(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习17《正、余弦定理及解三角形》(含详解)

这是一份(通用版)高考数学(理数)一轮复习考点梳理与过关练习17《正、余弦定理及解三角形》(含详解)，共49页。试卷主要包含了正弦定理和余弦定理，应用，解决的问题等内容，欢迎下载使用。
考点17 正、余弦定理及解三角形
1．正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2．应用
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

一、正弦定理
1．正弦定理
在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立．
2．常见变形
（1）
（2）
（3）
（4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.
3．解决的问题
（1）已知两角和任意一边，求其他的边和角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
4．在中，已知，和时，三角形解的情况

二、余弦定理
1．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
2．余弦定理的推论
从余弦定理，可以得到它的推论：
.
3．解决的问题
（1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角．
4．利用余弦定理解三角形的步骤

三、解三角形的实际应用
1．三角形的面积公式
设的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.
（1） (h为BC边上的高)；
（2）；
（3）(为三角形的内切圆半径)．
2．三角形的高的公式
hA=bsinC=csinB，hB=csinA=asinC，hC=asinB=bsinA．
3．测量中的术语
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．

（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角
相对于某一正方向的水平角.
①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；
②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；
③南偏西等其他方向角类似．

（4）坡角与坡度
①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；
②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
4．解三角形实际应用题的步骤


考向一 利用正、余弦定理解三角形
利用正、余弦定理求边和角的方法：
（1）根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形，并在图形中标出相关的位置．
（2）选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.
（3）在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用．
常见结论：
（1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等．
（2）三角形中的三角函数关系：
； ；
； .

典例1 在中，内角所对的边分别为，若，，则的值为
A．1 B．
C． D．
【答案】D
【解析】由，结合正弦定理，可得，
即，
由于，所以，
因为0＜A＜π，所以．
又，由余弦定理可得，
即，所以.
故选D．
典例2 已知的内角的对边分别为,且.
（1）求；
（2）若,线段的垂直平分线交于点,求的长.
【解析】（1）因为 ,所以.
由余弦定理得 ，
又，所以.
（2）由（1）知,
根据余弦定理可得，
所以.
由正弦定理得，即，解得.
从而.
设的中垂线交于点,
因为在中，，
所以，
因为为线段的中垂线，所以.

1．已知的内角的对边分别为,且，，则
A． B．
C． D．
2．在中，是上的点，平分，.
（1）求；
（2）若，求的长．
考向二 三角形形状的判断
利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路：
（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
提醒：在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免造成漏解.

典例3 在中，角所对的边分别是，满足，且成等比数列.
（1）求角的大小；
（2）若,试判断三角形的形状.
【解析】（1）已知,∵，,
又,，即，
而成等比数列，所以不是最大，
故为锐角，所以.
（2）由,得,
利用正弦定理可得,
又因为,所以,
所以是等边三角形.

3．在中，内角所对的边分别是，已知．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若是钝角三角形，且面积为，求的值．
考向三 与面积、范围有关的问题
（1）求三角形面积的方法
①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
（2）三角形中，已知面积求边、角的方法
三角形面积公式中含有两边及其夹角，故根据题目的特点，若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解；若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．

典例4 在中，角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值．
【解析】（1）由已知和正弦定理得，
，
，解得．
（2）由余弦定理得：，即，
整理得：．
∵（当且仅当取等号），∴，即，
，
故面积的最大值为．
【名师点睛】在解决三角形问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.
典例5 在中，，是边上的一点.
（1）若，求的长；
（2）若，求周长的取值范围.
【解析】（1）在中，AD＝1，，
所以＝cos∠DAC＝1×2×cos∠DAC＝3,
所以cos∠DAC＝.
由余弦定理得＝12＋1－2×2×1×＝7，
所以CD＝.
（2）在中，由正弦定理得，
，
.
，故周长的取值范围为 .

4．在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，求及的面积．
5．已知分别是三个内角所对的边，且.
（1）求；
（2）若，求的周长的取值范围.
考向四 三角形中的几何计算
几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.

典例6 如图，在中，为边上一点，且，已知，.

（1）若是锐角三角形，，求角的大小；
（2）若的面积为，求的长.
【解析】（1）在中，，，，
由正弦定理得，
解得，
所以或.
因为是锐角三角形，所以.
又，所以.
（2）由题意可得，解得，
由余弦定理得，解得，
则.
所以的长为.

6．如图，在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosB+b=2c.

（1）求角A的大小；
（2）若AC边上的中线BD的长为，且AB⊥BD，求BC的长．
考向五 解三角形的实际应用
解三角形应用题的两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
研究测量距离问题是高考中的常考内容，既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般适中，属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解.

典例7 如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得山顶在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，测得山顶位于北偏东方向上，此时测得山顶的仰角为，若山高为千米，
（1）船的航行速度是每小时多少千米？
（2）若该船继续航行分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向？

【解析】（1）在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
故船的航行速度是每小时千米.
（2）在中，由余弦定理得，
在中，由正弦定理得,
所以山顶位于处南偏东方向.

7．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点，之间的距离，她在西江南岸找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；并测量得到数据：，，，，，百米．

（1）求的面积；
（2）求，之间的距离的平方．
考向六 三角形中的综合问题
1．解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与三角形的面积公式，建立如“”之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查相关范围问题.
2．注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起来，既考查解三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考查相关性质等.
3．正、余弦定理也可能结合平面向量及不等式考查面积的最值或求面积，此时注意应用平面向量的数量积或基本不等式进行求解.

典例8 在中，已知，向量，，且.
（1）求A的值；
（2）若点D在边BC上，且，，求的面积．
【解析】（1）由题意知，
又，，所以，
即，即.
又，所以，
所以，即.
（2）设，
由，得，
由（1）知，所以,.
在中，由余弦定理，得，解得，
所以，
所以.
典例9 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
（1）若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
（2）若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．
【解析】（1）因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b.
由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.
因为sin B＝sin[－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
所以sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
（2）因为a，b，c成等比数列，所以b2＝ac.
由余弦定理得cos B＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时等号成立．
所以cos B的最小值为.

8．已知，设．
（1）求的解析式并求出它的最小正周期；
（2）在中，角所对的边分别为，且，求的面积．


1．设的内角所对边的长分别是，且，，，则的值为
A． B．4
C． D．
2．在中，，，则角的取值范围是
A． B．
C． D．
3．已知的面积为，三个内角的对边分别为，若，，则是
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
4．中，，，，则边上的高等于
A． B．
C． D．3
5．一船以每小时15km的速度向东航行，船在处看到一个灯塔在北偏东，行驶4h后，船到达处，看到这个灯塔在北偏东，这时船与灯塔的距离为
A．km B．km
C．km D．km
6．已知的面积为，，则的最小值为
A． B．
C． D．
7．设的三个内角所对的边分别为，如果，且，那么外接圆的半径为
A．2 B．4
C． D．1
8． 中，角，，的对边分别为，，，若，，且，则的面积为
A．2 B．3
C．4 D．
9．在中，角，，所对的边分别是，，，若向量，，且，则角
A． B．
C． D．
10．若的三个内角所对的边分别是，，且，则
A．10 B．8
C．7 D．4
11．在中，，，分别为角，，的对边，若的面积为，且，则
A．1 B．
C． D．
12．平面四边形中，，，，，，则四边形的面积为
A． B．
C． D．
13．已知外接圆的半径为，内角，，对应的边分别为，，，若，，则的值为____________．
14．在中，D为BC边上一点，若是等边三角形，且，则的面积的最大值为 .
15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度___________m.

16．已知的内角的对边分别为，若，则的取值范围为__________.
17．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．
（1）求；
（2）求的值．












18．在中，角所对的边分别为，已知，.
（1）求的值；
（2）若，求周长的取值范围.












19．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的值．









20．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西方向的B处，且与岛屿A相距18海里，渔船乙以15海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上，此时到达C处．
（1）求渔船甲的速度；
（2）求的值．






21．在中，的对边分别为，且成等差数列．
（1）求的值；
（2）求的范围．











22．已知函数
（1）当时，求的值域；
（2）在中，若求的面积.











23．如图所示，在平面内，四边形的对角线交点位于四边形的内部，，，记．

（1）若，求对角线的长度
（2）当变化时，求对角线长度的最大值．




















1．（2017山东理科）在中，角A，B，C的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是
A． B．
C． D．
2．（2018新课标全国Ⅱ理科）在中，，，，则
A． B．
C． D．
3．（2018新课标全国Ⅲ理科）的内角的对边分别为，，，若的面积为，则
A． B．
C． D．
4．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）的内角的对边分别为.若，则的面积为_________．
5．（2019年高考浙江卷）在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．
6．（2018年高考浙江卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．
7．（2017浙江）已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．
8．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．












9．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若为锐角三角形，且c=1，求面积的取值范围．












10．（2019年高考北京卷理数）在中，a=3，b−c=2，cosB=．
（1）求b，c的值；
（2）求sin（B–C）的值．











11．（2019年高考天津卷理数）在中，内角所对的边分别为．已知，．
（1）求的值；
（2）求的值．










12．（2019年高考江苏卷）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；
（2）若，求的值．










13．（2018新课标全国Ⅰ理科）在平面四边形中，，，，.
（1）求；
（2）若，求.










14．（2017新课标全国Ⅰ理科）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知的面积为.
（1）求sin Bsin C;
（2）若6cos Bcos C=1，a=3，求的周长.










15．（2017新课标全国Ⅱ理科）的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，的面积为，求．












16．（2018北京理科）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．













变式拓展

1．【答案】C
【解析】由题知，
由正弦定理得，
所以，即，
所以在中，，
又因为，
所以.
故选C.
2．【解析】（1）由正弦定理可得在中，，
在中，，
又因为，
则.
（2），由正弦定理得，
设，则，
由余弦定理得.
因为，所以，
解得.
则.
3．【解析】（1）由得：，
则，
，，，
由正弦定理可知：，
则为等腰三角形.
（2）由题意得：，解得：，
∵为钝角三角形，且，为钝角，
，
由余弦定理得：，
.
4．【解析】（1）由已知条件化简可得，即，
由余弦定理的推论，可得，
．
（2），
由正弦定理可得，
又，
在中，．
．
5．【解析】（1），
∴由正弦定理得，
又，
，
，，
又，
.
（2）由正弦定理得，

，
，
，则.
故的周长的取值范围是.
6．【解析】（1）由，及正弦定理可得：，
则，
整理得，
因为，所以，
所以，
又，所以．
（2）在中，，则，
因为为的中点，所以，
在中，由余弦定理可得，
所以．
7．【解析】（1）在中，，
∴（平方百米）.
（2）如图，连接，
根据题意知，在中，（百米），
在中，，
由正弦定理，得（百米），
，
在中，由余弦定理得：，
则．

8．【解析】（1）由，
则＝，
故函数的最小正周期，
故，最小正周期为．
（2）因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
又，
由余弦定理得：，
所以，
所以，
则.
考点冲关

1．【答案】C
【解析】在中，∵A＝2B，，b＝3，c＝1，
∴，整理得a＝6cosB，
由余弦定理可得，
∴.
故选C．
2．【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
又，则必为锐角，故.
3．【答案】A
【解析】∵，，∴，
可得，则，可得，
∵，∴，∴，
解得.即是直角三角形.
故选A．
4．【答案】A
【解析】设角，，所对的边分别为，，，边上的高为，
因为，，所以，化简得，解得.
又，所以由，得.
故选A.
5．【答案】B
【解析】作出示意图如图所示，

，，，则.
由正弦定理，可得，
则.
所以这时船与灯塔的距离为.
故选B.
6．【答案】A
【解析】由题意知的面积为，且，所以，即，
所以，当且仅当时取得等号，
所以的最小值为.
故选A．
7．【答案】D
【解析】因为，所以，
即，所以，所以，
因为，所以由正弦定理可得的外接圆半径为.
故选D．
8．【答案】A
【解析】由余弦定理得：，即，
解得：，
，，
.
故选A.
9．【答案】C
【解析】，
由余弦定理可知：，
所以.
故选C．
10．【答案】B
【解析】由题意知,即，即，
由正弦定理和余弦定理得：，即，
即，
则.
故选B．
11．【答案】D
【解析】由，得，
∵，∴，
即，即，则，
∵，∴，∴，即，
则，
故选D．
12．【答案】B
【解析】如图，

因为，所以设，
又，，
所以由，
得，所以，
所以，
又，所以，
由余弦定理可得，，
可得，解得，
故
.
故选B.
13．【答案】
【解析】由正弦定理可得：，
，解得：，
由余弦定理可得：，
解得：或（舍去），.
14．【答案】
【解析】如图.

在中，，
整理得，
∴，当且仅当AD=DC时取等号，
∴的面积，
∴的面积的最大值为．
15．【答案】
【解析】依题意，，，在中，由，
得，因为，所以由正弦定理可得，即m.
在中，因为，，所以，
所以m.
16．【答案】
【解析】∵，
∴由余弦定理可得：，
∴，
∴，
由正弦定理，可得．
故答案为．
17．【解析】（1）在中，由余弦定理得，
解得．
（2）在中，由得，
∴，
在中，由正弦定理得，即，
∴，
又，故，
∴，
∴．
18．【解析】（1）由及二倍角公式得，
又即，所以.
（2）由正弦定理得，，
则的周长为：
，
又因为，所以，则.
从而.
因此周长的取值范围是.
19．【解析】（1）∵，∴，
由正弦定理，得，
∵，∴，即，
∵，∴．
（2）由三角形的面积公式，得，解得，
由余弦定理，得，
故．
20．【解析】（1）依题意得，，，，．
在中由余弦定理可得，
所以，所以渔船甲的速度为海里/小时．
（2）在中，，，BC=42，，
由正弦定理，得，
所以．
21．【解析】（1）由题意得，
由正弦定理得，
即，所以．
又在中，则或，
因为，所以.
（2）因为， 所以.


.
因为，，
所以，
所以的范围是．
22．【解析】（1）

当，即时，取得最大值3；
当，即时，取得最小值，
故的值域为.
（2）设中所对的边分别为
.
即
得
又，即即
易得


23．【解析】（1）在中，∵，
∴由余弦定理可得:，
∴，
则为等腰直角三角形，
∴°，
在中， ，
由余弦定理可得:，
∴.
（2）在中，∵，
∴由余弦定理可得:，
又由正弦定理可得，
即，
∴，
∴，
在中，，
由余弦定理可得，
∴当时，，则．
直通高考

1．【答案】A
【解析】由题意知，
所以，选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和与差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A，B，C的式子，再用正弦定理将角转化为边，得到.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.
2．【答案】A
【解析】因为
所以，
故选A.
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理，结合已知条件，灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.
3．【答案】C
【解析】由题可知，所以，
由余弦定理，得，
因为，所以.
故选C.
【名师点睛】本题主要考查余弦定理与三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.
4．【答案】
【解析】由余弦定理得，所以，即，
解得（舍去），
所以，
【名师点睛】本题易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．本题首先应用余弦定理，建立关于的方程，应用的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
5．【答案】，
【解析】如图，在中，由正弦定理有：，而，
，，所以.
.

【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.
6．【答案】，3
【解析】由正弦定理得，所以
由余弦定理得（负值舍去）.
【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.解答本题时，根据正弦定理得sinB，根据余弦定理解出c.
7．【答案】
【解析】取BC中点E，由题意：，
△ABE中，，∴，
∴．
∵，∴，
解得或（舍去）．
综上可得，△BCD的面积为，．
【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．
8．【解析】（1）由已知得，
故由正弦定理得．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）由（1）知，
由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故


．
【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
9．【解析】（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，
因此B=60°．
（2）由题设及（1）知的面积．
由正弦定理得．
由于为锐角三角形，故0°