备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 平面解析几何 第1节 直线的方程

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第九章 平面解析几何 第1节 直线的方程，共14页。试卷主要包含了直线的斜率，直线方程的五种形式，))，已知点A，B等内容，欢迎下载使用。
考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π).
2.直线的斜率
(1)定义：当直线l的倾斜角α≠eq \f(π,2)时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式
①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1).
②若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝eq \f(y,x).
3.直线方程的五种形式
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( )
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )
(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k1＝－1，k2＝1，k1＜k2.
(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.
(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.
2.(易错题)若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为( )
A.0 B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,2) D.不存在
答案 C
解析 因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α＝eq \f(π,2).
3.(2022·菏泽模拟)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
答案 A
解析 由题意得eq \f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.
4.(2021·兰州模拟)已知直线l过点P(1，3)，且与x轴、y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是( )
A.3x＋y－6＝0 B.x＋3y－10＝0
C.3x－y＝0 D.x－3y＋8＝0
答案 A
解析 设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1(a>0，b>0).
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(3,b)＝1，,\f(1,2)ab＝6，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝6.))
故直线l的方程为eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)＝1，即3x＋y－6＝0.
5.(2021·郑州质检)过点P(2，－3)且倾斜角为45°的直线的方程为__________.
答案 x－y－5＝0
解析 倾斜角45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又经过点P(2，－3)，∴直线方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
6.(易错题)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________.
答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
则eq \f(2,a)＋eq \f(3,a)＝1，解得a＝5.
所以直线方程为x＋y－5＝0.
考点一 直线的倾斜角与斜率
例1 (经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________.
答案 (－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)
解析 法一 设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－eq \r(3)，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).
当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－eq \r(3)].
故斜率的取值范围是(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞).
法二 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1－k)(－eq \r(3)－k)≤0，
即(k－1)(k＋eq \r(3))≥0，解得k≥1或k≤－eq \r(3).
即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞).
迁移 若将例1中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取值范围.
解 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1＋k)(－eq \r(3)＋k)≤0，
即(3k－1)(k－eq \r(3))≤0，解得eq \f(1,3)≤k≤eq \r(3).
即直线l的斜率的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\r(3))).
感悟提升 1.由直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线的倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上并不是单调的.
2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为eq \f(π,2)时，直线斜率不存在.
训练1 (2022·齐齐哈尔调研)已知点(－1，2)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，0))在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，\f(5π,6))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(3π,4)))
答案 D
解析 因为点(－1，2)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，0))在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，所以(－a－2＋1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)a－0＋1))>0，即(a＋1)(a＋eq \r(3))