(新高考)高考数学一轮复习过关练考点14 正、余弦定理（含解析）

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考点14 正、余弦定理
考纲要求



1. 理解正弦定理,能用正弦定理解三角形 .
2. 理解余弦定理,能用余弦定理解三角形 .
3. 能根据条件,灵活选用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题 . 公式选择得当,方法运用对路是简化问题的必要手段 .
4. 能综合运用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状,证明三角形中边角关系的恒等式;能运用解斜三角形的有关知识,解决简单的实际问题 .
近三年高考情况分析



从近几年高考命题的形式看,本节知识是高考必考内容 .1. 内容上重点为正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式,考题灵活多样 .
2. 题型方面:填空题以考查用正弦、余弦定理解三角形为主,难度不大,解答题有时与其他知识综合命题,最为常见的是与向量相结合 .

考点总结




正、余弦定理和三角形面积公式是本节的重点,利用三角形内角和、边、角之间的关系,三角函数的变形公式去判断三角形的形状,求解三角形,以及利用它们解决一些实际问题 . 特别要注意利用正、余弦定理解三角形时,要注意三角形内角和定理对角的范围的限制
三年高考真题





1、【2018年高考全国Ⅱ理数】在中，，，，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为
所以，故选A.
2、【2018年高考全国Ⅲ理数】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，所以，
由余弦定理，得，因为，所以，故选C.
3、【2020年全国3卷】7.在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，，
根据余弦定理：

可得 ，即
由
故.
故选：A.
4、【2020年全国1卷】.如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.


【答案】
【解析】，，，
由勾股定理得，
同理得，，
在中，，，，
由余弦定理得，
，
在中，，，，
由余弦定理得.
故答案为：.
5、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），
所以，
6、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，
，，所以.
.

7、【2020年北京卷】17.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；
选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .
【解析】选择条件①（Ⅰ）


（Ⅱ）
由正弦定理得：

选择条件②（Ⅰ）

由正弦定理得：
（Ⅱ）

8、【2020年江苏卷】.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求的值；
（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由余弦定理得，所以.
由正弦定理得.
（2）由于，，所以.
由于，所以，所以
所以
.
由于，所以.
所以.

9、【2020年全国2卷】.中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由正弦定理可得：，
，
，
（2）由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
10、【2020年天津卷】.在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，
进而，
所以.
11、【浙江卷】在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【解析】（I）由结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故.
（II）结合(1)的结论有：


.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
12、【2020年山东卷】.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【解析】】解法一：
由可得：，
不妨设，
则：，即.
选择条件①的解析：
据此可得：，，此时.
选择条件②的解析：
据此可得：，
则：，此时：，则：.
选择条件③的解析：
可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵,
∴,
，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;
若选③,与条件矛盾.
13、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知得，
故由正弦定理得．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）由（1）知，
由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故


．
14、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）B=60°；（2）.
【解析】（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，
因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，故0°