§3.4　函数中的构造问题 课件-2025高考数学一轮复习

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函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.
题型一　利用f(x)与x构造函数
例1　(2023·信阳统考)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，且f(－2)＝0，则不等式 >0的解集是A.(－2,0)∪(0,2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－2,0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(0,2)
因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x).
所以g(x)为奇函数，所以g(－2)＝－g(2).
因为f(－2)＝0，所以g(－2)＝g(2)＝0.
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，
所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，
(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x).
跟踪训练1　(多选)(2023·郴州统考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0恒成立，则A.f(1)<4f(2) B.f(－1)<4f(－2)C.16f(4)<9f(3) D.4f(－2)>9f(－3)
令g(x)＝x2f(x)，∵当x>0时，xf′(x)＋2f(x)>0，∴当x>0时，g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]>0，∴g(x)＝x2f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又f(x)为定义在R上的奇函数，y＝x2为定义在R上的偶函数，
∴g(x)＝x2f(x)为定义在R上的奇函数.∴g(x)是增函数.由g(2)>g(1)，可得4f(2)>f(1)，故A正确；由g(－1)>g(－2)，可得f(－1)>4f(－2)，故B错误；由g(4)>g(3)，可得16f(4)>9f(3)，故C错误；由g(－2)>g(－3)，可得4f(－2)>9f(－3)，故D正确.
题型二　利用f(x)与ex构造函数
例2　(2024·吉安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)2(e－1)C.f(2 023)－ef(2 022)>2(e＋1)D.f(2 023)－ef(2 022)<2(e＋1)
因此函数g(x)是增函数，
整理得f(2 023)－ef(2 022)>2(e－1)，故B正确.
(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x).
跟踪训练2　(2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为___________.
设F(x)＝f(x)·ex，则F′(x)＝f′(x)·ex＋f(x)·ex＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，∴F(x)是增函数.又f(3)＝3，则F(3)＝f(3)·e3＝3e3.∵f(x)>3e3－x等价于f(x)·ex>3e3，即F(x)>F(3)，∴x>3，即所求不等式的解集为(3，＋∞).
题型三　利用f(x)与sin x，cs x构造函数
∵当x∈(0，π)时，f′(x)sin x－f(x)cs x<0，∴在(0，π)上，g′(x)<0，∴函数g(x)在(0，π)上单调递减.∵y＝f(x)，y＝sin x是奇函数，∴函数g(x)是偶函数，
∴函数g(x)在(－π，0)上单调递增.
当x∈(－π，0)时，sin x<0，
函数f(x)与sin x，cs x相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x；
F(x)＝f(x)cs x，
F′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x；
设φ(x)＝f(x)sin x，则φ′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cs x，∴当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)<0，即φ(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为奇函数，∴φ(x)为偶函数，
一、单项选择题1.(2023·济南模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x≥0时，f′(x)－2x>0，且f(1)＝3，则f(x)>x2＋2的解集是A.(－1,0)∪(1，＋∞)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－∞，－1)∪(0,1)
令g(x)＝f(x)－x2，因为f(x)是偶函数，则g(－x)＝f(－x)－(－x)2＝g(x)，所以函数g(x)也是偶函数，g′(x)＝f′(x)－2x，因为当x≥0时，g′(x)＝f′(x)－2x>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，
由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，所以|x|>1，解得x>1或x<－1，所以f(x)>x2＋2的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞).
A.α3>β3 B.α＋β>0C.|α|<|β| D.|α|>|β|
则f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin x＝f(x)，则f(x)为偶函数，又f′(x)＝sin x＋xcs x，
又αsin α－βsin β>0，即f(α)>f( β)，所以|α|>|β|.
3.定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意实数x，有f(x)>f′(x)，且f(x)＋2 024为奇函数，则不等式f(x)＋2 024ex<0的解集是A.(－∞，0) B.(－∞，ln 2 024)C.(0，＋∞) D.(2 024，＋∞)
因为f(x)>f′(x)，所以g′(x)<0，所以g(x)为定义在R上的减函数，因为f(x)＋2 024为奇函数，所以f(0)＋2 024＝0，f(0)＝－2 024，
f(x)＋2 024ex<0，
即g(x)0.
则g′(x)＝f′(x)cs x－f(x)sin x>0，
5.(2024·惠州模拟)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且3f(x)＋f′(x)<0，f(ln 2)＝1，则不等式e3xf(x)>8的解集为A.(－∞，2) B.(－∞，ln 2)C.(ln 2，＋∞) D.(2，＋∞)
令g(x)＝e3xf(x)，函数g(x)的定义域为R，因为3f(x)＋f′(x)<0，所以g′(x)＝[e3xf(x)]′＝e3x[3f(x)＋f′(x)]<0，故g(x)为减函数，又因为f(ln 2)＝1，所以g(ln 2)＝e3ln 2f(ln 2)＝8，所以不等式e3xf(x)>8可化为g(x)>g(ln 2)，所以x8的解集为(－∞，ln 2).
6.已知00C.cs x>sin y D.sin x>sin y
由0所以sin y>sin x>0，
所以cs y>cs(π－x)＝－cs x，所以cs x＋cs y>0.
二、多项选择题7.(2023·福州联考)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－1>0，则下列结论正确的是A.f(2)－ln 2>f(1) 　　B.f(4)－f(2)>ln 2C.f(2)＋ln 2>f(e)＋1 　　D.f(e2)－f(e)>1
构造函数g(x)＝f(x)－ln x，x>0，
因为xf′(x)－1>0，所以g′(x)>0，故g(x)是增函数，由g(2)>g(1)得，f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，即f(2)－ln 2>f(1)，故A正确；由g(4)>g(2)得，f(4)－ln 4>f(2)－ln 2，
即f(4)－f(2)>ln 4－ln 2＝ln 2，故B正确；由g(e)>g(2)得，f(e)－ln e>f(2)－ln 2，即f(e)＋ln 2>f(2)＋1，故C错误；由g(e2)>g(e)得，f(e2)－ln e2>f(e)－ln e，即f(e2)－2>f(e)－1，即f(e2)－f(e)>1，故D正确.
8.(2023·保定模拟)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，导函数为f′(x)，满足xf′(x)－f(x)＝(x－1)ex(e为自然对数的底数)，且f(1)＝0，则A.3f(2)>2f(3)B.f(1)则g(1)＝e＋c＝0，解得c＝－e，
即f(x)＝ex－ex，x>0，令g′(x)>0，则x>1，
故g(x)在(1，＋∞)上单调递增，
则3f(2)<2f(3)，故A错误；令f′(x)＝ex－e>0，得x>1，令f′(x)＝ex－e<0，得0三、填空题9.(2024·晋中统考)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f′(x)，若f(1)＝4，且f′(x)－2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为___________.
令g(x)＝f(x)－x2－3x，则g′(x)＝f′(x)－2x－3<0在R上恒成立，所以g(x)是减函数.又f(2x－3)<2x(2x－3)，即f(2x－3)－(2x－3)2－3(2x－3)<0，又f(1)－12－3×1＝0，即g(2x－3)1，解得x>2，所以不等式f(2x－3)<2x(2x－3)的解集为(2，＋∞).
∵f(x)＜f′(x)tan x，