（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点35 空间直线、平面垂直的判定及其性质 (含解析)

这是一份（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点35 空间直线、平面垂直的判定及其性质 (含解析)，共5页。试卷主要包含了直线与平面垂直的定义，直线与平面垂直的性质定理，与线面垂直有关的重要结论，两平面垂直的定义，两平面垂直的判定定理，两平面垂直的性质定理等内容，欢迎下载使用。
考点三十五  空间直线、平面垂直的判定及其性质知识梳理1．直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．2.直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．4．与线面垂直有关的重要结论(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线．(2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．5．两平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直．6．两平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．7．两平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．8.空间角(1)直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．当直线与平面垂直时，它们所成的角是直角；当直线在平面内或直线与平面平行时，它们所成的角是0°的角．故线面角θ的范围：θ∈[0，]．                                 (2)二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α­l­β或二面角P­AB­Q．②二面角的平面角如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α­l­β的平面角．设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．当θ＝时，二面角叫做直二面角．                                 9.垂直关系的转化判定定理转化：线线垂直线面垂直面面垂直性质定理转化：面面垂直用图形表示为：同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：线线垂直线面垂直线线平行线面平行典例剖析题型一  垂直问题有关的命题判定例1　(2014·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面________．①                                                                                                                                       若m⊥n，n∥α，则m⊥α②                                                                                                                                       若m∥β，β⊥α则m⊥α③                                                                                                                                       若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α④                                                                                                                                       若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案　③解析  选项①，②，④中m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选③.变式训练  已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；   ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；   ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是________．答案　①④解析　借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n.解题要点  1.对于这类命题的判断问题，借助模型法是常见策略，一般地，对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.2.还可以通过画图判断，作图时仍然遵循先作面后作线的原则，用面衬托线，从而利于判断．题型二  线面垂直的判定与性质例2　如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE，∵N是PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD，且NE＝CD，而AM∥CD，且AM＝AB＝CD，∴NEAM，∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD.而AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE.又AE∥MN，∴MN⊥CD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形．又E为PD的中点，∴AE⊥PD，又由(1)知CD⊥AE，PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.解题要点  利用判定定理证明线面垂直时，必须证明一条直线垂直于平面内的两条相交直线，这里相交必须要体现出来．题型三  面面垂直的判定和性质例3　如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．                              (1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．解析  (1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.(2)设棱锥B­DACC1的体积为V1，AC＝1.由题意得V1＝××1×1＝.又三棱柱ABC­A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.变式训练  如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．                             (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．解析　(1)证明　在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明　取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)解　因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.所以三棱锥E－ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.解题要点　(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．