高三数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用第三课时导数与函数的极值、最大(小)值课件

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考点一　利用导数求函数的极值及极值点1．函数的极值(1)函数的极小值：若函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)__0，右侧f ′(x)__0，则a叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数y＝f (x)的极小值．(2)函数的极大值：若函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)__0，右侧f ′(x)__0，则b叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数y＝f (x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为______，极大值、极小值统称为____．
2．对极值的诠释(1)极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小； (2)函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个； (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值； (4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3．求函数f (x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x); (2)求方程f ′(x)＝0的根； (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格，检查f ′(x)在方程根左、右值的符号，如果左正右负，那么f (x)在这个根处取得______；如果左负右正，那么f (x)在这个根处取得______；如果左、右不改变符号即都为正或都为负，则f (x)在这个根处无极值．
链接·2024高考试题(2024·新课标全国Ⅰ卷)设函数f (x)＝(x－1)2(x－4)，则(　　)A．x＝3是f (x)的极小值点B．当0f (x)
ACD　[对A选项，因为函数f (x)的定义域为R，而f ′(x)＝2(x－1)(x－4)＋(x－1)2＝3(x－1)(x－3)，易知当x∈(1，3)时，f ′(x)<0，当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f ′(x)>0，所以函数f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以x＝3是函数f (x)的极小值点，故A正确；对B选项，当00，所以1>x>x2>0，由A选项可知，函数f (x)在(0，1)上单调递增，所以f (x)>f (x2)，故B错误；对C选项，当1f (2x－1)>f (3)，即－40，所以f (2－x)>f (x)，故D正确．故选ACD.]
(1)①　(2)1　(3)3　[(1)由图象可知，当x∈(－∞，1)时，f ′(x)>0；当x∈(1，2)时， f ′(x)<0；当x∈(2，＋∞)时，f ′(x)>0．所以函数f (x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增．f (x)有两个极值点1和2，且当x＝2时函数取得极小值，当x＝1时，函数取得极大值，故只有①不正确．故答案为：①．
(3)因为f (x)＝x(x－c)2，所以f ′(x)＝(x－c)(3x－c)，又因为函数f (x)＝x(x－c)2在x＝3处有极小值，所以f ′(3)＝(3－c)(9－c)＝0，解得c＝3或c＝9，当c＝3时，f ′(x)＝(x－3)(3x－3)，所以x>3时，f ′(x)>0，10，所以函数f (x)在x＝3处取得极大值，不合题意，舍去，故答案为：3．]
点拨　本例(1)判别f (x0)是极大、极小值的方法：若x0满足f ′(x0)＝0，且在x0的两侧f (x)的导数异号，则x0是f (x)的极值点，f (x0)是极值，并且如果f ′(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f (x)的极大值点，f (x0)是极大值；如果f ′(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f (x)的极小值点，f (x0)是极小值．本例(3)要注意根据极值点处导数为0求解后验证根的合理性．
(1)BD　(2)C　(3)(0，1)　[(1)A．函数y＝f (x)在区间(2，4)内f ′(x)>0，则函数单调递增，故A错误；B．函数y＝f (x)在区间(2，3)的导数f ′(x)>0，则函数y＝f (x)在区间(2，3)上单调递增，故B正确；C．由图象知当x＝－3时，函数f ′(x)取得极小值，但是函数y＝f (x)没有取得极小值，故C错误；D．x＝4时，f ′(x)＝0，当20，函数y＝f (x)单调递增，当x>4时，f ′(x)<0，此时函数y＝f (x)单调递减，则函数y＝f (x)有极大值，x＝4是极大值点，故D正确．故选BD．
链接·2024高考试题(2024·新课标全国Ⅱ卷) (15分)已知函数f (x)＝ex－ax－a3.(1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若f (x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
[解]　(1)当a＝1时，f (x)＝ex－x－1，f ′(x)＝ex－1，可得f (1)＝e－2，f ′(1)＝e－1，即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1，所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0.(2)法一：因为f (x)的定义域为R，且f ′(x)＝ex－a，若a≤0，则f ′(x)>0对任意x∈R恒成立，可知f (x)在R上单调递增，无极值，不合题意；若a>0，令f ′(x)>0，解得x>ln a；
法二：因为f (x)的定义域为R，且f ′(x)＝ex－a，若f (x)有极小值，则f ′(x)＝ex－a有变号零点，令f ′(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a，可知y＝ex的图象与y＝a有交点，则a>0，若a>0，令f ′(x)>0，解得x>ln a；令f ′(x)<0，解得x由题意可得，f (ln a)＝a－a ln a－a3<0，即a2＋ln a－1>0，构建g(a)＝a2＋ln a－1，a>0，因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上均单调递增，所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0，则不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1.所以a的取值范围为(1，＋∞)．
考点二　利用导数求函数的最值1．函数的最大(小)值(1)函数f (x)在区间[a，b]上有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则_______为函数的最小值，_______为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，_______为函数的最小值．
2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的____；(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是____值，最小的一个是____值．
点拨　(1)当a＝0时，求出f (1)与f ′(1)的值，再写出切线方程；(2)由f ′(－1)＝0求出a的值，再通过导函数的符号求出f (x)的单调区间和最值．