陕西省西安市铁一中2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题 Word版含解析

铁一中高一年级月考数学试卷

第一部分（选择题共48分）

一、选择题（共12个小题，每小题4分，计48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设集合，，则下列结论成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据交集、并集的定义计算可得；

【详解】因为，

A.由子集的定义可知集合A不是集合B的子集,错误；

B.，错误；

C.，错误；

D. 正确.

故选：D.

【点睛】本题考查集合的交、并运算，以及集合的包含关系，属于基础题.

2. 下列四个图象中，不是函数图象的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数定义知y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，对比图像得到答案.

【详解】根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，

体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，

对照选项，可知只有B不符合此条件.

故选：B.

【点睛】本题考查了函数图像，意在考查学生对于函数的理解和掌握.

3. 函数和的递增区间依次是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

通过作图，可直接求出两个函数单调区间．

【详解】分别作出f(x)与g(x)的图象

得：f(x)在[0，＋∞)上递增，g(x)在(－∞，1]上递增，

故选：C.

【点睛】本题考查函数的单调性和图象，常见函数的图象考生应强化记忆：一次函数、二次函数、反比例函数、含绝对值的函数（需要理解绝对值在函数中的几何意义）．

4. 已知集合，，，则集合（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据集合的运算法则求出，，，即可判断；

【详解】解： ，，，

又，，

故选：．

【点睛】本题主要考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法，属于基础题．

5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A. [－1，2) B. [0，2)

C. [0，3) D. [－2，1)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据抽象函数定义域的求法，求解即可.

【详解】∵的定义域为[－1，2)，

∴－1≤x<2，

由抽象函数的定义域求法可得：－1≤x－1<2，解得0≤x<3，

∴的定义域为[0，3)，

故选：C.

【点睛】本题考查抽象函数定义域的求法，需熟记两点：①定义域为x的范围；②括号内范围相同，列出不等式，即可求解，考查分析理解的能力，属基础题.

6. 已知集合，，若，则（    ）

A. 1 B.  C. 或1 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】

根据并集的结果可得，即可求出，再代入检验即可；

【详解】解：因为，，

则，解得或

当时，集合不满足元素的互异性，故舍去；

所以

故选：B

【点睛】本题考查并集的结果求参数的值，属于基础题.

7. 已知集合，，则（    ）

A.  B. A C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

对集合A，当时，，观察元素范围可得答案.

【详解】解：因为集合A中，，集合B中，

对集合A，当时，，

所以.

故选：C.

【点睛】本题考查集合交集的运算，注意集合中元素的范围，是基础题.

8. 下列说法：①；②函数的定义域是，在其上是减函数；③函数在上一定具有单调性；④若任意是定义域A上的两个数，使不等式成立.则在A上是减少的.其中不正确的个数是（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据空集的定义判断①，根据函数的单调性判断②③④；

【详解】解：对于①，空集是不含任何元素的集合，故①错误；

对于②函数的定义域是，但其在定义域上不具有单调性，其单调递减区间为和，故错误；

对于③，当时，函数为常数函数，不具有单调性，故错误；

对于④，任意是定义域上的两个数，使不等式成立，则函数在上单调递增，故正确；

故选：C

【点睛】本题考查函数的单调性理解，以及空集的定义的理解，属于基础题.

9. 下面对应是从A到B映射的是（    ）

A.

B. {高一年级同学}，，对应关系f：A中的元素对应他今天的出勤情况，若出勤记作1，否则记作0

C. ，，对应关系，，

D. ，对应关系f：A中数的开方

【答案】B

【解析】

【分析】

从A到B的映射需满足对于A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，因此可以是一对一或多对一，不能是一对多，依次判断即可得出结果.

【详解】对于A，集合A中元素3在集合B中对应7，8， A错；

对于B，集合A中每一个元素在集合B中都有唯一的象，B正确;

对于C，集合A对应关系，时，无意义，所以元素1在集合B中没有象，C错；

于D，集合A中元素1在集合B对应-1，1，D错.

故选：B.

【点睛】本题考查对映射概念的理解，属于基础题.

10. 已知，则（    ）

A.  B. 3 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

令，求出，再代入条件计算即可.

【详解】解：令，得，

将代入得.

故选：A.

【点睛】本题考查函数值求解，是基础题.

11. 已知函数在R上单调，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

设，，由在上是单调函数，则在时单调递减，在上递减，且，从而可求.

【详解】函数是上的单调函数，

设，，

由分段函数的性质可知，函数在时单调递减，在上递减，

且，

，

解得：

故选：D.

【点睛】考查分段函数在上的单调性，既需要分段考虑，又需要整体考虑，基础题.

12. 用表示非空集合中的元素个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值集合是，则（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

【答案】B

【解析】

因为等价于或，且，所以要么是单元素集，要么是三元素集．

（1）若是单元素集，则方程有两个相等实数根，方程无实数根，故；

（2）若是三元素集，则方程有两个不相等实数根，方程有两个相等且异于方程的实数根，即且．

综上所求或，即，故，应选答案B．

点睛：解答本题的关键是充分借助题设中的新定义的新概念及新运算，运用等价转化的数学思想将问题进行等价转化，从而使得问题巧妙获解．

第二部分（非选择题共72分）

二、填空题（共4个小题，每小题4分，计16分）

13. 已知集合，，则满足条件的集合A的个数是______.

【答案】8

【解析】

【分析】

由已知中，，可得：，进而由已知确定集合有3个元素，有个子集，得到答案．

【详解】解：若，，则，

，，

，

有3个元素，

故满足条件的有个，

故答案为：．

【点睛】本题考查的知识点是集合的子集，集合的交集运算，其中根据已知分析出是解答的关键，属于基础题．

14. 函数，的最大值是_________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据函数单调性可求的最大值.

【详解】因为，为增函数，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查函数的最值，可根据函数的单调性来求给定范围上的最值，本题属于容易题.

15. 函数图象的对称中心坐标是_______.

【答案】

【解析】

【分析】

根据函数的平移规则以及奇偶函数的对称性计算可得；

【详解】解：因为

由函数向右平移个单位，向上平移个单位得到，又函数是奇函数，关于原点对称，所以关于对称，故其对称中心为

故答案为：

【点睛】本题考查奇函数的性质的应用，以及函数的平移，属于基础题.

16. 已知偶函数定义在上，且在上是单调增加的.若不等式成立，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由在上为单调增，结合函数的奇偶性，可得在上为单调减，将转化为，结合定义域，解不等式可得的取值范围.

【详解】偶函数在上为单调增，

在上为单调减，

等价于，解得：

实数a的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题,考查计算能力，属于中档题.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17. 已知集合或，，且，求实数a的取值范围.

【答案】

【解析】

【分析】

解得，根据，即可确定出的范围．

【详解】解：，

，

，或

且，

解得且，

故实数a的取值范围．

【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

18. 全集，，且，且.

（1）求集合B，；

（2）若集合，则集合A、B、D的关系是什么？

【答案】（1）；；（2），，.

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件即可求出，，，根据补集的定义即可求出；

（2）求出，即可判断，，的关系．

【详解】解：（1），，且，且.

所以，

所以；

（2），，；

；

所以，，．

【点睛】本题考查集合的表示法以及集合之间的关系，关键是分析集合、、的元素，属于基础题．

19. 已知函数，且

（1）求实数m的值，并判断的奇偶数；

（2）函数在上是增加的还是减少的？并证明.

【答案】（1），为奇函数；（2）增加，证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）求实数的值，由即可求得；判断的奇偶性可利用证明其为奇函数；

（2）先判断出其在上是增函数，再利用定义法证明．

【详解】解：（1）由题意，，所以，定义域为

因为，所以是奇函数；

（2）函数在上是单调增函数，下用定义法证明

设任意的，，且

，，

即函数在上是单调增函数，

【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，求解本题的关键是掌握函数奇偶性的判断方法以及函数单调性的证明方法定义法．属于基础题．

20. 已知函数在区间上是减少的，记实数k的取值集合为A，集合.若，求实数a的取值范围.

【答案】

【解析】

【分析】

由在区间上为单调递减，可得对称轴与区间的关系，解不等式即可得到k的范围，求出集合,由已知，可求得结果.

【详解】函数的对称轴为x=，

在区间上为单调递减，

即有，解得k≤-10,,

,,

,

,解得：a的取值范围为.

【点睛】本题考查二次函数图象，考查集合的包含关系求解参数问题，属于基础题.

21. 己知二次函数的值域是.

（1）求函数的解析式；

（2）当，时，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）配方，求出的最小值，列方程求解即可；

（2）分，，讨论，可确定的最小值时的值，代入即可求出.

【详解】解：（1），

，得，

所以函数的解析式为；

（2）对于函数，当，时，

①当时，，

②当，即时，，

③当，即时，，

综上所述：.

【点睛】本题考查二次函数在动区间的上的最值问题，注意要讨论对称轴和区间的位置关系，考查学生分类讨论的思想和计算能力，是基础题.

22. 设是定义在R上奇函数，对任意的有成立.

（1）证明：对任意实数x，等式成立；

（2）若，求的值；

（3）若函数，且函数是偶函数.求函数的单调区间.

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）单调递增为；单调递减为.

【解析】

【分析】

（1）利用函数周期性的定义证明.

（2）利用函数的周期性和奇偶性，直接带入求解.

（3）利用函数是偶函数建立方程关系进行求解可得,进而计算可得结果.

【详解】（1）由，且，

可知，

所以是周期函数，且是其一个周期.

所以对任意实数x，等式成立.

（2）因为为定义在R上的奇函数，

所以，且，又是的一个周期，

所以；

（3）因为是偶函数，

由于，所以是偶函数，

所以为偶函数，即恒成立.

于是恒成立，

于是恒成立，所以.

所以，且，由复合函数的单调性可知，

函数单调递增为；单调递减为.

【点睛】本题考查了函数的奇偶性和周期性，考查复合函数的单调性，考查分析问题的能力，属于中档题.