（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点8 对数与对数函数 (含解析)

这是一份（艺术生）高考数学一轮复习讲与练：考点8 对数与对数函数 (含解析)，共8页。试卷主要包含了对数的概念，对数的性质与运算法则，对数函数的图象与性质，·＝________.等内容，欢迎下载使用。
考点八  对数与对数函数知识梳理1．对数的概念如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．(1)    对数式与指数式的互化：ab＝N logaN＝b；(2)    负数和零没有对数；(3)    loga1＝0，logaa＝1．2. 两个重要对数(1)常用对数：以10为底的对数叫常用对数，记作：lg N，常用的两个恒等式：lg10＝1，lg2＋lg5＝1．(2)自然对数：以无理数e＝2.71828…为底的对数叫自然对数，记作：ln N，常用的两个恒等式：ln e＝1 ，ln＝－1．3．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM (n∈R).(2) 对数的重要公式①换底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad.＝N；logaaN＝N (a>0且a≠1)．④logamMn＝logaM.4．对数函数的图象与性质     a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数典例剖析题型一  对数的概念例1　(1)方程log2(3x－1)=3的解是　     　．(2) 已知log3(log2x)=0，那么等于　　．答案  (1)3  (2) 解析  (1)∵log2(3x－1)=3∴3x－1=23=8，解得x=3故答案为：x=3．(2) ∵log3(log2x)=0，∴log2x=1，∴x=2，∴．故答案为：．变式训练  已知，则________.答案 解析　由得，所以，解得，故答案为.题型二  对数化简与求值例2　(1)= _____________.(2) 2log32－log3＋log38－答案　(1)3；   (2) －1解析　(1)原式= (2) 原式＝log34－log3＋log38－3＝log3(4××8)－3＝log39－3＝2－3＝－1．变式训练  (1)lg＋2lg 2－－1＝________.(2) (log32＋log92)·(log43＋log83) ＝________.答案　(1)－1；     (2) .解析　(1)lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 22－2＝lg －2＝1－2＝－1．(2) 原式＝＝＝·＝.解题要点  对数运算中熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．另外要熟记常见的恒等式：lg 5＋lg 2＝1，logambn＝logab，logab＝.题型三  对数值的大小比较例3　比较下列各组数的大小．(1)log3与log5；(2)log1.10.7与log1.20.7.解析  (1)∵log3＜log31＝0，而log5＞log51＝0，∴log3＜log5.(2)∵0＜0.7＜1，1.1＜1.2，∴0＞log0.71.1＞log0.71.2，∴＜，即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.变式训练  已知a＝，b＝log2，c＝log，则a、b、c 的大小关系是______________．答案　c>a>b解析  0<a＝<20＝1，b＝log2<log21＝0，c＝log>log＝1，即0<a<1，b<0，c>1，所以c>a>b.解题要点  对数值比较大小，先看底数是否相同，若底数相同，则根据底数大于1还是小于1，借助对数函数的单调性比较大小；若底数不同，应寻找中间值(常用0，1)进行比较.题型四  对数函数的图象和性质例4　函数f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是________．①                         ②              ③                 ④答案　②解析　由函数f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R.又当x>1时，函数单调递增，所以只有选项②正确．变式训练  函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．答案  (－∞，－1)　(－1，＋∞)解析  作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．解题要点  对数函数的图象一定要分底数大于1还是小于1，若底数大于1，则对数函数y＝logax图象是上升的，若底数小于1，则图象是下降的.在求解对数函数单调区间时，特别要注意的是，不可忽视定义域．当堂练习1．函数f(x)＝的定义域是________.答案  (0,2]解析  由题意得得0<x≤2，∴函数f(x)＝的定义域为(0,2]．2．(log29)·(log34)＝________.答案  4解析  (log29)·(log34)＝×＝×＝4.3. 已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43.6，则______________.答案  a＞c＞b解析  a＝log23.6＝log43.62＝log412.96，y＝log4x(x＞0)是单调增函数，而3.2＜3.6＜12.96，∴a＞c＞b.4．函数f(x)＝ln|x－1|的图象大致是________.①                    ②③           ④答案  ②解析  当x>1时，f(x)＝ln(x－1)，又f(x)的图象关于x＝1对称，故选②.5．＋log3＋log3＝________.答案  解析  原式＝＋log3＝－3＝.课后作业一、    填空题1． 2lg2－lg的值为________．答案　2解析　2lg2－lg＝lg(22÷)＝lg100＝2.2．(2014年天津卷)设a＝log2π，b＝logπ，c＝π－2，则a、b、c的大小关系是________．答案  a>c>b解析  ∵a＝log2π>1，b＝logπ<0,0<c＝<1∴b<c<a.3．(2015陕西理)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N等于________．答案　[0,1]解析　由题意得M＝{0,1}，N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1].4．2log510＋log50.25＝________．答案  0解析  2log510＋log50.25＝log5(100×0.25) ＝log525＝2.5．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a、b、c的大小关系是________．答案  a＞b＞c解析  根据公式变形，a＝＝1＋，b＝＝1＋，c＝＝1＋，因为lg7＞lg5＞lg3，所以＜＜，即c＜b＜a．6．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是________．答案  [，4)解析  y＝lnt是单调递增函数，则只需研究函数t＝4＋3x－x2的单调递减区间，并注意t>0的限制．t＝4＋3x－x2的单调递减区间为[，＋∞)，当x≥4时，t≤0，所以区间[，4)符合题意．7． (2015湖南理)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是________．①     奇函数，且在(0,1)上是增函数②     奇函数，且在(0,1)上是减函数③     偶函数，且在(0,1)上是增函数④     偶函数，且在(0,1)上是减函数答案　①解析　易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln＝ln，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0,1)上是增函数，故选①.8．已知0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbc，则m与n的大小关系是________．答案  m>n解析  ∵0<a<b<1<c，∴logca<logcb<0；∴>，即logac>logbc，∴m>n.9． （2015四川文）lg 0.01＋log216的值是________．答案　2解析　lg 0.01＋log216＝lg ＋log224＝－2＋4＝2.10．函数f(x)＝＋ln(x－1)的定义域是________．答案  解析  由，得1<x≤2，故填.11． （2015安徽文）lg＋2lg 2－－1＝________.答案　－1解析　lg ＋2lg 2－－1＝lg ＋lg 22－2＝lg －2＝1－2＝－1.二、解答题12．求下列各式的值.(1)；(2).解析  (1)原式＝. (2)原式＝ ＝.13．已知函数(1)若m＝1，求函数f(x)的定义域;(2)若函数f(x)在区间上是增函数，求实数m的取值范围．解析  (1)若m＝1，则要使函数有意义，需x2－x－1＞0，解得x∈∴若m＝1，函数f(x)的定义域为．(2)若函数f(x)在区间上是增函数，则y＝x2－mx－m在区间上是减函数且x2－mx－m＞0在区间上恒成立，∴，且，即m≥2－2且m≤2.∴m∈.