（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点42 椭圆 (含解析)

这是一份（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点42 椭圆 (含解析)，共10页。试卷主要包含了椭圆的概念，椭圆的标准方程和几何性质，点P和椭圆的关系，椭圆中的弦长公式，椭圆中点弦有关的结论，设F1，F2分别是椭圆C，已知椭圆E等内容，欢迎下载使用。
考点四十二 椭圆
知识梳理
1．椭圆的概念
把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．
椭圆定义用集合语言表示如下：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．
在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F1F2|．当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
＋＝1
(a>b>0)
＋＝1
(a>b>0)
图形


性
质
范围
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝∈(0,1)
a，b，c
的关系
c2＝a2－b2
说明：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax2＋By2＝1的形式，其中A，B是不相等的正常数，或设成＋＝1(m2≠n2)的形式．
3．点P(x0，y0)和椭圆的关系
(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔＋1.
3．椭圆的焦点三角形有关结论
椭圆上一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形，与之有关的常用结论有：
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ；(其中，θ＝∠F1PF2)
(3)当P为短轴端点时，θ最大．
(4)S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ＝·b2＝b2tan ＝c·|y0|.
当y0＝±b，即P为短轴端点时，S△PF1F2有最大值为bc.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
4．椭圆中的弦长公式
(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
|AB|＝|x1－x2|＝ |y1－y2|.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.
5．椭圆中点弦有关的结论
AB为椭圆＋＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)．
(1)斜率：k＝－.
(2)弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定值－.
典例剖析
题型一 椭圆的定义和标准方程
例1　(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是________．
(2) 设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2的周长为________．
答案　(1) ＋＝1 (2) 16
解析　(1)由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.
(2) △PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋6＝16.
变式训练 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，
P2(－，－)，则椭圆的方程为________．
答案　＋＝1
解析 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
∵椭圆经过P1，P2两点，∴P1，P2点坐标适合椭圆方程，
则
①②两式联立，解得∴所求椭圆方程为＋＝1.
解题要点 1.求解椭圆标准方程一般用待定系数法，如果能确定焦点位置，则设标准方程为
＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，若焦点位置不明确，可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
2.若P是椭圆上一点，则由椭圆定义可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，从而△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c．
题型二 二次方程表示椭圆的条件
例2　“24时，c＝，由条件知