陕西省西安市高陵区第一中学、田家炳中学2020-2021学年高一上学期第一次月考数学（文）试题 Word版含解析

高陵一中、田家炳中学2020～2021学年度第一次联考

数学（文）试题（卷）

时间：120分钟  满分：150分

第Ⅰ卷  选择题（请将该卷答案写在答题纸上）

一、单选题（共12题，每题5分，总分60分）

1. 集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据函数的定义域与值域，分别求得集合，再结合集合的交集的运算，即可求解.

【详解】由题意，，，

根据集合的交集的概念及运算，可得.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域与值域求得集合是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.

2. “”是“”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

试题分析：由指数函数的单调性可知，但由于的符号不能确定是否一致，所以不能推出，同理也不能推出，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选D.

考点：充分条件与必要条件．

3. 下列函数中，是奇函数且在区间内单调递减的函数是( )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

奇函数的B、C、D，在区间内单调递减的函数是B

4. 已知，则的单调增区间是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

函数在满足的条件下，函数的减区间即为所求，利用二次函数的性质，得出结论．

【详解】因为在递减，

 所以的单调增区间，

即为函数在满足的条件下，函数的减区间．

由可得或，

所以函数在满足的条件下，的减区间为，

所以的单调增区间是，

故选：B．

【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．

5. 函数在R上满足，则曲线在处的切线方程是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据求出函数的解析式，然后对函数进行求导，进而可得到在点，（1）处的切线的斜率，最后根据点斜式可求导切线方程．

【详解】，

设，则，

．

．

得，

在，（1）处的切线斜率为．

函数在，（1）处的切线方程为，

即．

故选：．

【点睛】本题主要考查求函数解析式的方法和函数的求导法则以及导数的几何意义．函数在某点的导数值等于该点处的切线的斜率．

6. 函数，的最小值为（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】D

【解析】

【分析】

换元法：令，可得，，由二次函数在闭区间求解最小值即可．

【详解】函数，

令，由可得，

，

由二次函数可知当时，单调递增，

当时，函数取最小值，

故选：．

【点睛】本题考查三角函数的最值，换元并利用二次函数区间上的最值是解决问题的关键，属中档题．

7. 函数在定义域R内可导，若且，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

确定函数关于对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案.

【详解】，即，函数关于对称，

当时，，即，函数单调递减；

当时，，即，函数单调递增.

，，，故.

故选：C.

【点睛】本题考查了利用函数的单调性和对称性判断函数值的大小关系，意在考查学生对于函数性质的综合应用能力.

8. 已知，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用已知条件求出正切函数值，化简所求表达式为正切函数的形式，即可求出结果．

【详解】由 ，

可得．

则．

故选：C．

【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．属于基础题.

9. 若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程一个近似根（精确到0.1）为（    ）

A. 1.4 B. 1.3 C. 1.2 D. 1.5

【答案】A

【解析】

【分析】

由表格中参考数据可得，，结合题中要求精确到0.1可得答案．

【详解】由表格中参考数据可得，，

又因为题中要求精确到0.1，

所以近似根为 1.4

故选：A．

【点睛】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．

10. 若定义在R的奇函数满足，当时，，则（    ）

A.  B.  C. 3 D. 2

【答案】A

【解析】

【分析】

利用求出函数的周期，然后由周期性求解函数值即可．

【详解】定义在上的奇函数满足，

可得，

所以函数的周期是4，

当时，，

则（1）．

故选：．

【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题．

11. 已知函数是定义在上的增函数，且，，则不等式（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据且可得，，则可化为，然后根据单调性求解.

【详解】根据可得，可转化为，

又，

所以，即，

因为是定义在上的增函数，所以只需满足，解得：.

故选：D.

【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.

12. 若在上是减函数，则b的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

求出原函数的定义域，要使原函数在内是单调减函数，则其导函数在定义域内恒小于等于0，原函数的导函数的分母恒大于0，只需分析分子的二次三项式恒大于等于0即可，根据二次项系数大于0，且对称轴在定义域范围内，所以二次三项式对应的抛物线开口向上，只有其对应二次方程的判别式小于等于0时导函数恒小于等于0，由此解得b的取值范围.

【详解】由，得，

所以函数的定义域为，

再由，得：

，

要使函数在内是单调减函数，

则在上恒小于等于0，

因为，

令，则在上恒大于等于0，

函数开口向上，且对称轴为，

所以只有当，

即时，恒成立，

所以，使函数在其定义域内是单调减函数的b的取值范围是.

故选：D.

【点睛】本题考查了函数的单调性与导数之间的关系，一个函数在其定义域内的某个区间上单调减，说明函数的导函数在该区间内恒小于等于0，是中档题.

第Ⅱ卷  非选择题（请将该卷答案写在答题纸上）

二、填空题（共4题，每题5分，总分20分）

13. 命题“对任意，都有”的否定为__________．

【答案】存在，使得

【解析】

全称命题的否定为其对应的特称命题，则：

命题“对任意，都有”的否定为存在，使得.

14. 函数的零点有__________个．

【答案】1

【解析】

【分析】

求导得到，得到函数的单调区间，再计算极值的正负判断得到答案.

【详解】，故，

故函数在和上单调递增，在上单调递减，

函数的极大值，

函数的极小值，

当时，，故函数共有1个零点

故答案为：1.

【点睛】本题考查了利用导数计算函数零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于常考题型.

15. 条件，条件，则p是q的__________条件．

【答案】必要不充分

【解析】

【分析】

根据一元二次不等式和分式不等式解法，分别求得对应的集合，结合集合间的包含关系，即可求解.

【详解】由不等式可化为，解得，即不等式的解集为，

又由，解得，即不等式的解集为，

可得是的真子集，所以p是q的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分.

【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，以及一元二次不等式和分式不等式的求解，其中解答中结合不等式的解法，求得是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

16. 已知，若，则实数的取值范围是____________.

【答案】

【解析】

【分析】

判断函数的单调性，利用单调性转化为自变量的不等式，即可求解.

【详解】在区间都是增函数，

并且在处函数连续，所以在上是增函数，

等价于，

解得.

故答案为:

【点睛】本题考查函数的单调性，并利用单调性解不等式，属于中档题.

三、解答题（简答题）（共6题，总分70分）

17. 已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．

（1）求的值；

（2）若角就是将角的终边顺时针旋转得到，求的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】

（1）直接利用三角函数定义结合诱导公式计算得到答案.

（2），带入式子利用诱导公式化简，带入数据得到答案.

【详解】（1）根据题意：，，，.

（2）根据题意：，

故

.

【点睛】本题考查了三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力和转化能力.

18. 已知函数，.

（1）若函数是单调函数，求实数的取值范围；

（2）若函数的最大值是2，求实数的值.

【答案】(1)；(2)3或.

【解析】

试题分析：

(1)二次函数开口向下，对称轴为，据此可得实数的取值范围是；

(2)分类讨论，，三种情况可得实数的值3或.

试题解析：

(1)二次函数开口向下，对称轴为，结合题意可得或，即实数的取值范围是；

（2）分类讨论：

当时，函数在区间上单调递减，

函数的最大值：；

当时，函数在区间上单调递增，

函数的最大值：；

当时，函数在对称轴处取得最大值，

即：，解得：或，不合题意，舍去；

综上可得实数的值3或.

点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

19. 已知函数，其中.

（1）讨论函数的单调区间；

（2）若存在，使得，求实数的取值范围.

【答案】（1）时，减区间是，时，减区间是，增区间是；（2）.

【解析】

试题分析：（1）这是一个利用导数研究函数的单调区间的问题，应先确定函数的定义域，然后再对函数求导，并分别针对的不同取值进行讨论，就可得到的单调区间；（2）首先根据关系式把从中分离出来，再通过构造函数并求出其最值，即可得到实数的取值范围.

试题解析：（1）因为

若则对恒成立，

所以，此时的单调递减区间为；

若，则时，

所以，单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）因为，所以，，即

若存在，使得成立，只需的最小值

设，则时，

所以在上减，在上增，所以时，取最小值

所以.

考点：1、导数在函数研究中的应用；2、单调区间；3、最值.

【思路点晴】本题是一个利用导数研究函数的单调区间、求极值等方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路是，首先应根据函数关系式求出函数的定义域，再对函数进行求导，并针对实数的不同取值加以讨论，就可以得到函数的单调区间；至于第二问求的取值范围，解决问题的切入点是不等在上有解，然后再结合构造函数并求其最值即可得到的范围.

20. 对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题．对一家药品生产企业的研究表明：该企业的生产成本（单位：万元）和生产收入（单位：万元）都是产量（单位：）的函数，它们分别为和，试求出该企业获得的生产利润（单位：万元）的最大值．

【答案】当产量为时，该企业可获得最大利润，最大利润为万元．

【解析】

【分析】

生产利润，列出关于的表达式，然后利用导数分析的最大值.

【详解】解：

，

即，

，

令，得或，

当变化时，，的变化情况如下表：

由上表可知：是函数w的唯一极大值点，也是最大值点．

所以，当时，w取得取最大值．

【点睛】本题考查利润最值问题，考查利用导数分析求解函数的最值问题,难度一般.

21. 已知函数．

（1）设是的极值点．求a的值，并讨论的零点个数；

（2）证明：当时，．

【答案】（1），有两个零点；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）求导得到，根据得到，再计算函数单调区间，计算极值得到函数零点个数.

（2）设，求导得到单调区间，计算最值得到证明.

【详解】（1）的定义域为，．

由题设知，，所以．

从而，．

当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

，∵，，

所以有两个零点．

（2）当时，，设，则．

当时，；当时，．

所以是的最小值点，故当时，．

因此当时，．

【点睛】本题考查了根据函数的极值求参数，函数的零点问题，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

选做题（本小题满分12分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．）

22. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

（1）求直线的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

（2）若曲线C上到直线的距离为1的点有3个，求m的值．

【答案】（1）直线的直角坐标方程为，圆C的普通方程为；（2）或．

【解析】

【分析】

（1）将直线的极坐标方程利用余弦的两角差的公式展开，再将代入便可得到的直角坐标方程；将曲线的参数方程消去便可得到普通方程.

（2）若曲线上到直线距离为的点有个，则圆心到直线的距离为，然后利用点到线距离公式求解.

【详解】解：（1）由（为参数）得:，

而，即．

所以直线的直角坐标方程为，圆C的普通方程为．

（2）由于圆C的半径为3，

根据题意，若圆C上到直线的距离为的点有个，

则圆心到直线的距离为，

可得，

解得或．

【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的转化，考查圆上的点到直线的距离问题，考查点到线距离公式的运用，难度一般.

23. 选修4－5：不等式选讲

设函数．

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）如果，，求的取值范围．

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）当 时，利用零点分段法，分 三段去绝对值解不等式；（Ⅱ）利用绝对值的三角不等式 ，令最小值 求的取值范围.

试题解析：解：（Ⅰ）当时，.

由得.

当时，不等式可化为，即，其解集为；

当时，不等式可化为，不可能成立，其解集为；

当时，不等式可化为，即，其解集为.

综上所述，的解集为.

（Ⅱ）∵，∴要，成立.

则，∴或.

即的取值范围是.