浙江省杭州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（9套）-03解答题（提升题）1

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浙江省杭州市2023年各地区中考数学模拟（一模）试题按题型难易度分层分类汇编（9套）-03解答题（提升题）1
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）
1．（2023•桐庐县一模）已知：一次函数y1＝x﹣2﹣k与反比例函数．
（1）当k＝1时，x取何值时，y1＜y2；（直接写出结果）
（2）请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点．
2．（2023•淳安县一模）已知一次函数y1＝x﹣a+2的图象与反比例函数的图象相交．
（1）判断y2是否经过点（k，1）．
（2）若y1的图象过点（k，1），且2a+k＝5．
①求y2的函数表达式．
②当x＞0时，比较y1，y2的大小．
3．（2023•杭州一模）设函数y1＝k1x+b，函数（k1，k2，b是常数，k1＞0，k2＞0，b＞0）．已知函数y1的图象与y轴交于点A，与函数y2的图象的一个交点为点B（1，m）．
（1）若k2＝3，m＝b+1．
①求函数y1的表达式．
②当2＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
（2）设点A关于x轴的对称点为点C，将点C向左平移2个单位得到点D．若点D恰好也是函数y1，y2图象的交点，试写出k1，k2之间的等量关系，并说明理由．
4．（2023•上城区一模）已知反比例函数（k为常数，k≠0）与正比例函数y2＝x的图象有一个交点为P（3，m）．
（1）求k的值；
（2）将点P向下平移6个单位，再向左平移5个单位后，得点P′，试判断点P′是否在函数y1的图象上，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，利用函数图象直接写出自变量x的取值范围．
5．（2023•西湖区一模）若函数与y2＝3x+k图象有一个交点A的横坐标是﹣2．
（1）求k的值；
（2）若y1与y2图象的另一个交点B的坐标为（m，n），求的值．
二．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
6．（2023•淳安县一模）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．
三．抛物线与x轴的交点（共2小题）
7．（2023•杭州一模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0且m为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若m＜﹣2，判断二次函数图象的顶点位于哪个象限，并说明理由；
（3）若方程mx2﹣4mx﹣4＝0（m≠0）有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求m的取值范围．
8．（2023•桐庐县一模）二次函数y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的图象与y轴的交点为（0，1）．
（1）求a的值．
（2）求二次函数在x轴上截得的线段长的值．
（3）对于任意实数k，规定：当﹣2≤x≤1时，关于x的函数y2＝y1﹣kx的最小值记作：y3．求y3的解析式．
四．二次函数综合题（共1小题）
9．（2023•上城区一模）已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n为常数）．
（1）若二次函数图象经过A（1，0），B（2，0）两点，求二次函数的表达式；
（2）若m+n＝1，试说明该函数图象与x轴必有两个不同的交点；
（3）若m﹣1≤x≤m+k（k＞0）时，函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3k，求k的值．
五．全等三角形的判定与性质（共1小题）
10．（2023•杭州一模）如图，在△ABC中，AC＞AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF＝AC，连接EF．
（1）求证：△AEC≌△AEF．
（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度数．

六．菱形的判定与性质（共1小题）
11．（2023•西湖区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，过点D作AB的垂线交BC于点E，过点A作AF∥BE交ED的延长线于点F，连结AE，BF．
（1）求证：四边形AEBF是菱形．
（2）若sin∠EBF＝，AE＝5，
①求四边形ACBF的周长．
②连结CD，求CD的长．

七．正方形的性质（共1小题）
12．（2023•杭州一模）如图，正方形ABCD，E，F分别在边BC，AB上，BE＝BF，AE，CF交于点P．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若AB＝6，BE＝2，求PC的长．

八．垂径定理（共1小题）
13．（2023•杭州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，以点A为圆心，线段AD的长为半径画弧，与BC边交于点E，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求证：DF＝AB．
（2）连接BF，若BE＝6，CE＝3，求线段BF的长．

九．圆周角定理（共1小题）
14．（2023•临安区一模）如图，⊙O半径为2，弦BC＝3，A是弦BC所对优弧上的一个点，连接CO并延长交⊙O于点M，连结AM，过点B作BE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：BE∥AM．
（2）过点A作AD⊥BC，分别交BE，BC于点H，D．求AH的长．

一十．扇形面积的计算（共1小题）
15．（2023•上城区一模）如图，以等腰△ABC的底边BC为直径作半圆，交AB、AC于点D、E．
（1）证明：；
（2）若∠A＝60°，BC＝2，求阴影部分面积．

一十一．作图—复杂作图（共1小题）
16．（2023•杭州一模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2．
（1）求AB的长；
（2）用尺规作三角形ABC的外接圆（不写作法，保留作图痕迹），并求此外接圆的半径．

一十二．相似三角形的判定与性质（共2小题）
17．（2023•杭州一模）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，点D平分，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）过点D作DG∥AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G．
①若AD＝a，BC＝b，求线段EF的长（用含a，b的代数式表示）．
②若∠ABC＝72°，求证：FG2＝EF•DF．

18．（2023•西湖区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），点D，F分别在边AB和AC上，且满足∠DEF＝∠B．
（1）求证：△BDE∽△CEF．
（2）若BE＝CE，且BD＝6，CF＝4，求的值．

一十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
19．（2023•临安区一模）若小红的眼睛离地面的距离为1.7米，在一处用眼睛看篮球框，测得仰角30°，继续向正前方走1.6米再看篮球框，测得仰角60°，问篮球框距地面的高度是多少米？

一十四．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2023•淳安县一模）千岛湖某学校想知道学生对“大下姜”，“沪马公园”，“月光之恋”等旅游景点的了解程度，随机抽查了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A．不知道，B．了解较少，C．了解较多，D．十分了解．将问卷调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查了多少名学生？
（2）根据调查信息补全条形统计图；
（3）该校共有1800名学生，请你估计“十分了解”的学生共有多少名？
（4）在被调查“十分了解”的学生中，有四名同学普通话较好，他们中有2名男生和2名女生，学校想从这四名同学中任选两名同学，做家乡旅游品牌的宣传员，请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．


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参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）
1．（2023•桐庐县一模）已知：一次函数y1＝x﹣2﹣k与反比例函数．
（1）当k＝1时，x取何值时，y1＜y2；（直接写出结果）
（2）请说明：当k取任何不为0的值时，两个函数图象总有交点．
【答案】（1）当x＜0或1＜x＜2时，y1＜y2；
（2）理由见解答部分．
【解答】解：（1）k＝1时，y1＝x﹣3，y2＝，
由得或，
∴两个函数图象的交点坐标为（1，﹣2）或（2，﹣1）；
图象大致如图：

由图可得：当x＜0或1＜x＜2时，y1＜y2；
（2）由得x﹣2﹣k＝，
∴x2﹣（k+2）x+2k＝0，
关于x的一元二次方程的判别式Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2，
∵（k﹣2）2≥0，
∴Δ≥0，即x2﹣（k+2）x+2k＝0总有实数解，
∴两个函数图象总有交点．
2．（2023•淳安县一模）已知一次函数y1＝x﹣a+2的图象与反比例函数的图象相交．
（1）判断y2是否经过点（k，1）．
（2）若y1的图象过点（k，1），且2a+k＝5．
①求y2的函数表达式．
②当x＞0时，比较y1，y2的大小．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）点（k，1）满足反比例函数的关系式，
因此y2经过点（k，1）．
（2）①把（k，1）代入一次函数y1＝x﹣a+2得，k﹣a+2＝1，
又∵2a+k＝5，
解得：a＝2，k＝1，
∴y2的函数表达式为y2＝．
②由函数的图象可知：当0＜x＜1时，y1＜y2，当x＝1时，y1＝y2，当x＞1时，y1＞y2．
3．（2023•杭州一模）设函数y1＝k1x+b，函数（k1，k2，b是常数，k1＞0，k2＞0，b＞0）．已知函数y1的图象与y轴交于点A，与函数y2的图象的一个交点为点B（1，m）．
（1）若k2＝3，m＝b+1．
①求函数y1的表达式．
②当2＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围．
（2）设点A关于x轴的对称点为点C，将点C向左平移2个单位得到点D．若点D恰好也是函数y1，y2图象的交点，试写出k1，k2之间的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）①y1＝x+2；②0＜x＜1；
（2）k2＝2k1，理由见解析．
【解答】解：（1）①若k2＝3，则函数．
∵点B（1，m）在函数y2的图象上，
∴，
∴B（1，3），b+1＝3，
∴b＝2，
∴函数y1＝k1x+2．
∵点B（1，3）在函数y1的图象上，
∴3＝k1+2，
解得：k1＝1，
∴函数y1的表达式为y1＝x+2；
②根据两函数解析式可画出图象如下，

∵求2＜y1＜y2时，x的取值范围，即求函数y1的图象位于直线y＝2的图象上方时，位于函数y2的图象下方时x的取值范围，
∵由图象可知当0＜x＜1时，函数y1的图象位于直线y＝2的图象上方，位于函数y2的图象下方，
∴当2＜y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜1；
（2）k2＝2k1．
理由：对于y1＝k1x+b，令x＝0，则y1＝b，
∴A（0，b）．
∵点A关于x轴的对称点为点C，
∴C（0，﹣b）．
∵将点C向左平移2个单位得到点D，
∴D（﹣2，﹣b）．
∵点D恰好也是函数y1，y2图象的交点，
∴﹣b＝﹣2k1+b，，
∴k1＝b，k2＝2b，
∴k2＝2k1．
4．（2023•上城区一模）已知反比例函数（k为常数，k≠0）与正比例函数y2＝x的图象有一个交点为P（3，m）．
（1）求k的值；
（2）将点P向下平移6个单位，再向左平移5个单位后，得点P′，试判断点P′是否在函数y1的图象上，并说明理由；
（3）当y1＞y2时，利用函数图象直接写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）k＝9；
（2）点P′不在函数y1的图象上；
（3）x＜﹣3或0＜x＜3．
【解答】解：（1）∵正比例函数y2＝x的图象过交点为P（3，m），
∴m＝3，
∴P（3，3），
∵点P在反比例函数（k为常数，k≠0）的图象上，
∴k＝3×3＝9；
（2）将点P向下平移6个单位，再向左平移5个单位后，得点P′（﹣2，﹣3），
∵﹣2×（﹣3）＝6≠9，
∴点P′不在函数y1的图象上；
（3）由图象可知，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＜﹣3或0＜x＜3．

5．（2023•西湖区一模）若函数与y2＝3x+k图象有一个交点A的横坐标是﹣2．
（1）求k的值；
（2）若y1与y2图象的另一个交点B的坐标为（m，n），求的值．
【答案】（1）k＝4；（2）﹣1．
【解答】解：（1）将点A的横坐标是﹣2代入一次函数得，
y2＝3×（﹣2）+k＝﹣6+k，
再将（﹣2，﹣6+k）代入反比例函数可得，
，
解得：k＝4；
（2）由（1）得，
，y2＝3x+4，
联立可得，
，
解得：，x2＝﹣2，经检验符合题意，
∴，
∵y1与y2图象的另一个交点B的坐标为（m，n），
∴，n＝6，
∴．
二．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）
6．（2023•淳安县一模）设二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）若a＝1，求该函数图象的顶点坐标．
（2）若该二次函数图象经过（﹣1，1），（﹣2，3），（0，﹣2）三个点中的一个点，求该二次函数的表达式．
（3）若二次函数图象经过（x1，y1），（x2，y2）两点，当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，求证：a＜﹣．
【答案】（1）；
（2）y＝﹣2（x+1）2；
（3）见解析．
【解答】解：（1）当a＝1时，二次函数，
∴顶点坐标为；
（2）当x＝﹣1时，y＝0≠1，因此不过（﹣1，1）点，
当x＝﹣2时，y＝（﹣2+1）（﹣2a+2a+2）＝﹣2≠3，因此不过（﹣2，3）点，
故抛物线过点（0，﹣2），代入得，2a+2＝﹣2，
∴a＝﹣2，∴抛物线的关系式为y＝﹣2（x+1）2；
（3）∵二次函数y＝（x+1）（ax+2a+2）（a是常数，a≠0）的图象与x轴交于点（﹣1，0），，0），
∴函数图象的对称轴为直线，
当a＞0时，函数图象开口向上，∵当x1+x2＝2，x1＜x2时，y1＞y2，
∴，
∴，
解得，舍去；
当a＜0时，函数图象开口向下，∵x1＜x2时，y1＞y2，
∴，
∵x1+x2＝2，x1＜x2，
∴x1＜1，
∴，
∴．
故．
三．抛物线与x轴的交点（共2小题）
7．（2023•杭州一模）已知二次函数y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0且m为常数）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．
（1）求点A，B的坐标；
（2）若m＜﹣2，判断二次函数图象的顶点位于哪个象限，并说明理由；
（3）若方程mx2﹣4mx﹣4＝0（m≠0）有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求m的取值范围．
【答案】（1）A（0，﹣4），B（2，0）；
（2）二次函数图象的顶点位于第一象限；
（3）m的取值范围为﹣≤m＜﹣1．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣4mx﹣4（m≠0）与y轴交于点A，
即当x＝0时，y＝﹣4，
∴A（0，﹣4），
∵y＝mx2﹣4mx﹣4＝m（x﹣2）2﹣4m﹣4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2
∴B（2，0）；
（2）∵y＝mx2﹣4mx﹣4的顶点坐标为（2，﹣4﹣4m），
∵m＜﹣2，
∴﹣4﹣4m＞0，
∴二次函数图象的顶点位于第一象限；
（3）∵方程mx2﹣4mx﹣4＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），
∴抛物线y＝mx2﹣4mx﹣4（a≠0）与x轴有两个交点，交点的横坐标都在1，3之间（包括1，3），
∴抛物线开口向下，顶点在第一象限，
∴﹣4m﹣4＞0，解得m＜﹣1，
当x＝1时，y≤0，即m﹣4m﹣4≤0，解得m≥﹣，
∴m的取值范围为﹣≤m＜﹣1．

8．（2023•桐庐县一模）二次函数y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的图象与y轴的交点为（0，1）．
（1）求a的值．
（2）求二次函数在x轴上截得的线段长的值．
（3）对于任意实数k，规定：当﹣2≤x≤1时，关于x的函数y2＝y1﹣kx的最小值记作：y3．求y3的解析式．
【答案】（1）a的值为；
（2）二次函数在x轴上截得的线段长的值为2；
（3）y3的解析式为y3＝．
【解答】解：（1）∵二次函数y1＝a（x﹣2）2﹣2a（a≠0）的图象与y轴的交点为（0，1），
∴1＝a（0﹣2）2﹣2a，
解得a＝，
∴a的值为；
（2）由（1）知，a＝，
∴y1＝（x﹣2）2﹣2×＝（x﹣2）2﹣1，
令y1＝0，则（x﹣2）2﹣1＝0，
解得x1＝2+，x2＝2﹣，
∴|x1﹣x2|＝2，
答：二次函数在x轴上截得的线段长的值为2；
（3）∵y1＝（x﹣2）2﹣1，
∴y2＝y1﹣kx＝（x﹣2）2﹣1﹣kx＝x2﹣（k+2）x+1，
∴对称轴为x＝k+2，
当k+2＜﹣2即k＜﹣4时，当x＝﹣2时，y2有最小值，
∴y3＝×（﹣2）2﹣（k+2）×（﹣2）+1＝2k+7；
当﹣2≤k+2≤1时，即﹣4≤k≤﹣1，当x＝k+2时，y2有最小值，
∴y3＝×（k+2）2﹣（k+2）2+1＝﹣（k+2）2+1；
当k+2＞1即k＞﹣1时，当x＝1时，y2有最小值，
∴y3＝×1﹣（k+2）×1+1＝﹣k﹣．
综上所述，y3的解析式为y3＝．
四．二次函数综合题（共1小题）
9．（2023•上城区一模）已知关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx+n（m，n为常数）．
（1）若二次函数图象经过A（1，0），B（2，0）两点，求二次函数的表达式；
（2）若m+n＝1，试说明该函数图象与x轴必有两个不同的交点；
（3）若m﹣1≤x≤m+k（k＞0）时，函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3k，求k的值．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x﹣2．
（2）见解答．
（3）k＝或3．
【解答】解：（1）将A（1，0），B（2，0）代入y＝﹣x2+2mx+n得，
解得，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2．
（2）若m+n＝1，则n＝1﹣m，
∴y＝﹣x2+2mx+1﹣m，
令0＝﹣x2+2mx+1﹣m，
则Δ＝4m2+4（1﹣m）＝（2m﹣1）2+3＞0，
∴函数图象与x轴有两个不同的交点．
（3）∵y＝﹣x2+2mx+n，
∴抛物线开口象限，对称轴为直线x＝﹣＝m，
将x＝m代入y＝﹣x2+2mx+n得y＝﹣m2+2m2+n＝m2+n，
∴抛物线的顶点坐标为（m，m2+n），
∴m﹣1≤x≤m+k（k＞0）时，函数的最大值为p＝m2+n．
当0＜k＜1时，x＝m﹣1时，函数最小值q＝﹣（m﹣1）2+2m（m﹣1）+n＝m2+n﹣1为最小值，
∴3k＝p﹣q＝m2+n﹣（m2+n﹣1）＝1，
∴k＝．
当k≥1时，x＝m+k时，函数最小值q＝﹣（m+k）2+2m（m+k）+n＝m2﹣k2+n，
∴3k＝p﹣q＝m2+n﹣（m2﹣k2+n）＝k2，
解得k＝0（舍）或k＝3．
综上所述，k＝或3．
五．全等三角形的判定与性质（共1小题）
10．（2023•杭州一模）如图，在△ABC中，AC＞AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上，AF＝AC，连接EF．
（1）求证：△AEC≌△AEF．
（2）若∠AEB＝50°，求∠BEF的度数．

【答案】（1）证明见解析；
（2）80°．
【解答】（1）证明：射线AD平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠FAE，
在△AEC和△AEF中，
，
∴△AEC≌△AEF（SAS）；
（2）解：∵△AEC≌△AEF（SAS），
∴∠C＝∠F，
∵∠AEB＝∠CAE+∠C＝50°，
∴∠FAE+∠F＝50°，
∵∠FAE+∠F+∠AEB+∠BEF＝180°，
∴∠BEF＝80°，
∴∠BEF为80°．
六．菱形的判定与性质（共1小题）
11．（2023•西湖区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，过点D作AB的垂线交BC于点E，过点A作AF∥BE交ED的延长线于点F，连结AE，BF．
（1）求证：四边形AEBF是菱形．
（2）若sin∠EBF＝，AE＝5，
①求四边形ACBF的周长．
②连结CD，求CD的长．

【答案】（1）见解析；
（2）①22；②．
【解答】（1）证明：∵点D为AB的中点，
∴AD＝BD，
∵AF∥BE，
∴∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED，
∴△FAD≌△EBD（AAS），
∴AF＝BE，
∴四边形AEBF是平行四边形．
∵EF⊥AB，
∴四边形AEBF是菱形．
（2）解：①∵四边形AEBF是菱形．
∴AE∥BF，AE＝EB＝BF＝AF＝5，
∴∠AEC＝∠EBF，
∴，
∵∠ACB＝90°，
∴，
∴AC＝4，
∴，
∴四边形ACBF的周长为AC+CE+BE+BF+AF＝22．
②在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴，
∵点D为AB的中点，
∴．
七．正方形的性质（共1小题）
12．（2023•杭州一模）如图，正方形ABCD，E，F分别在边BC，AB上，BE＝BF，AE，CF交于点P．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若AB＝6，BE＝2，求PC的长．

【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）解：过P作PH⊥BC于H，

∵PH∥AB，
∴△PHE∽△ABE，
∴，
设HE＝a，PH＝3a，
∵PH∥BF，
∴△PHC∽△FBC，
∴，
即，
解得：a＝，
∴HE＝，PH＝，
在Rt△PHC中，PC＝
八．垂径定理（共1小题）
13．（2023•杭州一模）如图，在矩形ABCD中，AB＜AD，以点A为圆心，线段AD的长为半径画弧，与BC边交于点E，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）求证：DF＝AB．
（2）连接BF，若BE＝6，CE＝3，求线段BF的长．

【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：连接DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠C＝90°，
由作图可知：AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝∠DEC，
∵DF⊥AE，DC⊥BC，
∴DF＝DC＝AB．

（2）如图，过点B作BG⊥AE，垂足为G，
∵BE＝6，CE＝3，
∴AD＝AE＝BC＝9，
在Rt△DEF和Rt△DEC中，
，
∴Rt△DEF≌Rt△DEC（HL），
∴CE＝EF＝3，
∴AF＝6，
∴，
设AG＝x，则FG＝6﹣x，EG＝9﹣x，
在△ABG和△EBG中，AB2﹣AG2＝BE2﹣EG2，即，
解得：x＝5，即AG＝5，
∴，FG＝1，
∴．

九．圆周角定理（共1小题）
14．（2023•临安区一模）如图，⊙O半径为2，弦BC＝3，A是弦BC所对优弧上的一个点，连接CO并延长交⊙O于点M，连结AM，过点B作BE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：BE∥AM．
（2）过点A作AD⊥BC，分别交BE，BC于点H，D．求AH的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解答】（1）证明：∵MC是圆的直径，
∴∠MAC＝90°，
∴MA⊥AC，
∵BE⊥AC，
∴BE∥MA；
（2）连接MB，
∵MC是圆的直径，
∴∠MBC＝90°，
∴MB⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴BM∥AD，
∵BE∥MA，
∴四边形AMBH是平行四边形，
∴AH＝MB，
∵圆的半径是2，BC＝3，
∴MC＝4，
∴MB＝＝＝，
∴AH＝．

一十．扇形面积的计算（共1小题）
15．（2023•上城区一模）如图，以等腰△ABC的底边BC为直径作半圆，交AB、AC于点D、E．
（1）证明：；
（2）若∠A＝60°，BC＝2，求阴影部分面积．

【答案】（1）见证明：
（2）﹣．
【解答】（1）证明：如图1，连接BE、CD，
∵BC为直径，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∴∠ADC＝∠AEB＝90°，
在△ACD和△ABE中，
，
∴△ACD≌△ABE（AAS），
∴AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE，
∴；
（2）解：如图2，连接OD、OE，
∵等腰△ABC中∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵OB＝OD＝OC＝OE＝1，
∴△BOD和△EOC是等边三角形，
∴∠DOB＝∠EOC＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∴S阴影＝S△ABC﹣S△BOD﹣S△COE﹣S扇形DOE＝﹣2×﹣＝﹣．


一十一．作图—复杂作图（共1小题）
16．（2023•杭州一模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2．
（1）求AB的长；
（2）用尺规作三角形ABC的外接圆（不写作法，保留作图痕迹），并求此外接圆的半径．

【答案】（1）．
（2）画图见解答；2．
【解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，

在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝2，
∴CD＝＝，AD＝AC•cos30°＝＝，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴CD＝BD＝，
∴AB＝AD+BD＝．
（2）如图，⊙O即为所求．
连接OC，OB，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠A＝30°，
∴∠COB＝2∠A＝60°，
∵OB＝OC，
∴△BOC为等边三角形，
∴OC＝BC，
在Rt△BCD中，∠B＝45°，
∴BC＝＝2，
∴OC＝2，
即此外接圆的半径为2．

一十二．相似三角形的判定与性质（共2小题）
17．（2023•杭州一模）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠ACB，点D平分，连接AD，BD，CD．
（1）求证：AB＝CD．
（2）过点D作DG∥AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G．
①若AD＝a，BC＝b，求线段EF的长（用含a，b的代数式表示）．
②若∠ABC＝72°，求证：FG2＝EF•DF．

【答案】（1）证明见解析过程；
（2）①；
②证明见解析过程．
【解答】（1）证明：∵点D平分，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC，
∴2∠CBD＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴AB＝CD；

（2）①解：由（1）可知，AB＝AD＝CD＝a，则，
∴，
∴∠BCD＝∠ABC，
∵DG∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC，
∴∠BCD＝∠DFC，
∴DF＝CD，
∴DF＝AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABFD是菱形，
∴BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴线段EF的长为；

②证明：∵∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∵DG∥AB，
∴∠CEF＝∠CFE＝72°，
∵∠DFC＝∠DCF＝72°，
∴△CEF∽△DCF，
∴，即EF•DF＝CF2，
如图，连接CG，

∴∠DGC＝∠DBC＝36°，
∵∠FCG＝∠DFC﹣∠DGC＝36°，
∴∠DGC＝∠FCG，
∴FG＝CF，
∴FG2＝EF•DF．
18．（2023•西湖区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），点D，F分别在边AB和AC上，且满足∠DEF＝∠B．
（1）求证：△BDE∽△CEF．
（2）若BE＝CE，且BD＝6，CF＝4，求的值．

【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠CED＝∠CEF+∠DEF＝∠B+∠BDE，∠DEF＝∠B，
∴∠CEF＝∠BDE，
∴△BDE∽△CEF；
（2）解：∵△BDE∽△CEF，
∴，
∴BE•CE＝BD•CF，
∵BE＝CE，且BD＝6，CF＝4，
∴BE2＝BD•CF＝24，
∴，
∴．
一十三．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
19．（2023•临安区一模）若小红的眼睛离地面的距离为1.7米，在一处用眼睛看篮球框，测得仰角30°，继续向正前方走1.6米再看篮球框，测得仰角60°，问篮球框距地面的高度是多少米？

【答案】篮球框距地面的高度是（+1.7）米．
【解答】解：如图，过E作EH⊥BD于H，连接AG交EH于F，
则AB＝CD＝FH＝1.7米，AG＝BD＝1.6米，AF∥BH，
∴∠AFE＝90°，
设EF＝x米，
在Rt△AEF中，AF＝＝x米，
在Rt△GEF中，FG＝＝x米，
∵AG＝1.6米，
∴＝1.6，
解得x＝，
∴EH＝EF+FH＝（+1.7）米，
答：篮球框距地面的高度是（+1.7）米．

一十四．列表法与树状图法（共1小题）
20．（2023•淳安县一模）千岛湖某学校想知道学生对“大下姜”，“沪马公园”，“月光之恋”等旅游景点的了解程度，随机抽查了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A．不知道，B．了解较少，C．了解较多，D．十分了解．将问卷调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次调查了多少名学生？
（2）根据调查信息补全条形统计图；
（3）该校共有1800名学生，请你估计“十分了解”的学生共有多少名？
（4）在被调查“十分了解”的学生中，有四名同学普通话较好，他们中有2名男生和2名女生，学校想从这四名同学中任选两名同学，做家乡旅游品牌的宣传员，请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．

【答案】（1）100人；
（2）作图见解析部分；
（3）360人；
（4）所选两人恰好是一男一女的概率为＝．
【解答】解：（1）30÷30%＝100（人），
答：本次调查了100人．
（2）B组人数为：100﹣10﹣30﹣20＝40（人），
补全条形图如图所示：

（3）“十分了解”人数为：1800×＝360（人）；
（4）树状图如下：

共有12种等可能情况，其中被选中的两人恰好是一男一女有8种．
所以，所选两人恰好是一男一女的概率为＝．