艺术生高考数学专题讲义：考点35 空间直线、平面垂直的判定及其性质

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点35 空间直线、平面垂直的判定及其性质，共10页。试卷主要包含了直线与平面垂直的定义，直线与平面垂直的性质定理，与线面垂直有关的重要结论，两平面垂直的定义，两平面垂直的判定定理，两平面垂直的性质定理等内容，欢迎下载使用。
考点三十五  空间直线、平面垂直的判定及其性质知识梳理1．直线与平面垂直的定义如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足．结论： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．2.直线与平面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．3．直线与平面垂直的性质定理如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．4．与线面垂直有关的重要结论(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任何一条直线．(2)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．(3)如果一条直线与两个平面都垂直，那么这两个平面平行．(4)过一点有且只有一条直线和已知平面垂直；过一点有且只有一个平面和已知直线垂直．5．两平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是直二面角，我们就说这两个平面互相垂直．6．两平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．7．两平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．8.空间角(1)直线与平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．当直线与平面垂直时，它们所成的角是直角；当直线在平面内或直线与平面平行时，它们所成的角是0°的角．故线面角θ的范围：θ∈[0，]．                                 (2)二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做二面角的面．如图的二面角，可记作：二面角α­l­β或二面角P­AB­Q．②二面角的平面角如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则∠AOB就叫做二面角α­l­β的平面角．设二面角的平面角为θ，则θ∈[0，π]．当θ＝时，二面角叫做直二面角．                                 9.垂直关系的转化判定定理转化：线线垂直线面垂直面面垂直性质定理转化：面面垂直用图形表示为：同时，在平行与垂直之间也存在相互转化，即：线线垂直线面垂直线线平行线面平行典例剖析题型一  垂直问题有关的命题判定例1　(2014·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面________．①                                                                                                                                       若m⊥n，n∥α，则m⊥α②                                                                                                                                       若m∥β，β⊥α则m⊥α③                                                                                                                                       若m⊥β，n⊥β，n⊥α则m⊥α④                                                                                                                                       若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α答案　③解析  选项①，②，④中m均可能与平面α平行、垂直、斜交或在平面α内，故选③.变式训练  已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；   ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；   ④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中所有正确的命题是________．答案　①④解析　借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n.解题要点  1.对于这类命题的判断问题，借助模型法是常见策略，一般地，对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.2.还可以通过画图判断，作图时仍然遵循先作面后作线的原则，用面衬托线，从而利于判断．题型二  线面垂直的判定与性质例2　如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点． (1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE，∵N是PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD，且NE＝CD，而AM∥CD，且AM＝AB＝CD，∴NEAM，∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD.而AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE.又AE∥MN，∴MN⊥CD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形．又E为PD的中点，∴AE⊥PD，又由(1)知CD⊥AE，PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD.又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.解题要点  利用判定定理证明线面垂直时，必须证明一条直线垂直于平面内的两条相交直线，这里相交必须要体现出来．题型三  面面垂直的判定和性质例3　如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．                              (1)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．解析  (1)证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.(2)设棱锥B­DACC1的体积为V1，AC＝1.由题意得V1＝××1×1＝.又三棱柱ABC­A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.变式训练  如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．                             (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求证：C1F∥平面ABE；(3)求三棱锥E－ABC的体积．解析　(1)证明　在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB.又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1，又AB平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.(2)证明　取AB的中点G，连接EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FG∥AC，且FG＝AC.因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F∥平面ABE.(3)解　因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以AB＝＝.所以三棱锥E－ABC的体积V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.解题要点　(1)判定面面垂直的方法：①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．当堂练习1．下列命题中，正确命题个数为________．①如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直．②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．④垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面．⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．答案  4解析  ②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．2．下列命题中正确的是________．①平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β②若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β③若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥β④若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β答案  ③解析  由两个平面垂直的定义知，③正确．3. 在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则下面四个结论中不成立的是________．①BC∥平面PDF   ②DF⊥平面PAE    ③平面PDF⊥平面ABC  ④平面PAE⊥平面ABC答案  ③解析  可画出对应图形，如图所示，则BC∥DF，又DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，∴BC∥平面PDF，故①成立；由AE⊥BC，PE⊥BC，BC∥DF，知DF⊥AE，DF⊥PE，∴DF⊥平面PAE，故②成立；又DF⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面PAE，故④成立．4．平面α⊥平面β，直线a∥α，则________．①a⊥β        ②a∥β       ③a与β相交   ④以上都有可能答案  ④解析  借助长方体，可举例说明①、②、③都有可能成立．5．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面， 给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；       ②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；     ④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.则其中正确命题的序号为________．答案  ①③④解析  ②中可能有m∥β，故②不正确．课后作业一、    填空题1．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为________．①⇒n⊥α；         ②⇒M∥n；③⇒M⊥n;          ④⇒n⊥α．答案  3解析  ①②③正确，④中n与面α可能有：n⊂α或n∥α或相交(包括n⊥α)2．如图，四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的________．答案  ∠PDA解析  ∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影，故∠PDA是PD与平面ABCD所成的角．3．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有________．答案  1个或无数个解析  如果平面内一点与平面外一点的连线与平面垂直，则可以作无数个平面与已知平面垂直，如果两点连线与已知平面不垂直，则只能作一个平面与已知平面垂直．4．在如图所示的四个正方体中，能得出AB⊥CD的是________．①                                                                                               ②           ③                  ④答案  ①解析  ①中，∵CD⊥平面AMB，∴CD⊥AB；②中，AB与CD成60°角；③中，AB与CD成45°角；④中，AB与CD夹角的正切值为．5．已知a，b，c为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c;②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c;③若a∥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的个数为________．答案  1个解析  ①不对，b，c可能异面；②不对，b，c可能平行或异面；③对．6．已知直线m，n和平面α，β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则________．①n⊥β    ②n∥β        ③n⊥α  ④n∥α或n⊂α答案  ④解析  如图所示，图①中n与β相交，②中n⊂β，③中n∥β，n∥α，∴排除选④.7．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是________．①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α    ②若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥α③若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α       ④若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β答案  ③解析  与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故①错；对②，存在n∥α情况，故②错；对④，存在α∥β情况，故④错．由n⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故③正确．8．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则________．①β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直②β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直③β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直④β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直答案  ③解析  当直线m与β相交时β内存在直线与m平行，但可以作直线与m成90°角．9．空间四边形ABCD的四条边相等，则对角线AC与BD的位置关系为________．答案  垂直解析  取AC中点E，连BE、DE．由AB＝BC得AC⊥BE．同理AC⊥DE，所以AC⊥面BED．因此，AC⊥BD．                            10．下列四个命题中，正确的序号有________．①α∥β，β⊥γ，则α⊥γ；     ②α∥β，β∥γ，则α∥γ；③α⊥β，γ⊥β，则α⊥γ；     ④α⊥β，γ⊥β，则α∥γ．答案  ①②解析  ③④不正确，如图所示，α⊥β，γ⊥β，但α，γ相交且不垂直．11．在三棱锥P－ABC中，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则在三棱锥P－ABC的四个面中，互相垂直的面有________对．                                答案  3解析  ∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P， ∴PA⊥平面PBC，又PA⊂平面PAC，PA⊂平面PAB，∴平面PAC⊥平面PBC，平面PAB⊥平面PBC．同理可证平面PAB⊥平面PAC．二、解答题12．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，求证平面PBE⊥平面PAB．证明  如图所示，连接BD，                                 由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．又AB∥CD，所以BE⊥AB．                 又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB．又BE⊂平面PBE， 所以平面PBE⊥平面PAB．13．如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E．求证AE⊥平面PBC．证明  ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC．又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC．而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE．又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC．