艺术生高考数学专题讲义：考点9 幂函数

这是一份艺术生高考数学专题讲义：考点9 幂函数，共8页。试卷主要包含了幂函数的概念，五个简单幂函数的图象和性质，函数表示奇函数，，函数是偶函数等内容，欢迎下载使用。
考点九  幂函数知识梳理 1．幂函数的概念如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．注意区分幂函数与指数函数：幂函数的一般形式是y＝xα，幂函数中自变量x处在底数位置，幂指数为常数；指数函数的一般形式是y＝αx，指数函数中自变量x处在指数位置，底数为常数．2．五个简单幂函数的图象和性质(1)图象比较(2)性质比较       函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝ y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减增增x∈(0，＋∞) 时，减；x∈(－∞，0)时，减 典例剖析题型一  幂函数的概念例1　下列函数中是幂函数的是________．①                                                                        y＝2x ②y＝2x ③y＝x2 ④y＝答案  ③解析　根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出y＝x2是幂函数，y＝2x、y＝2x、y＝不是幂函数．变式训练  下列函数：①y＝x2+1；②；③y＝2x2；④；⑤，其中幂函数是________．答案  ②④解析　根据幂函数的定义y＝xα，α是常数，得出②④是幂函数，例2　已知幂函数f(x)的图象经过(9，3)，则f(2)－f(1)＝________．答案　解析　设幂函数f(x)＝xa，它的图象经过(9，3)，所以3＝9a，∴a＝，幂函数为f(x)＝，所以f(2)－f(1)＝变式训练  函数y＝(m2－m+1)是幂函数，且f(－x)＝f(x)，则实数m的值为________．答案  1解析  因为函数y＝(m2－m+1)是幂函数，所以m2－m+1＝1，解得m＝1或m＝0．因为f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数，当m＝0时，幂函数为y＝x－3．函数表示奇函数，当m＝1时y＝x－4．函数是偶函数．解题要点  (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)若幂函数y＝xα(α∈R)是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．题型二  幂函数的图象例3　下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是(　　)答案  ①②③④解析  图①说明函数定义域为R，有，且观察图象可知图②为，则图①为；又图③中函数定义域为，所以其对应，综上可知：①②③④.变式训练  下列命题中正确的是________．①     幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)②     若函数f(x)＝xn是奇函数，则它在定义域上单调递增③     幂函数的图象上的点一定不在第四象限④     幂函数的图象不可能是直线答案  ③解析  幂函数y＝x－1的图象不过点(0，0)，它在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，于是①，②都不正确．幂函数y＝x的图象是直线，④不正确．当x>0时，f(x)＝xα>0必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，答案为③．解题要点  若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.熟记5个简单幂函数的图象是解题的关键．题型三  幂函数有关的大小比较问题例4　已知，则a，b，c从小到大用“﹤”号排列为           ．  答案　解析  因为幂函数在单调递增，且，所以，即.又，又因为对数函数在单调递减，所以，因此.变式训练  设，则的大小关系是________．答案　a>c>b解析  因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以.解题要点  同底数的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性．同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性：若指数大于0，对应的幂函数在上是增函数；若指数小于0，对应的幂函数在上是减函数．若指数和底数都不相同，则可借助中间值0或1比较．当堂练习1．已知幂函数y＝f(x)的图象过(4，2)点，则＝________．答案　解析　∵已知幂函数y＝xα的图象过点(4，2)，则4α＝2，∴α＝，故函数的解析式为y＝f(x)＝，∴ ＝.2．当x∈(0，+∞)时，幂函数y＝(m2－m－1)x－5m－3为减函数，则实数m的值为________．答案  m＝2 　解析　因为函数y＝(m2－m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，+∞)的减函数，所以解得：m＝2．3. 设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________．答案　a>c>b 解析　∵y＝x (x>0)为增函数，∴a>c.∵y＝x(x∈R)为减函数，∴c>b，∴a>c>b.4．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(4)的值为________．答案  5．若幂函数的图象过点(2，)，则它的单调递增区间是________．答案　(－∞，0)解析　设y＝xa，则＝2a，∴a＝－2，∴y＝x－2.课后作业一、    填空题1．在函数y，y＝2x2，y＝x2+x，y＝1中，幂函数的个数是　     　．答案  1解析  ∵幂函数的定义是“形如y＝xα，α∈R的函数，叫做幂函数”，∴在函数y＝，y＝2x2，y＝x2+x，y＝1中，只有一个y＝＝x－2符合定义，是幂函数；2．已知幂函数f(x)＝xm的图象经过点(4，2)，则f(16)＝　     　．答案  4解析  由于知幂函数f(x)＝xm的图象经过点(4，2)，则有4m＝2，解得m＝，故f(16)＝4．3．若函数是幂函数，则m的值为　     　．答案  －1解析  ∵是幂函数，∴2m+3＝1，∴m＝－1．4．已知幂函数y＝f(x)的图象过(36，6)，则此函数的解析式是　     　．答案　解析  设幂函数y＝f(x)＝xα，由于它的图象过(36，6)，故有36α＝6，α＝，故此函数的解析式是．5．在同一坐标系中，函数的图象可能是　     　．①                        ②                 ③                   ④答案  ④解析  对①，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对②，中中，不符合题意；对③，中中，不符合题意；对④，中中，符合题意.6．设，则的大小关系是　    　     　．答案  解析  由函数的性质得到所以，.7．已知幂函数y＝f(x)的图象过点()，则log4f(2)的值为　     　．答案  解析  由设f(x)＝xa，图象过点()，∴()a＝，解得a＝∴log4f(2)＝．8．对于幂函数f(x)＝xα(α是有理数)给出以下三个命题：① 存在图象关于原点中心对称的幂函数；②                                                                                                                                 存在图象关于y轴轴对称的幂函数；③ 存在图象与直线y＝x不重合，但关于直线y＝x对称的幂函数．其中真命题的是　     　．答案  ③解析  幂函数y＝x3是奇函数，所以，结论①正确；幂函数y＝x2是偶函数，所以，结论②正确； 幂函数y＝的图象关于直线y＝x对称，所以，结论③正确．9．下列函数(1)y＝x3，(2)y＝x2，(3)y＝，(4)y＝ ，在(－∞，0)上是增函数的是　     　．答案  (1)解析  由幂函数的图象和性质得(1)是奇函数，在(－∞，0)上递增．    (2)是偶函数，在(－∞，0)上递减．(3)奇函数，在(－∞，0)上递减．  (4)在(－∞，0)上无意义，故区间(－∞，0)不是函数的单调区间．故答案是(1)．10．函数f(x)＝xn+1恒过一个定点，这个定点坐标是　     　．答案  (1，2)解析  由于函数y＝xn恒过一个定点(1，1)，故函数f(x)＝xn+1恒过一个定点(1，2)，故答案为(1，2)．11．比较大小(填“＞”“＜”或“＝”)：(1)　    　；(2)(－π)3　    　(－3)3．答案  (1)＞    (2)＜解析  (1)因为幂函数y＝x0.5在区间[0，+∞)上是增函数，又＞，所以＞；(2)因为幂函数y＝x3在区间(－∞，+∞)上是增函数，又－π＜－3，所以(－π)3＜(－3)3．二、解答题12．比较大小：(1) ；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.解析  (1)∵y＝x在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，∴；(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，∴(－1.2)3>(－1.25)3；(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1；∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.13．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点A().(1)求实数α的值;(2)求证：f(x)在区间(0，+∞)内是减函数.解析  (1)解：∵ f(x)＝ xα的图象经过点A()，∴()α＝，           即2－α＝，解得α＝－；                                           (2)证明：任取x1，x2∈(0，+∞)，且x1<x2，则                               f(x2)－f(x1)＝.            ∵x2>x1>0，∴x1－x2<0，，于是f(x2)－f(x1)<0.         即f(x2)<f(x1)，所以f(x)＝在区间(0，+∞)内是减函数.