备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十章 §10.3 二项式定理

这是一份备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第十章 §10.3 二项式定理，共11页。试卷主要包含了二项式定理等内容，欢迎下载使用。
§10.3　二项式定理
考试要求　能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．

知识梳理
1．二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数
C(k＝0,1，…，n)

2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n.
常用结论
1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．C＝C＋C.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　×　)
(2)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b无关．(　√　)
(3)通项公式Tk＋1＝Can－kbk中的a和b不能互换．(　√　)
(4)二项式的展开式中的系数最大项与二项式系数最大项是相同的．(　×　)
教材改编题
1.10的展开式中x2的系数等于(　　)
A．45 B．20 C．－30 D．－90
答案　A
解析　因为展开式的通项为Tk＋1＝＝ ，令－10＋k＝2，得k＝8，所以展开式中x2的系数为(－1)8×C＝45.
2．已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C等于(　　)
A．31 B．32 C．15 D．16
答案　A
解析　逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243，
即3n＝35，所以n＝5，
所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31.
3．若n的展开式中二项式系数之和为64，则展开式的常数项为________．
答案　20
解析　因为二项式系数之和为2n＝64，所以n＝6，则Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，当6－2k＝0，即k＝3时为常数项，T4＝C＝20.

题型一　通项公式的应用
命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1 (1)二项式10的展开式中的常数项是(　　)
A．－45 B．－10 C．45 D．65
答案　C
解析　由二项式定理得Tk＋1＝C10－k(－x2)k＝，令－5＝0得k＝2，所以常数项为(－1)2C＝45.
(2)已知5的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝__________.
答案　±1
解析　5的展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k·k＝.由5－k＝5，得k＝0，由5－k＝2，得k＝2，所以A＝C×(－a)0＝1，B＝C×(－a)2＝10a2，则由1＋10a2＝11，解得a＝±1.

命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
例2 (1)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)
A．56 B．84 C．112 D．168
答案　D
解析　在(1＋x)8的展开式中含x2的项为Cx2＝28x2，(1＋y)4的展开式中含y2的项为Cy2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168.
(2)若6的展开式中x－2的系数为75，则a等于(　　)
A．－3 B．－2 C．2 D．3
答案　A
解析　因为6的展开式的通项为Tk＋1＝C·x6－k·k＝Cx6－2k，令6－2k＝－2，得k＝4，
令6－2k＝0，得k＝3，则6的展开式中x－2的系数为C－aC＝75，解得a＝－3.
思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
跟踪训练1 (1)(2022·新高考全国Ⅰ)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
答案　－28
解析　(x＋y)8展开式的通项为Tk＋1＝Cx8－kyk，k＝0,1，…，7,8.令k＝6，得T6＋1＝Cx2y6；令k＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28.
(2)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________．
答案　16　5
解析　由题意得，(＋x)9的通项公式为Tk＋1＝C()9－k·xk(k＝0,1,2，…，9)．当k＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16.若展开式的系数为有理数，则k＝1,3,5,7,9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5个．

题型二　二项式系数与项的系数问题
命题点1　二项式系数和与系数和
例3 (1)在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)
A．50 B．70 C．90 D．120
答案　C
解析　令x＝1，则n＝4n，所以在n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－k·k＝，令5－k＝2，得k＝2，所以x2的系数为C32＝90.
(2)若(1＋x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a2＋a6＋a8＝________；a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝________.
答案　300　5 120
解析　①由已知得(1＋x)10展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数．
故a2＋a6＋a8＝C＋C＋C＝300.
②对原式两边求导得，10(1＋x)9＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋10a10x9.
令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋10a10＝10×29＝5 120.

命题点2　系数与二项式系数的最值问题
例4 (2023·唐山模拟)下列关于6的展开式的说法中错误的是(　　)
A．常数项为－160
B．第4项的系数最大
C．第4项的二项式系数最大
D．所有项的系数和为1
答案　B
解析　6展开式的通项为Tk＋1＝C·6－k·(－2x)k＝(－2)kC·x2k－6.
对于A，令2k－6＝0，解得k＝3，∴常数项为(－2)3C＝－8×20＝－160，A正确；
对于B，由通项公式知，若要系数最大，k所有可能的取值为0,2,4,6，
∴T1＝x－6，T3＝4Cx－2＝60x－2，T5＝(－2)4Cx2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，
∴展开式第5项的系数最大，B错误；
对于C，展开式共有7项，得第4项的二项式系数最大，C正确；
对于D，令x＝1，则所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确．
思维升华 赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
跟踪训练2 (1)对于6的展开式，下列说法中正确的有(　　)
①所有项的二项式系数和为64；
②所有项的系数和为64；
③常数项为1 215；
④系数最大的项为第3项．
A．①④ B．②④
C．①②③ D．②③④
答案　C
解析　6的展开式中所有项的二项式系数和为26＝64，故①正确；
在6中，令x＝1，得(1－3)6＝64，故②正确；
展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)6－k·k＝(－3)kCx12－3k(0≤k≤6，k∈N)，
令12－3k＝0，得k＝4，所以常数项为(－3)4C＝1 215，故③正确；
由③的分析可知第2,4,6项系数为负值，第1项系数为1，第3项系数为(－3)2C＝135，第5项系数为(－3)4C＝1 215，第7项系数为(－3)6C＝729，则系数最大的项为第5项，故④不正确．
(2)设10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2的值为________．
答案　1
解析　令x＝1有a0＋a1＋…＋a10＝(＋1)10，令x＝－1有a0－a1＋a2－…＋a10＝(－1)10，
故(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2 －(a1＋a3＋a5＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)·(a0－a1＋a2－…＋a10)＝(＋1)10(－1)10＝1.

题型三　二项式定理的综合应用
例5 (1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 023＋a能被13整除，则a等于(　　)
A．0 B．1 C．11 D．12
答案　B
解析　因为a∈Z，且0≤a≤13，
所以512 023＋a＝(52－1)2 023＋a
＝C522 023－C522 022＋C522 021－…＋C52－C＋a，
因为512 023＋a能被13整除，
所以－C＋a＝－1＋a能被13整除，结合选项，
所以a＝1.
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(　　)
A．1.23 B．1.24
C．1.33 D．1.34
答案　D
解析　1.056＝(1＋0.05)6＝C＋C×0.05＋C×0.052＋C×0.053＋…＋C×0.056＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…＋0.056≈1.34.
思维升华 二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
跟踪训练3 (1)设n为奇数，那么11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是(　　)
A．－3 B．2 C．10 D．11
答案　C
解析　11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1＝C·11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11＋C－2＝(11＋1)n－2
＝12n－2＝(13－1)n－2
＝C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13＋(－1)n·C－2，
因为n为奇数，则上式＝
C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－3＝[C·13n－C·13n－1＋…＋(－1)n－1·C·13－13]＋10，
所以11n＋C·11n－1＋C·11n－2＋…＋C·11－1除以13的余数是10.
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(　　)
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
答案　B
解析　0.996＝(1－0.01)6＝C×1－C×0.01＋C×0.012－C×0.013＋…＋C×0.016
＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016
≈0.941.
课时精练

1.5的展开式中x4的系数为(　　)
A．10 B．20 C．40 D．80
答案　C
解析　由题意可得Tk＋1＝C·(x2)5－k·k＝(－1)kC·2k·x10－3k，
令10－3k＝4，则k＝2，
所以所求系数为(－1)2C·22＝40.
2．已知n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n的值为(　　)
A．7 B．8 C．9 D．10
答案　B
解析　n的展开式的通项为Tk＋1＝C2n－kx3n－4k，由题意知，当k＝6时，令3n－4k＝0，得n＝8.
3．(3x＋1)5的展开式中的常数项为(　　)
A．14 B．－14 C．16 D．－16
答案　A
解析　因为在5的展开式中，的系数为C(－1)4＝5，常数项为C(－1)5＝－1，所以(3x＋1)5的展开式中的常数项为5×3＋(－1)＝14.
4．在24的展开式中，x的指数是整数的项数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
答案　D
解析　因为24的展开式的通项公式为Tk＋1＝C()24－kk＝，所以当k＝0,6,12,18,24时，x的指数是整数，故x的指数是整数的有5项．
5．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)
A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680
答案　C
解析　根据题意，奇数项的二项式系数之和也为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120.
6．2 0232 022被2 0222除的余数是(　　)
A．1 B．0 C．2 023 D．2 022
答案　A
解析　因为2 0232 022＝(2 022＋1)2 022＝2 0222 022＋C·2 0222 021＋…＋C·2 0222＋C·2 022＋1＝2 0222 022＋C·2 0222 021＋…＋C·2 0222＋2 0222＋1＝2 0222×(2 0222 020＋C·2 0222 019＋…＋C＋1)＋1，
因此2 0232 022被2 0222除的余数是1.
7．对于二项式6的展开式，下列说法错误的是(　　)
A．常数项是第3项
B．各项的系数和是
C．第4项的二项式系数最大
D．奇数项二项式系数和为32
答案　A
解析　二项式6的展开式通项为Tk＋1＝C·()6－k·k＝.
对于A选项，令＝0，可得k＝3，故常数项是第4项，A错误；
对于B选项，令x＝1，得各项的系数和是6＝，B正确；
对于C选项，展开式共7项，故第4项的二项式系数最大，C正确；
对于D选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D正确．
8．(2023·沧州模拟)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则下列说法中正确的有(　　)
①展开式中所有项的二项式系数和为22 023；
②展开式中系数最大的项为第1 350项；
③a1＋a3＋a5＋…＋a2 023＝；
④＋＋＋…＋＝－1.
A．①② B．②③
C．①④ D．③④
答案　C
解析　易知(1－2x)2 023的展开式中所有项的二项式系数和为22 023，故①正确；
由二项式通项，知Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCxk，所以第1 350项的系数为(－2)1 349C