8
0.8
【任务1】如图2，作BH⊥CD于点H，设BH＝y（cm），AB＝x（cm），求y关于x的函数表达式．
活动二：设计该地房子的数量与层数．
在长方形土地上按图3所示设计n幢房子，已知每幢房子形状、高度相同，可近似看成长方体，图中阴影部分为1号楼的影子，相关数据如图所示．现要求每幢楼层数不超过24，每层楼高度为3米．
【任务2】当1号楼层数为24时，请通过计算说明正午时1号楼的影子是否落在2号楼的墙上．
【任务3】请你按下列要求设计，并完成表格．
（1）所有房子层数总和超过160．
（2）正午时每幢房子的影子不会落在相邻房子的墙上．
方案设计
每幢楼层数
n的值
层数总和
　21　
　8　
　168　
【答案】（1）y关于x的函数表达式：y＝x；
（2）正午时1号楼的影子不落在2号楼的墙上；
（3）21，8，168等．
【解答】解：（1）由表得，BC＝AB＝x，
∵sing∠BCD＝＝，
∴BH＝BC，
∴y＝x
＝x；
（2）如图所示：延长影子，得到▱GLMN，LP交GN于点Q，

∴sin∠LQG＝sin∠MLQ＝sinα＝，
∴tan∠LGQ＝，
∴LQ＝15＝，
∵LP＝12，
∴LQ＜LP，
∴正午时1号楼的影子不落在2号楼的墙上；
（3）见下表：
方案设计1
每幢楼层数
n的值
层数总和
21
8
168

方案设计2
每幢楼层数
n的值
层数总和
22
8
176
故答案为：21，8，168等．
5．（2023•温州一模）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，∠ACB＝30°．P，Q分别是AC，CD上的动点，且满足，E是射线AD上一点，AP＝EP，设DQ＝x，AP＝y．

（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当△PQE中有一条边与AC垂直时，求DQ的长．
（3）如图2，当点Q运动到点C时，点P运动到点F．连结FQ，以FQ，PQ为边作平行四边形PQFG．
①当GF所在直线经过点D时，求平行四边形PQFG的面积；
②当点G在△ABC的内部（不含边界）时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）；
（2）或2；
（3）①，②．
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝4．
∵∠ACB＝30°，AB＝4，
∴AC＝2AB＝8．
∵AP＝y，
∴CP＝8﹣y．
∵，
∴．
∴．

（2）（ⅰ）当PQ⊥AC时，
∵DQ＝x，AP＝y，
∴CQ＝4﹣x，CP＝8﹣Y．
∵，
∴，
解得，即．
（ⅱ）当QE⊥AC时，
延长EQ交AC于点H．
∵AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠ACD＝60°．
∵AP＝PE，
∴∠EPA＝2∠EAC＝60°，
∴△KPC是等边三角形．
∴，
∴．
在Rt△DEK中，，
在Rt△DEQ中，，
∴，即，
解得x＝2，即DQ＝2．

（ⅲ）∵∠AEP＝∠CAD＝30°，
∴∠APE＝120°，
综上，DQ的值为或2；
∴PE不可能垂直于AC．
（3）当x＝4时，，即，
∴．
①在平行四边形PQFG中，DG∥PQ，
∴，即＝，
解得x＝2，
∴CQ＝4﹣2＝2，PF＝FC﹣CP＝．
过点Q作QH⊥PC，则．
∴S平行四边形PQFG＝2S△FQP＝PF•QH＝．

②．
提示：当点G落在AB边上时，

∵FG∥QP，
∴∠GFP＝∠QPF，
∴∠AFG＝∠QPC．
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA．
∵FG＝PQ，
∴△AFG≌△CQP（AAS）．
∴AF＝CP，即，
解得．
当点G落在BC边上时，

作QN∥AD交AC于点N，作NM⊥AD于点M，
则MN＝DQ＝x，QN∥BC，
∴AN＝2x，NF＝．∠QNF＝∠BCP，
∵四边形PQFG是平行四边形，
∴QF＝PG，∠QFP＝∠GPF，
∴∠QFN＝∠GPC，
∴△QNF≌△GCP（AAS），
∴NF＝CP，即，
解得，
∴．
四．垂径定理（共1小题）
6．（2023•文成县一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F为圆上一点，，过点C作CH∥AF交AB于点G，交AD于点H．
（1）求证：CD＝CH；
（2）若CG＝2GH，AB＝10，求AF．

【答案】（1）证明见解析部分；
（2）．
【解答】（1）证明：连接AC．
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴∠FAD＝∠ADC，
∵CH∥AF，
∴∠CHD＝∠FAD，
∴∠CHD＝∠ADC，
∴CH＝CD；

（2）解：过点H作HJ⊥CD于点J．连接BC．

∵＝，
∴＝，
∴AF＝CD，
∵AB⊥CD，JH⊥CD，
∴HJ∥GE，
∵CG＝2GH，
∴＝＝2，
∴CE＝2EJ，
∵AB是直径，AB⊥CD，
∴EC＝ED，
∴EJ＝JD，
∵HJ∥AE，
∴AH＝HD，
∴G是△ACD的重心，
∴AG＝2GE，
设GH＝k，则CG＝2k，CH＝CD＝3k，EC＝ED＝k，
∴EG＝＝k，
∴AG＝k，AE＝k，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠AEC＝∠BEC＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCE，
∴△AEC∽△CEB，
∴EC2＝AE•EB，
∴（k）2＝k（10﹣k），
解得k＝，
∴AF＝CD＝3k＝．
五．圆的综合题（共5小题）
7．（2023•平阳县一模）如图，点O在Rt△ABC的斜边AB上，半圆O切AC于点D，切BC于点E，连接OD，OE，Q为线段BC上一点，QP⊥AB交AB于点P，已知AC＝3，BC＝6，设OP＝x，EQ＝y．
（1）求半圆O的半径和OB的长；
（2）若点Q在线段BE上．①求y关于x的函数表达式；②在OE上取点F（不与点O重合），连接PF，QF，当△PQF为等腰直角三角形时，求所有满足条件x的值；
（3）当PQ经过的中点G时，求QG的长．

【答案】（1）2；2；（2）①y＝x﹣1；②满足条件x的值为或；（3）．
【解答】解：（1）∵半圆O切AC于点D，切BC于点E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∴∠ODC＝∠OEC＝∠DCE＝90°，
∴四边形OECD为矩形，
∵OD＝OE，
∴矩形OECD为正方形，
∴OD＝CD＝CE＝OE，
∴OD∥BC，OE∥AC，
∴∠AOD＝∠B，
∴△AOD∽△ABC，
∴，
∴OD＝2AD，
∴CD＝2AD，
∴CD+AD＝AC＝3，
∴2AD+AD＝3
∴AD＝1，
∴BD＝2，
∴OD＝2，
∴AO＝＝，
∵AB＝＝3，
∴BO＝AB﹣AO＝2．
（2）①∵OP＝x，
∴BP＝BO﹣OP＝2﹣x，
∵EQ＝y，
∴BQ＝BC﹣CE﹣EQ＝6﹣2﹣y＝4﹣y，
∵cos∠B＝＝，
∵PQ⊥AB，
∴＝cos∠B＝，
∴，
∴y＝x﹣1；
②当∠FQP为90°时，如图，
PQ＝tan∠B•BP＝•BP＝•（2﹣x）＝﹣x，
∵FQ⊥PQ，AB⊥PQ，
∴FQ∥AB，
∴∠FQE＝∠B，
∵∠FEQ＝90°，
∴FQ＝＝，
∵FQ＝PQ，
∴﹣x＝，
∴x＝，
如图，当∠PFQ＝90°时，
过F点作FM⊥OP交OP于M点，
∵FQ＝FP，∠PFQ＝90°，
∴FQ＝FP＝PQ，∠FPQ＝∠FQP＝45°，
∴∠FPM＝45°，
∴FM＝PM＝FP＝PQ＝（﹣x）＝x，
∴OM＝OP﹣PM＝OP﹣PQ＝x﹣（﹣x）＝，
∵FM⊥OB，
∴∠FOM+∠OFM＝90°，
∵OE⊥BC，
∴∠FOM+∠B＝90°，
∴∠OFM＝∠B．
∴tan∠OFM＝tan∠B＝．
∵tan∠OFM＝，
∴，
解：x＝．
综上，满足条件x的值为或；
（3）过点G作GH⊥BC于点H，GN⊥OE于点N，连接OG，如图，
∵OE⊥BC，GH⊥BC，GN⊥OE，
∴四边形HGNE为矩形，
∴GH＝EN，HE＝GN．
∵GH⊥BC，
∴∠QGH+∠GQH＝90°，
∵QP⊥AB，
∴∠B+∠GQH＝90°，
∴∠QGH＝∠B，
∴tan∠QGH＝tan∠B＝．
∵tan∠QGH＝，
∴，
设QH＝a，则GH＝2a，QG＝a．
∴EN＝GH＝2a，
∴ON＝OE﹣EN＝2﹣2a．
∵G为的中点，
∴∠GOE＝∠GOD＝∠DOE＝45°，
∴△OGN为等腰直角三角形，
∴ON＝OG，
∴2﹣2a＝2，
∴a＝，
∴QG＝a＝．



8．（2023•鹿城区一模）问题：如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，D在AB延长线上，DE⊥AD于点D，过B，C，D三点的⊙O交DE于点F，连结CD，CF．当△CDF为等腰三角形时，求BD的长．
思路：小明在探索该问题时，发现∠CFD＝∠CBA，于是作CH⊥DF于点H，然后分步求解．
（1）设BD＝x，用x的代数式分别表示CH和FH．

（2）当△CDF为等腰三角形时，求x的值．
请完成上述各步骤的解答．
拓展：小明发现点A关于CD的对称点始终落在⊙O上，于是他设计了如下问题：“当点A关于CD的对称点A'恰为的中点时，求BD的长”，请完成该题的解答．

【答案】（1）CH＝3+x，FH＝（3+x）；（2）x的值为5或或；拓展：4﹣3．
【解答】解：（1）过点C作CH⊥DF于点H，CG⊥AB于点G，如图，
设BD＝x，
∵AC＝BC＝5，AB＝6，CG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝3，
∴CG＝＝4，
∴GD＝3+x．
∵CG⊥AB，FD⊥AB，CH⊥DF，
∴四边形CGDH为矩形，
∴CH＝GD＝3+x，DH＝CG＝4．
∵四边形CBDF为圆的内接四边形，
∴∠CBA＝∠CFD．
∵∠CGB＝∠CHF＝90°，
∴△CGB∽△CHF，
∴，
∴，
∴FH＝（3+x），CF＝（3+x）．
∴用x的代数式分别表示CH＝3+x，FH＝（3+x）；
（2）当△CDF为等腰三角形时，
①当CF＝CD时，
∵CH⊥DF，
∴FH＝DH，
由（1）得：
（3+x）＝4，
∴x＝．
②当CF＝FD时，
∵FH＝（3+x），DH＝4，
∴FD＝（3+x）+4，
∴（3+x）+4＝（3+x）．
解得：x＝5．
③当DF＝CD时，
∵CD2＝CH2+DH2＝（3+x）2+42，
∴，
解得：x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），
∴x＝．
综上，当△CDF为等腰三角形时，x的值为5或或．
拓展：作出点A关于CD的对称点A′，连接A′C，A′F，A′D，如图，
由对称的性质可得：CA＝CA′，∠CDA＝∠CDA′．
∵A'恰为的中点，
∴∠CDA′＝∠FDA′，
∴∠CDA′＝∠FDA′＝∠CDA，
∵DE⊥AD，
∴∠ADE＝90°，
∴∠CDA′＝∠FDA′＝∠CDA＝30°．
点C作CG⊥AB于点G，
∵AC＝BC＝5，AB＝6，CG⊥AB，
∴AG＝BG＝AB＝3，
∴CG＝＝4，
在Rt△CGD中，
∵tan∠CDA＝，
∴，
∴BD＝4﹣3．


9．（2023•龙湾区一模）如图1，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，以AB为直径作半圆O交AD于点E，过点E作⊙O的切线交CD于点G，交BA的延长线于点F．当点P从点G运动至点F时，点Q恰好从点A运动至点B，设AQ＝x，PF＝y．

（1）求证：AF＝DG．
（2）求y关于x的函数表达式．
（3）连结PQ．
①当PQ与△AEB的一边平行时，求x的值．
②如图2，记PQ与BE交于点M，连结MG，BG．若∠EPM＝∠MGB，求△BMQ的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）①1或；②．
【解答】（1）证明：∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°．
∵∠BAD＝60°，
∴．
∵AB＝AD，AB∥CD，
∴．
∴AE＝DE．
∴∠EAF＝∠D，∠EFA＝∠DGE．
∴△AFE≌△DGE（AAS）．
∴AF＝DG；
（2）解：连结OE，

∵FG为⊙O的切线，
∴∠OEF＝90°．
∵∠BAD＝60°，OA＝OE，
∴△AOE为等边三角形，
∴∠OEA＝60°，∠AEF＝30°，
∴∠F＝∠EAB﹣∠AEF＝30°．
∵AB＝4，
∴AE＝AF＝2，．
由（1）得△AFE≌△DGE，
∴EF＝EG，
∴．
∵当点P从点G运动至点F，点Q恰好从点A运动至点B，
∴，
∴，
∴．
（3）解：①当PQ∥AE时，∠AEF＝∠QPF＝∠F，


∴FQ＝QP．
又∵∠F＝30°，
∴，
∴．
∴x＝1．
如图当PQ∥BE时，∠PQF＝∠EBF＝∠F，

∴FP＝QP．
又∵∠F＝30°，
∴，
∴．
∴．
综上所述：x的值为1或．
②过点Q作△BQM的高线QN交EB于点N，
∵BE＝EF＝EG，
∴∠F＝∠EBF，∠EGB＝∠EBG，
∴∠FBG＝90°．
∵∠F＝30°，
∴∠BGF＝60°，
∴△BEG为等边三角形，
∴∠PEM＝∠GBM＝60°，
∵∠EPM＝∠MGB，
∴△EPM∽△BGM，
∴，
∴，
∴，
则．

在Rt△BQN中，∵∠QBN＝30°，BQ＝4﹣x，
∴．
∴．
10．（2023•龙港市一模）如图1，在矩形OABC中，OC＝3OA＝15，对角线AC，OB交于点D，E是AO延长线上一点，连结CE，DE，已知AE＝CE，MN为半圆O的直径，CE切半圆O于点F．
（1）求证：△ADE∽△AOC．
（2）求半圆O的直径．
（3）如图2，动点P在CF上点C出发向终点F匀速运动，同时，动点Q从M出发向终点N匀速运动，且它们恰好同时停止运动．
①当PQ与△ABD的一边平行时，求所有满足条件的MQ的长．
②作点F关于PQ的对称点F'，当点F'落在半圆O上时，直接写出的值．

【答案】（1）见解析；
（2）24；
（3）①或或；②．
【解答】（1）证明：在矩形OABC中，AD＝CD，∠AOC＝90°，
∵AE＝CE，AD＝CD
∴DE是AC的垂直平分线，即ED⊥AC，
∴∠AOC＝∠ADE＝90°，
又∵∠OAC＝∠DAE，
∴△ADE∽△AOC．
（2）解：如图，连结OF，
∵CE切半圆于点F，则∠OFC＝90°，
∵OC＝15，OA＝5，
∴，
∴，
由△ADE∽△AOC，得，
∴AE＝CE＝25，OE＝20，
∴S△COE＝，即：OF＝＝12，
∴半圆O的直径为24．

（3）解：①∵，EF＝16，EM＝8，，
∵P，Q同时出发且同时到达终点，
∴，
∴设CP＝3x，MQ＝8x，EP＝25﹣3x，EQ＝8+8x，
情况1：PQ∥BD，如图，作PR⊥MN于点R，

∴tan∠RQP＝tan∠AOB＝tan∠OAC＝3，
∴PR＝3QR，
∴PR＝EP•sin∠OEC＝，ER＝EP•cos∠OEC＝，
∴，
∴，
解得，
∴．
情况2：PQ∥AD，如图，此时EP＝EQ，则25﹣3x＝8+8x，
∴，
∴．

情况3：PQ∥AB，如图，此时PQ⊥MN，则EP•cos∠OEC＝EQ，
∴，
解得，
∴，
综上所述MQ的长为或或．

②如图，若F'落在半圆O上，由圆的对称性可知，PQ必经过点O，即点Q与点O重合，
此时MQ＝12，，可得，
∴，．
∴．

11．（2023•瓯海区一模）如图1，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，E在△ABP的外接圆上，且位于正方形ABCD的内部，EA＝EP，连结AE，EP．
（1）求证：△PAE是等腰直角三角形．
（2）如图2，连结DE，过点E作EF⊥BC于点F，请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由．
（3）当P是BC的中点时，DE＝2．
①求BC的长．
②若点Q是△ABP外接圆的动点，且位于正方形ABCD的外部，连结AQ．当∠PAQ与△ADE的一个内角相等时，求所有满足条件的AQ的长．


【答案】（1）见解析；
（2）DE＝PF，理由见解析；
（3）①4；
②AQ的长是或6．
【解答】（1）证明：如图1，∵点E在△ABP的外接圆上，
∴∠AEP+∠A＝180°，
∴∠AEP＝90°，
∴∠EAP+∠EPA＝90°．
∵，
∴∠EAP＝∠EPA＝45°，
∴△PAE是等腰直角三角形；
（2）解：DE＝PF，
理由：如图2，延长FE交AD于点H，

∵EF⊥BC，BC∥AD，
∴EH⊥AD，
即∠AHE＝∠EFP＝90°，
∴∠EAH+∠AEH＝90°，
∵∠AEP＝90°，
∴∠PEF+∠AEH＝90°，
∴∠EAH＝∠PEF，
又∵△PAE是等腰直角三角形，
∴EA＝EP，
∴△EAH≌△PEF（AAS），
∴AH＝EF，EH＝PF，
∵AD＝DC＝HF，
∴AH+HD＝EF+HE，
∴HD＝HE＝PF，
∴；
（3）解：①由（2）知．
∵DE＝2，
∴PF＝．
∵P是BC的中点，
∴，
②∵，
∴∠EAD＜∠EDA＝45°＝∠PAE，
∴存在∠PAQ＝∠EDA或∠PAQ＝∠EAD，
当∠PAQ＝∠EDA时，如图3，∠PAQ＝45°＝∠PAE，

∴＝，
∵∠B＝90度，
∴AP是圆的直径，
∴，
∴；
当∠PAQ＝∠EAD时，如图4，连结PQ；

∵AP是圆的直径，
∴∠AQP＝90°＝∠AHE，
∴△APQ∽△AEH，
∴，
∴，
综上所述，AQ的长是或6．