(新高考)高考数学一轮复习过关练考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质（含解析）

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考点12   y=Asin(wx+φ)的图像与性质  1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等) 2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ 对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .  1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理    1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 .2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。    1、【2020年江苏卷】.将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.【答案】【解析】当时故答案为：2、【2020年全国1卷】设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点，将它代入函数可得：又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，所以，解得：所以函数的最小正周期为故选：C3、【2020年全国3卷】16.关于函数f（x）=有如下四个命题：①f（x）的图像关于y轴对称．②f（x）的图像关于原点对称．③f（x）的图像关于直线x=对称．④f（x）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．【答案】②③【解析】对于命题①，，，则，所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，，所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，，，则，所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；对于命题④，当时，，则，命题④错误.故答案为：②③.4、【2020年天津卷】8.已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①②③【答案】B【解析】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.故选：B.5、【2020年山东卷】.下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ）A.  B.  C.  D. 【答案】BC【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,当时，，解得：，即函数的解析式为：.而故选：BC.6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又，排除B，C，故选D．7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论：①f(x)是偶函数  ②f(x)在区间（，）单调递增③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④   B．②④C．①④  D．①③【答案】C【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是A．f(x)=|cos2x|     B．f(x)=|sin2x|     C．f(x)=cos|x|      D．f(x)=sin|x|【答案】A【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C；作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，故选A．图1图2图39、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点②在（）有且仅有2个极小值点③在（）单调递增④的取值范围是[)其中所有正确结论的编号是A．①④ B．②③C．①②③ D．①③④【答案】D【解析】①若在上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，在有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，在有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当=sin（）=0时，=kπ（k∈Z），所以，因为在上有5个零点，所以当k=5时，，当k=6时，，解得，故④正确.③函数=sin（）的增区间为：，.取k=0，当时，单调递增区间为，当时，单调递增区间为，综上可得，在单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.10、【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则A．  B．C．  D．【答案】C【解析】∵为奇函数，∴；又∴，又，∴，∴，故选C.11、【2018年高考江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】由题意可得，所以，因为，所以【名师点睛】由对称轴得，再根据限制范围求结果.函数（A>0，ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.12、【2019年高考浙江卷】设函数.（1）已知函数是偶函数，求的值；（2）求函数的值域．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x都有，即，故，所以．又，因此或．（2）．因此，函数的值域是．    题型一   三角函数的性质 1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数，若，(     )A．2 B．-2 C．2019 D．-2019【答案】B【解析】因为，所以，因此函数为奇函数，又，所以.故选B2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数的最小正周期为，且对，恒成立，若函数在上单调递减，则的最大值是（   ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数的最小正周期为，所以，又对任意的，都使得，所以函数在上取得最小值，则，，即，所以，令，解得 ，则函数在上单调递减，故的最大值是.故选B 3、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，则（    ）A．的最小正周期为 B．图象的一条对称轴方程为C．的最小值为 D．的上为增函数【答案】B【解析】，对A，的最小正周期为，故A错误；对B，，图象的一条对称轴方程为，故B正确；对C，的最小值为，故C错误；对D，由，得，则在上先增后减，故D错误．故选：B．4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数的图象关于直线对称，若，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】的图象关于直线对称，，即，，则，，，或，，即，一个为最大值，一个为最小值，则的最小值为，，的最小值为，即的最小值为.故选：．5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数，则下列结论正确的是（    ）A．是的一个周期 B．的图像可由的图像向右平移得到C．的一个零点为 D．的图像关于直线对称【答案】ACD【解析】的最小正周期为，故也是其周期，故A正确；的图像可由的图像向右平移得到，故B错误；，故C正确；，故D正确.故选：ACD6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数，将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则的最小值等于__________.【答案】4【解析】由题得,因为，所以的最小值等于4.故答案为：47、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数的图象关于点对称，则的最小值为_____.【答案】.【解析】由题意可得，求得，
又，则的最小值为，
故答案为：.8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则f(0)的值为________．【答案】. 1【解析】由题意，f＝2sin＝±2，即sin＝±1，又因为－＜φ＜， －<＋φ<，所以＋φ＝，即φ＝，所以f(x)＝2sin，f(0)＝1.9、(2019苏锡常镇调研）函数的图像关于直线对称，则的最小值为       ．【答案】【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令，得，令得，，又因为，所以当时取得最小值为解法2：由条件可得，即，则，，解得，，又因为，所以当时取得最小值为解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！ 10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x＝－π，则φ＝________．【答案】 　【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x＝－π，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ＋，k∈Z，又因为0≤φ<π，所以φ＝.11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点，且相邻两条对称轴间的距离为，则f的值为________．【答案】.　【解析】由相邻两条对称轴间的距离为，知其最小正周期T＝2×＝π，从而得ω＝＝＝2，又f(x)＝2sin(2x＋φ)的图像经过点，所以2sin＝2，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，又因为0<φ<π，所以φ＝，故f(x)＝2sin，即有f＝2sin＝.题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数的图象，只需把函数的图象（   ）A．向左平移个单位 B．向左平移单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】A【解析】不妨设函数的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数的图象．于是，函数平移个单位后得到函数，，即，所以有，，取，．答案为A．2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线，则（    ）A．1 B．-1 C． D．【答案】D【解析】把的图象向左平移个单位长度，得的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得图象的函数式为，，∴，∴．故选：D.3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则a的值可以为（  ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，，其图像向左平移a个单位得到函数，而函数，所以有，取得.答案选C. 4、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x＝对称，则函数f(x)的解析式为（   ）A．f(x)＝sin(2x＋) B．f(x)＝sin(2x－)C．f(x)＝sin(2x＋) D．f(x)＝sin(2x－)【答案】D【解析】因为函数的最小正周期是，所以，解得，所以，将该函数的图像向右平移个单位后，得到图像所对应的函数解析式为，由此函数图像关于直线对称，得：，即，取，得，满足，所以函数的解析式为，故选D.5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数的描述正确的是（    ）A．其图象可由的图象向左平移个单位得到B．在单调递增C．在有2个零点D．在的最小值为【答案】ACD【解析】由题：，由的图象向左平移个单位，得到，所以选项A正确；令，得其增区间为在单调递增，在单调递减，所以选项B不正确；解，得：，，所以取，所以选项C正确；，，所以选项D正确.故选：ACD6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则下列判断正确的是（    ）A．函数在区间上单调递增B．函数图象关于直线对称C．函数在区间上单调递减D．函数图象关于点对称【答案】ABD【解析】函数的图像向右平移个单位长度得到.由于，故是的对称轴，B选项正确.由于，故是的对称中心，D选项正确.由，解得，即在区间上递增，故A选项正确、C选项错误.故选：ABD. 7、(2019无锡期末） 已知直线y＝a(x＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cosx|的图像恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4), 其中 x1<x2<x3<x4，则x4＋＝________．【答案】－2　【解析】根据图形可得直线y＝a(x＋2)与函数y＝－cosx的图像相切于点(x4，－cosx4)，其中x4∈.因为y＝sinx，由导数的几何意义可得a＝sinx4＝，化简得x4＋＝－2.8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数（）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为______.【答案】【解析】将函数f（x）＝sin（ωx）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，可得函数y＝sin（ωx）的图象，再根据所得图象关于直线x＝π对称，可得ωπkπ，k∈Z，∴当k＝0时，ω取得最小值为，故答案为． 题型三  三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数的图象过点，则(     )A．把的图象向右平移个单位得到函数的图象B．函数在区间上单调递减C．函数在区间内有五个零点D．函数在区间上的最小值为1【答案】D【解析】因为函数的图象过点，所以，因此，所以，因此；A选项，把的图象向右平移个单位得到函数的图象，故A错；B选项，由得，即函数的单调递减区间是：，故B错；C选项，由得，即，因此，所以，共四个零点，故C错；D选项，因为，所以，因此，所以，即的最小值为1，故D正确；故选：D.2、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知（）过点，且当时，函数取得最大值1.（1）将函数的图象向右平移个单位得到函数，求函数的表达式；（2）在（1）的条件下，函数，求在上的值域.【答案】(1)；(2).【解析】 (1)由函数取得最大值1，可得,函数过得，，∵，∴，.(2) ，，，值域为.