备战2024年高考数学大一轮复习（人教A版-理）第三章 培优课 §3.4 函数中的构造问题

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函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题．
题型一 导数型构造函数
命题点1 利用f(x)与x构造
例1 (2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)b>c B．c>b>a
C．a>c>b D．c>a>b
答案 B
解析 因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，所以函数f(x)是偶函数，
令g(x)＝xf(x)，则g(x)是奇函数，g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，
由题意知，当x∈(－∞，0]时，f(x)＋xf′(x)1,03e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，
∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞)．
命题点3 利用f(x)与sin x，cs x构造
例3 已知偶函数f(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，其导函数为f′(x)，当0