新高考数学一轮复习讲义 第3章 §3.4　函数中的构造问题　培优课

这是一份新高考数学一轮复习讲义 第3章 §3.4　函数中的构造问题　培优课，共16页。试卷主要包含了揣摩例题，精练习题，加强审题的规范性，重视错题等内容，欢迎下载使用。
课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§3.4 函数中的构造问题
题型一 导数型构造函数
命题点1 利用f(x)与x构造
例1 (2022·湘豫名校联考)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，当x>0时，f′(x)－eq \f(fx,x)>0，若a＝2f(1)，b＝f(2)，c＝4f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，则a，b，c的大小关系是( )
A．c4f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))，即b>a>c.
思维升华 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝eq \f(fx,xn).
跟踪训练1 设f(x)为定义在R上的奇函数，f(－3)＝0.当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，其中f′(x)为f(x)的导函数，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－3)∪(0,3)
B．(－3,0)∪(3，＋∞)
C．(－3,0)∪(0,3)
D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
答案 B
解析 令g(x)＝x2f(x)，x∈R，
当x>0时，g′(x)＝x2f′(x)＋2xf(x)
＝x[xf′(x)＋2f(x)]>0，
即g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(x)为R上的奇函数，
即f(－x)＝－f(x)，
于是得g(－x)＝(－x)2f(－x)＝－g(x)，
则g(x)是奇函数，g(x)在(－∞，0)上单调递增，
又f(－3)＝0，
则g(3)＝－g(－3)＝－[(－3)2f(－3)]＝0，
当x>0时，f(x)>0⇔g(x)>0＝g(3)，得x>3，
当x0⇔g(x)>0＝g(－3)，
得－31，
即F(x)>F(0)，∴x>0，
∴原不等式的解集为(0，＋∞)．
命题点3 利用f(x)与sin x、cs x构造
例3 (多选)(2022·重庆模拟)定义在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cs x·f′(x)＋sin x·f(x)eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))
B.eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))
C．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))>eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))
D.eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))>eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))
答案 CD
解析 构造函数g(x)＝eq \f(fx,cs x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，
即eq \r(2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))>eq \r(3)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4))).
思维升华 函数f(x)与sin x，cs x相结合构造可导函数的几种常见形式
F(x)＝f(x)sin x，
F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x；
F(x)＝eq \f(fx,sin x)，
F′(x)＝eq \f(f′xsin x－fxcs x,sin2x)；
F(x)＝f(x)cs x，
F′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x；
F(x)＝eq \f(fx,cs x)，
F′(x)＝eq \f(f′xcs x＋fxsin x,cs2x).
跟踪训练3 已知R上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)，且当x∈(0，＋∞)时，f′(x)sin x＋f(x)cs xeq \f(\r(2),2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))，
即eq \f(\r(2),2)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))1，
因为f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
所以要使≤f(xa)，只需≤xa，
两边取对数，得eq \f(1,x)≤aln x，
因为x≥e，所以a≥eq \f(1,xln x).
令h(x)＝xln x(x∈[e，＋∞))，
因为h′(x)＝ln x＋1>0，
所以h(x)在[e，＋∞)上单调递增，
所以h(x)min＝h(e)＝e，
所以0φ(0)＝0，
∴a≤1满足条件．
②当a>1时，若01)，
∴g′(a)＝1－(1＋ln a)＝－ln a0时，f(x)≥0，
即x(ex－1)－ax2≥0，
即ex－1－ax≥0，
即ax≤ex－1，
即a≤eq \f(ex－1,x)恒成立，
令h(x)＝eq \f(ex－1,x)(x>0)，
∴h′(x)＝eq \f(exx－1＋1,x2)，
令k(x)＝ex(x－1)＋1(x>0)，
∴k′(x)＝ex·x>0，
∴k(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴k(x)>k(0)＝0，
∴h′(x)>0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
由洛必达法则知，
eq \(lim,\s\d6(x→0)) h(x)＝eq \(lim,\s\d6(x→0)) eq \f(ex－1,x)＝eq \(lim,\s\d6(x→0)) ex＝1，
∴a≤1.故实数a的取值范围是(－∞，1]．
课时精练
1．已知f(x)的定义域为R，f(1)＝2 023，且f′(x)≥6x恒成立，则不等式f(x)>3x2＋2 020的解集为( )
A．(－1,1)
B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 B
解析 令函数g(x)＝f(x)－3x2，
因为g′(x)＝f′(x)－6x≥0，
所以g(x)在R上单调递增．
因为g(1)＝f(1)－3＝2 020，
所以不等式f(x)>3x2＋2 020等价于g(x)>g(1)，所以x>1.
2．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足xf′(x)b>c B．c>a>b
C．b>a>c D．a>c>b
答案 A
解析 设g(x)＝eq \f(fx,x)，
则g′(x)＝eq \f(xf′x－fx,x2)ln 4>1，
∴g(3)c.
3．(2022·青铜峡模拟)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′(x)，若对于任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(0)＝1，则不等式f(x)f′(x)，
∴g′(x)a>c
答案 D
解析 依题意得
a＝ln eq \r(3,3)＝eq \f(ln 3,3)，b＝e－1＝eq \f(ln e,e)，
c＝eq \f(3ln 2,8)＝eq \f(ln 8,8).
令f(x)＝eq \f(ln x,x)(x>0)，
则f′(x)＝eq \f(1－ln x,x2)，易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．
所以f(x)max＝f(e)＝eq \f(1,e)＝b，
且f(3)>f(8)，即a>c，所以b>a>c.
6．(2022·包头质检)若e－2b＋eq \f(1,2)(a－1)2＝e－a＋eq \f(1,2)(2b－1)2，则( )
A．a>2b B．a＝2b
C．ab2
答案 B
解析 设f(x)＝eq \f(1,2)(x－1)2－e－x，
则f′(x)＝x－1＋e－x，设g(x)＝x－1＋e－x，
则g′(x)＝1－e－x＝eq \f(ex－1,ex)，
令g′(x)>0⇒x>0⇒f′(x)在(0，＋∞)上单调递增；
令g′(x)0.
10．(2022·江阴模拟)若x