高考数学二轮专题学与练 14 直线与圆（考点解读）（含解析）

这是一份高考数学二轮专题学与练 14 直线与圆（考点解读）（含解析），共14页。试卷主要包含了直线方程，圆的方程，圆2＋2＝2的圆心和半径分别是等内容，欢迎下载使用。

专题14 直线与圆

(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．
(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．
(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．

1．直线方程
(1)直线的倾斜角与斜率的关系
倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.
倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．
当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．
当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．
(2)直线方程
名称
方程
适用范围
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
不能表示与x轴垂直的直线
斜截式
y＝kx＋b
不能表示与x轴垂直的直线
两点式
＝
不能表示与坐标轴垂直的直线
截距式
＋＝1
不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
(A2＋B2≠0)
适合所有的直线
(3)两直线的位置关系
位置关系
l1：y＝k1x＋b1
l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行
k1＝k2，且b1≠b2
A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0
相交
k1≠k2特别地，l1⊥l2⇒k1k2＝－1
A1B2≠A2B1特别地，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0
重合
k1＝k2且b1＝b2
A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1＝0
(4)距离公式
①两点P1(x1，y1)，P(x2，y2)间的距离
|P1P2|＝.
②点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝.
2．圆的方程
(1)圆的方程
①标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r.
②一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，圆心坐标为，半径r＝.
(2)点与圆的位置关系
①几何法：利用点到圆心的距离d与半径r的关系判断：d>r⇔点在圆外，d＝r⇔点在圆上；d ②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r2(或0)作比较，大于r2(或0)时，点在圆外；等于r2(或0)时，点在圆上；小于r2(或0)时，点在圆内．
(3)直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如下表.
方法位置关系
几何法：根据d＝与r的大小关系　
代数法：
消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号
相交
d Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
(4)圆与圆的位置关系
表现形式
位置关系
几何表现：圆心距d与r1、r2的关系
代数表现：两圆方程联立组成的方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2| 两组不同实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
【误区警示】
1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．
2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．

高频考点一　直线及其方程
例1. 过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为(　　)
A．2x－3y－1＝0　　　　　 B．2x＋3y－7＝0
C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0
【解析】设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，，把点(2,1)代入可得4＋3＋m＝0，解得m＝－7.故所求直线方程为：2x＋3y－7＝0，故选B.
【答案】B
【举一反三】已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．2或1 D．－2或1
【解析】当a＝0时，直线方程为y＝2，显然不符合题意，当a≠0时，令y＝0时，得到直线在x轴上的截距是，令x＝0时，得到直线在y轴上的截距为2＋a，根据题意得＝2＋a，解得a＝－2或a＝1，故选D.
【答案】D
【变式探究】设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2,0)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)
A．2 B.
C．2 D.
【解析】依据题意作出图象如下：

设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，
则它们的中点坐标为，且|PB|＝|PB1|.
由对称性可得，解得a＝4，b＝2.
所以B1(4,2)．因为|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，|PA|＋|PB|最小．
此时最小值为|AB1|＝＝2.
故选A.
【答案】A
【变式探究】已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是(　　)
A．(0，1) B.
C. D.
【解析】(1)当直线y＝ax＋b与AB、BC相交时(如图①)，由得yE＝，又易知xD＝－，∴|BD|＝1＋，由S△DBE＝××＝得b＝∈.
　　
图①　　　　　　　　图②
(2)当直线y＝ax＋b与AC、BC相交时(如图②)，由S△FCG＝(xG－xF)·|CM|＝得b＝1－∈
(∵0 ∵对于任意的a>0恒成立 ，
∴b∈∩，即b∈.故选B.
【答案】B
高频考点二　两直线的位置关系
例2、已知平行直线，则的距离___________.
【答案】
【解析】利用两平行线间距离公式得.
【举一反三】已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)．若△OAB为直角三角形，则必有(　　)
A．b＝a3 B．b＝a3＋
C．(b－a3)(b－a3－)＝0 D．|b－a3|＋|b－a3－|＝0
【解析】若△OAB为直角三角形，则A＝90°或B＝90°.
当A＝90°时，有b＝a3；
当B＝90°时，有·＝－1，
得b＝a3＋.
故(b－a3)(b－a3－)＝0，选C.
【答案】C
【变式探究】设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0,3x＋2y－2＝0，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×(1－λ)＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验，两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行” 的充分不必要条件，故选A.
【答案】A
【变式探究】设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
【解析】易求定点A(0，0)，B(1，3)．当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.
【答案】5
高频考点三　圆的方程
例3．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)
A．(－2,3)，1　　　　　　 B．(2，－3)，3
C．(－2,3)， D．(2，－3)，
【解析】∵圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝2，∴圆的圆心坐标和半径长分别是(2，－3)，，故选D.
【答案】D
【举一反三】若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为(　　)
A．(x－1)2＋y2＝1 B．x2＋(y＋1)2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．(x＋1)2＋y2＝1
【解析】由题得圆心坐标为(0,1)，所以圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.故选C.
【答案】C
【变式探究】圆的圆心到直线的距离为1，则a=( )
(A) (B) (C) (D)2
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：
，解得，故选A．
【变式探究】一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．
【解析】由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2)，
令y＝0，解得x＝，圆心为，半径为.故圆的标准方程为＋y2＝.
【答案】＋y2＝
高频考点四　直线与圆、圆与圆的位置关系
例4．直线ax－by＝0与圆x2＋y2－ax＋by＝0的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　　 B．相切
C．相离 D．不能确定
【解析】将圆的方程化为标准方程得2＋2＝，
∴圆心坐标为，半径r＝，
∵圆心到直线ax－by＝0的距离d＝＝＝r，则圆与直线的位置关系是相切．故选B.
【答案】B
【举一反三】设直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则a＝(　　)
A．－1或1 B．1或5
C．－1或3 D．3或5
【解析】由题得圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝3，所以圆心为(－1,2)，半径为.所以圆心到直线的距离为＝，∴a＝1或5.故选B.
【答案】B
【变式探究】已知直线l：x－y－a＝0与圆C：(x－3)2＋(y＋)2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝，则实数a的值等于(　　)
A．2或10 B．4或8
C．6±2 D．6±2
【解析】由∠MPN＝可得∠MCN＝2∠MPN＝.
在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝，
可得点C(3，－)到直线MN，即直线l：x－y－a＝0的距离为2sin＝1.
所以＝1，解得a＝4或8.故选B.
【答案】B
【变式探究】过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M、N两点，则|MN|＝(　　)
A．2 B．8 C．4 D．10
【解析】由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)，则·＝3×(－3)＋
(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即AB⊥BC，故过三点A、B、C的圆以AC为直径，得其方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2，所以|MN|＝|y1－y2|＝4，选C.
【答案】C

1.(2019·江苏高考)在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
【答案】4
【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.
由，得，，即切点，
则切点Q到直线的距离为，故答案为4。
2．(2019·北京高考)设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l.则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为__________．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【解析】抛物线y2=4x中，2p=4，p=2，
焦点F(1,0)，准线l的方程为x=-1，
以F为圆心，
且与l相切的圆的方程为 (x-1)2+y2=22,即为(x-1)2+y2=4.
3.(2019·浙江高考)已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则_____，______.
【答案】
【解析】
可知，把代入得，此时.
4.(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为__________．
【答案】
【解析】设圆的方程为，圆经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)，则：
，解得：，则圆的方程为.
5．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C　
【解析】易知d＝＝＝＝ (其中cos φ＝，sin φ＝)，因为－1≤sin(θ－φ)≤1，所以≤d≤，＝1＋，所以当m＝0时，d取得最大值3，故选C。
6. (2018·全国高考)直线与圆交于两点，则________．
【答案】
【解析】根据题意，圆的方程可化为，
所以圆的圆心为，且半径是，
根据点到直线的距离公式可以求得，
结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.
7．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．
【答案】x2＋y2－2x＝0
【解析】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将已知三点的坐标代入方程可得解得所以圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
8. (2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[ ,3] D．[2，3]
【答案】A　
【解析】 圆心(2,0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2,0)，B(0，－2)，所以AB＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2,6]，即△ABP面积的取值范围是[2,6]．
9．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B.[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
【答案】A　
【解析】设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，
可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.
由已知条件可得|AB|＝2，
所以△ABP面积的最大值为|AB|·dmax＝6，
△ABP面积的最小值为|AB|·dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
10．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中，记d为点P(cosθ，sinθ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】解法一：由点到直线的距离公式得d＝，
cosθ－msinθ＝，
令sinα＝，cosα＝，
∴cosθ－msinθ＝sin(α－θ)，
∴d≤＝＝1＋，
∴当m＝0时，dmax＝3，故选C．
解法二：∵cos2θ＋sin2θ＝1，∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，又x－my－2＝0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线，如图，可得点(－1,0)到直线x＝2的距离即为d的最大值．故选C．

1．(2017·北京卷)已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2，0)，O为原点，则·的最大值为________．
【解析】法一　由题意知，＝(2，0)，令P(cos α，sin α)，则＝(cos α＋2，sin α)，
·＝(2，0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，故·的最大值为6.
法二　由题意知，＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，
则·＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，故·的最大值为6.
【答案】6
2.(2017·天津卷)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为____________．
【解析】由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a＞0)，则A(0，a)．
又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a)，由题意得与的夹角为120°，
得cos 120°＝＝－，解得a＝.
所以圆C的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
【答案】(x＋1)2＋(y－)2＝1
1.【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a=( )
(A) (B) (C) (D)2
【答案】A
【解析】圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：
，解得，故选A．
2.【2016高考上海理数】已知平行直线，则的距离___________.
【答案】
【解析】利用两平行线间距离公式得.
3.【2016高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.
【答案】4
【解析】因为，且圆的半径为，所以圆心到直线的距离为，则由，解得，代入直线的方程，得，所以直线的倾斜角为，由平面几何知识知在梯形中，．
4.【2016高考新课标1卷】(本小题满分12分)设圆的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明为定值,并写出点E的轨迹方程；
(II)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.
【答案】(Ⅰ)()(II)
【解析】(Ⅰ)因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
().
(Ⅱ)当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.