(新高考)高考数学一轮复习过关练考点28 双曲线及其性质（含解析）

这是一份(新高考)高考数学一轮复习过关练考点28 双曲线及其性质（含解析），共24页。试卷主要包含了 了解双曲线的简单几何性质 等内容，欢迎下载使用。
考点28 双曲线及其性质
考纲要求




1. 了解双曲线的实际背景、定义和几何图形 .
2. 了解双曲的的标准方程,会求双曲线的标准方程;
3. 了解双曲线的简单几何性质 .
近三年高考情况分析



近三年主要考察了以下几点：
1、双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，解题时要注意、、的关系，即，以及当焦点在轴时，哪些量表示，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.
2、求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力
3、双曲线与抛物线或者椭圆等圆锥曲线的结合

考点总结




1、在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.
2、求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.
3、凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．
4、利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程（组），解方程（组）求出的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为，②与共渐近线的双曲线可设为，③等轴双曲线可设为．
三年高考真题





1、【2020年北京卷】已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．
【答案】 (1). (2).
【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.
故答案为：；.
2、【2020年江苏卷】.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1(a＞0)的一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的离心率是____.
【答案】
【解析】双曲线，故.由于双曲线的一条渐近线方程为，即，所以，所以双曲线的离心率为.
故答案为：
3、【2020年全国1卷】.已知F为双曲线的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为______________.
【答案】2
【解析】联立，解得，所以.
依题可得，，，即，变形得，,
因此，双曲线的离心率为.
故答案为：．
4、【2020年全国3卷】设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】，，根据双曲线的定义可得，
，即，
，，
，即，解得，
故选：A.
5、【2020年天津卷】设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，
又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为，解得．
故选：．
6、【2020年浙江卷】已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
7、【2020年全国2卷】设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【答案】B
【解析】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故

面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F为双曲线C：的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点．若，则C的离心率为
A． B．
C．2 D．
【答案】A
【解析】设与轴交于点，由对称性可知轴，
又，为以为直径的圆的半径，
∴，，
又点在圆上，，即．
，故选A．
9、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，
又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，
，故选A．

10、【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是
A． B．1
C． D．2
【答案】C
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，所以双曲线的离心率.故选C.
11、【2018年高考浙江卷】双曲线的焦点坐标是
A．(−，0)，(，0) B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，−)，(0，) D．(0，−2)，(0，2)
【答案】B
【解析】设的焦点坐标为，因为，，
所以焦点坐标为，故选B．
12、【2017年高考天津卷理数】已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，
故选B．
13、【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以，
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选A．
14、【2017年高考全国Ⅱ理数】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为
A．2 B．
C． D．
【答案】A
【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，
圆心到渐近线的距离为，
则点到直线的距离为，即，
整理可得，则双曲线的离心率．
故选A．
15、【2017年高考全国III理数】已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】双曲线C：(a＞0，b＞0)的渐近线方程为，
在椭圆中：，，故双曲线C的焦点坐标为，
据此可得双曲线中的方程组：，解得，
则双曲线的方程为．故选B．
16、【2018年高考全国III理数】设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，，，
在中，，
在中，，
，即，
，故选C．
17、【2018年高考全国I理数】已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则
A． B．3
C． D．4
【答案】B
【解析】由题可知双曲线的渐近线的斜率为，且右焦点为，从而可得，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立，求得，，所以，故选B．
18、【2018年高考天津卷理数】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，
由可得：，
不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择C选项.
19、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【答案】2
【解析】如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即
由，得∴，，
又OA与OB都是渐近线，∴
又，∴
又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．
20、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .
【答案】
【解析】由已知得，解得或，
因为，所以.
因为，所以双曲线的渐近线方程为.
21、【2017年高考北京卷理数】若双曲线的离心率为，则实数m=_______________．
【答案】2
【解析】，所以，解得．
22、【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________________．
【答案】
【解析】因为双曲线的焦点到渐近线，即的距离为，所以，因此，，．
23、【2018年高考北京卷理数】已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为________________；双曲线的离心率为________________．
【答案】
【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆的离心率为．双曲线的渐近线方程为，由题意得双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，所以，所以．
24、【2017年高考山东卷理数】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_____________．
【答案】
【解析】由抛物线定义可得：,
因为,所以渐近线方程为.
二年模拟试题




题型一、双曲线的标准方程与几何性质
1、（2020届山东省烟台市高三上期末）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题,离心率,解得,
因为焦点在轴上,则渐近线方程为,即
故选：C
2、（2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟）双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线为，
，，渐近线方程为：，
其渐近线方程为：，
故选：B.
3、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）双曲线的一个顶点坐标是（ ）
A．( 2，0) B．( －，0) C．(0，) D．(0 ，)
【答案】D
【解析】双曲线化为标准方程为：，∴=，且实轴在y轴上，
∴顶点坐标是（），故选D.
4、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）双曲线﹣y2=1的渐近线方程是（ ）
A．x±2y=0 B．2x±y=0 C．4x±y=0 D．x±4y=0
【答案】A
【解析】双曲线
其渐近线方程是﹣y2=0
整理得x±2y=0．
故选A．
5、（2020·浙江高三）若双曲线的焦距为4，则其渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，
由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为：
所以双曲线的渐近线方程为：yx．
故选：A．
6、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）在平面直角坐标系中，经过点，渐近线方程为的双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k．又在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为
故选：B
7、（2020届浙江省高中发展共同体高三上期末）双曲线的渐近线方程为 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为：
双曲线的渐近线方程为：。
故选：D.
8、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图所示：

由对称性可得：为的中点，且，
所以，
因为，所以，
故而由几何性质可得，即，
故渐近线方程为，
故选B.
9、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是( )
A．离心率为 B．双曲线过点
C．渐近线方程为 D．实轴长为4
【答案】ABC
【解析】由题意，可得：焦点在轴上，且；
A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；
B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；
C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，
所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；
D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；
故选：ABC.
题型二、双曲线的离心率
1、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知双曲线的一条渐近线为，则离心率为（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【解析】双曲线的一条渐近线为，
.
故选:A.
2、（2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考）设双曲线的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为双曲线的两焦点之间的距离为10，所以，所以，所以.所以离心率.故选C.
3、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线（，）的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】如下图所示：

设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得，
所以，的周长为，
当且仅当、、三点共线时，的周长取得最小值，即，解得.
因此，该双曲线的离心率为.
故选：D.
4、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，
的离心率.
故选：C.
5、（2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
则，所以该条渐近线方程为；
所以，解得；所以 ，
所以双曲线的离心率为．
故选：A．
6、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知点为双曲线右支上一点，分别为的左，右焦点，直线与的一条渐近线垂直，垂足为，若，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取的中点，连接 ,由条件可知，
是的中点，
又，
,
根据双曲线的定义可知，
，
直线的方程是： ，即 ，
原点到直线的距离，中，，
整理为： ，
即 ，解得： ，或（舍）
故选：C

7、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）双曲线：的左、右焦点分别为、，是右支上的一点，与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率为____.
【答案】
【解析】设△MPF2的内切圆与MF1，MF2的切点分别为A，B，
由切线长定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，
又PF1＝PF2，
∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，
由双曲线的定义可知MF1﹣MF2＝2a，
故而a＝PQ，又c＝2，
∴双曲线的离心率为e．
故答案为：．

8、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知F为双曲线的右焦点，过F作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且（O为坐标原点），则C的离心率为________.
【答案】2
【解析】由题意，一条渐近线方程为，即，
∴ ，由得，
∴，，∴．
故答案为：2.
9、(2019苏锡常镇调研）已知双曲线C的方程为，则其离心率为 ．
【答案】，
【解析】因为，，所以，故离心率为

题型三、双曲线与其它知识点的结合
1、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，
又由圆，可得圆心为，半径，
则圆心到直线的距离为，则，可得，
故选C.
2、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知直线，为双曲线：的两条渐近线，若，与圆：相切，双曲线离心率的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设渐近线方程，即，与圆：相切，
圆心到直线的距离，，
所以.
故选：B
3、（2019·北京八十中高二期中）已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．
【答案】 2
【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为
双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为，
4、（2020届山东省临沂市高三上期末）已知P为双曲线C：右支上一点，，分别为C的左、右焦点，且线段，分别为C的实轴与虚轴.若，，成等比数列，则______.
【答案】6
【解析】
，，
，，成等比数列
，
解得，

故答案为：

5、（2020届浙江省嘉兴市3月模拟）设双曲线E：，命题p：双曲线E离心率，命题q：双曲线E的渐近线互相垂直，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线方程为，离心率为，
由，可得，即有，可得，
即得渐近线方程为，可得两渐近线垂直；
若两渐近线垂直，可得，可得，
即有是的充要条件，
故选：．