（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点9 幂函数 (含解析)

考点九  幂函数

知识梳理

1．幂函数的概念

如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．

注意区分幂函数与指数函数：

幂函数的一般形式是y＝xα，幂函数中自变量x处在底数位置，幂指数为常数；

指数函数的一般形式是y＝αx，指数函数中自变量x处在指数位置，底数为常数．

2．五个简单幂函数的图象和性质

(1)图象比较

(2)性质比较

典例剖析

题型一  幂函数的概念

例1　下列函数中是幂函数的是________．

①                                                                        y＝2x ②y＝2x ③y＝x2 ④y＝

答案  ③

解析　根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出y＝x2是幂函数，

y＝2x、y＝2x、y＝不是幂函数．

变式训练  下列函数：①y＝x2+1；②；③y＝2x2；④；⑤，其中幂函数是________．

答案  ②④

解析　根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出②④是幂函数，

例2　已知幂函数f(x)的图象经过(9，3)，则f(2)－f(1)＝________．

答案　

解析　设幂函数f(x)＝xa，它的图象经过(9，3)，

所以3＝9a，∴a＝，幂函数为f(x)＝，

所以f(2)－f(1)＝

变式训练  函数y＝(m2－m+1)是幂函数，且f(－x)＝f(x)，则实数m的值为________．

答案  1

解析  因为函数y＝(m2－m+1)是幂函数，

所以m2－m+1＝1，解得m＝1或m＝0．

因为f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，

当m＝0时，幂函数为y＝x－3．函数表示奇函数，

当m＝1时y＝x－4．函数是偶函数．

解题要点  (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．

(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．

题型二  幂函数的图象

例3　下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　)

答案  ①②③④

解析  图①说明函数定义域为R，有，且观察图象可知图②为，则图①为；又图③中函数定义域为，所以其对应，

综上可知：①②③④.

变式训练  下列命题中正确的是________．

①     幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)

②     若函数f(x)＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增

③     幂函数的图象上的点一定不在第四象限

④     幂函数的图象不可能是直线

答案  ③

解析  幂函数y＝x－1的图象不过点(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，于是①，②都不正确．幂函数y＝x的图象是直线，④不正确．当x>0时，f(x)＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，答案为③．

解题要点  若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.熟记5个简单幂函数的图象是解题的关键．

题型三  幂函数有关的大小比较问题

例4　已知，则a，b，c从小到大用“﹤”号排列为

           ． 

答案　

解析  因为幂函数在单调递增，且，所以，即.又，又因为对数函数在单调递减，所以，因此.

变式训练  设，则的大小关系是________．

答案　a>c>b

解析  因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以.

解题要点  同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性．同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性：若指数大于0，对应的幂函数在上是增函数；若指数小于0，对应的幂函数在上是减函数．若指数和底数都不相同，则可借助中间值0或1比较．