备战2025年高考数学精品教案第八章平面解析几何第1讲直线的方程（Word版附解析）

这是一份备战2025年高考数学精品教案第八章平面解析几何第1讲直线的方程（Word版附解析），共12页。

学生用书P169
1.直线的倾斜角与斜率
2.直线方程的五种形式
注意 （1）当直线与x轴不垂直时，可设直线方程为y＝kx＋b；当直线与y轴不垂直时，可设直线方程为x＝my＋n.
（2）截距是指直线与坐标轴交点的坐标值，可正，可负，可零.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.直线的倾斜角越大，其斜率越大
B.若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
C.经过定点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k（x－x0）表示
D.截距可以为负值
解析 对于A，倾斜角为钝角的直线的斜率为负值，故A错误；对于B，一条直线的斜率为tan α，此直线的倾斜角不一定为α，如直线y＝x的斜率为tan 5π4，它的倾斜角为π4，B错误；对于C，当经过定点P（x0，y0）的直线与x轴垂直时，斜率不存在，故C错误；对于D，截距可以取正数、负数或零，所以D正确.
2.[易错题]已知直线l：xtan 60°＋y－3＝0，则直线l的倾斜角α为（ C ）
A.30°B.60°C.120°D.150°
解析 ∵xtan 60°＋y－3＝0，∴y＝－xtan 60°＋3＝xtan 120°＋3，故直线l的倾斜角是120°，故选C.
3.倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是（ D ）
A.x－y＋1＝0B.x－y－1＝0C.x＋y－1＝0D.x＋y＋1＝0
解析 ∵直线倾斜角是135°，∴直线的斜率等于－1，∵在y轴上的截距是－1，由直线方程的斜截式得：y＝－1×x－1，即x＋y＋1＝0，故选D.
4.[多选]如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是（ AD ）
A.k1＜k3＜k2B.k3＜k2＜k1
C.α1＜α3＜α2D.α3＜α2＜α1
解析 由题图知，k2＞k3＞0，k1＜0，故π2＞α2＞α3＞0，且α1为钝角，故选AD.
5.[教材改编]经过A（0，3），B（－2，0）两点的直线的方向向量为（1，k），则k的值为 32 .
解析 由题意可得k＝32.
6.[易错题]已知点A（3，4），则经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 4x－3y＝0或x＋y－7＝0 .
解析 设直线在x轴、y轴上的截距均为a.（讨论截距是否为0）
①若a＝0，即直线过点（0，0）及（3，4），
则直线的方程为y＝43x，即4x－3y＝0；
②若a≠0，设所求直线的方程为xa＋ya＝1，
又点（3，4）在直线上，所以3a＋4a＝1，所以a＝7.
所以直线的方程为x＋y－7＝0.
综上可知，所求直线的方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.
学生用书P170
命题点1 直线的倾斜角与斜率
例1 （1）直线2xcs α－y－3＝0（α∈[π6，π3]）的倾斜角的取值范围是（ B ）
A.[π6，π3]B.[π4，π3]C.[π4，π2]D.[π4，2π3]
解析 直线2xcs α－y－3＝0的斜率k＝2cs α，因为α∈[π6，π3]，所以12≤cs α≤32，因此k＝2cs α∈[1，3].设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3].又θ∈[0，π），所以θ∈[π4，π3]，即倾斜角的取值范围是[π4，π3].故选B.
（2）[2022新高考卷Ⅱ]图1是中国古代建筑中的举架结构，AA'，BB'，CC'，DD'是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举.图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中DD1，CC1，BB1，AA1是举，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相邻桁的举步之比分别为DD1OD1＝0.5，CC1DC1＝k1，BB1CB1＝k2，AA1BA1＝k3.已知k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，且直线OA的斜率为0.725，则k3＝（ D ）
图1图2
B.0.8D.0.9
解析 如图，连接OA，延长AA1与x轴交于点A2，则OA2＝4OD1.因为k1，k2，k3成公差为0.1的等差数列，所以k1＝k3－0.2，k2＝k3－0.1，所以tan∠AOA2＝AA2OA2＝0.5OD1＋k1DC1＋k2CB1＋k3BA14OD1＝0.5+k1＋k2＋k34＝0.5+k3－0.2+k3－0.1+k34＝0.725，解得k3＝0.9，故选D.
方法技巧
1.直线斜率的求解方法
（1）定义法：k＝tan α（α为直线的倾斜角，且α≠π2）；（2）公式法：k＝y2－y1x2－x1 （（x1，y1），（x2，y2）为直线上两点，且x1≠x2）.
2.直线斜率与倾斜角之间的关系往往借助正切函数在[0，π）上的图象判断，注意正切函数在[0，π）上不单调，要注意分类讨论.
训练1 （1）已知点A（－1，1），B（1，2），C（0，－1），过点C的直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是（ C ）
A. [－2，3]B. [－2，0）∪（0，3]
C. （－∞，－2]∪[3，＋∞）D.以上都不对
解析 如图所示，∵过点C的直线l与线段AB有公共点，∴直线l的斜率k≥kBC或k≤kAC，又kBC＝2－（－1）1－0＝3，kAC＝1－（－1）－1－0＝－2，∴k≥3或k≤－2，∴直线l的斜率k的取值范围是（－∞，－2]∪[3，＋∞），故选C.
（2）直线x＋（a2＋1）y＋1＝0的倾斜角的取值范围是（ B ）
A.[0，π4]B.[3π4，π）
C.[0，π4]∪（π2，π]D.[π4，π2）∪[3π4，π）
解析 因为a2＋1≠0，所以直线的斜率k＝－1a2+1，设直线的倾斜角为α，则tanα=-1a2+1，所以－1≤tan α＜0，所以3π4≤α＜π，故选B.
命题点2 求直线的方程
例2 （1）已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是（ D ）
A.x＋y－3＝0B.x－3y－2＝0
C.3x－y＋6＝0D.3x＋y－6＝0
解析 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，
直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k'＝tan（α＋π4）＝2+11－2×1＝－3，又由题意得点M（2，0），
所以所求直线方程为y＝－3（x－2），即3x＋y－6＝0，故选D.
（2）已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，当△ABO的面积最小时，直线l的方程为 2x＋3y－12＝0 .
解析 解法一 设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），则直线l的方程为xa＋yb＝1.因为l过点P（3，2），所以3a＋2b＝1.因为1＝3a＋2b≥26ab，整理得ab≥24，所以S△ABO＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b，即a＝6，b＝4时取等号.此时直线l的方程是x6＋y4＝1，即2x+3y-12=0.
解法二 依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0，则直线l的方程为y－2＝k（x－3），则A（3－2k，0），B（0，2－3k），
S△ABO＝12（2－3k）（3－2k）＝12[12＋（－9k）＋4－k]≥12[12＋2（－9k）·4－k ]＝12×12+12=12，
当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23（正值舍去）时，等号成立.
所以所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.
方法技巧
求直线方程的两种方法
训练2 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A（1，2），B（4，7），若点C满足OC＝αOA＋βOB（α，β∈R，且α＋β＝1），则点C的轨迹方程为 5x－3y＋1＝0 .
解析 ∵点C满足OC＝αOA＋βOB（α，β∈R，且α＋β＝1），∴OC=αOA+1－αOB=αOA－OB+OB，∴OC－OB＝α（OA－OB），∴BC＝αBA，由共线向量基本定理可知，A，B，C三点共线，∴点C的轨迹为直线AB，
又A（1，2），B（4，7），∴直线AB的方程为y－27－2＝x－14－1，整理得5x－3y＋1＝0，故点C的轨迹方程为5x－3y＋1＝0.
命题点3 直线方程的综合应用
例3 （1）已知点A（2，5），B（4，1）.若点P（x，y）在线段AB上，则2x－y的最大值为（ C ）
A.－1B.3C.7D.8
解析 依题意得kAB＝5－12－4＝－2，则线段lAB：y－1＝－2（x－4），x∈[2，4]，即y=-2x+9，x∈[2，4]，故2x－y＝2x－（－2x＋9）＝4x－9，x∈[2，4].设h（x）＝4x－9，x∈[2，4]，易知h（x）＝4x－9在[2，4]上单调递增，故当x＝4时，h(x)max =4×4－9=7.
（2）已知直线l的方程为（a＋1）x＋y＋3－a＝0（a∈R），则直线l过定点 （1，
－4） ；若直线l不经过第三象限，则实数a的取值范围是 [3，＋∞） .
解析 直线l：（a＋1）x＋y＋3－a＝0可化为a（x－1）＋x＋y＋3＝0，令x－1=0，x＋y+3=0，解得x=1，y＝－4，∴直线l过定点（1，－4）.∵直线l的方程可化为y=-a+1x+a-3，且直线l不经过第三象限，∴－（a+1）