2025版高考数学全程一轮复习练习第三章一元函数的导数及其应用专题培优课函数中的构造问题

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关键能力·题型剖析
题型一抽象函数的构造
角度一 利用f(x)与x构造
例1
[2024·河南驻马店模拟]已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)的导函数为f′(x)，且xf′(x)－f(x)
C．πf(π)ef(e)
角度二 利用f(x)与ex构造
例2
[2024·河南焦作模拟]已知定义在R上的函数f(x)及其导函数f′(x)满足f′(x)>－f(x)，若f(ln 3)＝，则满足不等式f(x)>的x的取值范围是__________．
题后师说
(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)．
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
巩固训练2
[2024·河北承德模拟]已知函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，都有f′(x)0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式中成立的是( )
A．f(－)f()
C．f(0)0，
且f′(x)·cs x＋f(x)·sin x＝f′(x)·cs x－f(x)·(cs x)′，
∴可构造函数g(x)＝，
则g′(x)＝>0，
∴g(x)为偶函数且在[0，)上单调递增，
∴g(－)＝g()＝＝2f()，
g(－)＝g()＝＝f()，
g()＝＝f()，
由函数单调性可知g()0时，x－>y－，即x－y>，B正确；
对于C，当x>y>0时，若x－y0时，x3>y3，D正确．故选BD.
答案：BD
随堂检测
1．解析：令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0恒成立，故g(x)在R上单调递增．∵a>b，∴g(a)>g(b)，即af(a)>bf(b).故选A.
答案：A
2．解析：构造函数g(x)＝，其中x∈R，则g′(x)＝>0，
所以函数g(x)为R上的增函数，
所以g()