2021届陕西省西安市高三下学期2月二模数学试题（含解析）

2021届陕西省西安市高三下学期2月二模数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用不等式的解法求出集合，再求交集即可.

【详解】∵集合，

，

∴.

故选：A.

2．设，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得，进而求模长即可.

【详解】因为，所以，解得，

所以.

故选：B.

3．已知向量，且，则（    ）

A．0 B．4 C．-6 D．10

【答案】B

【分析】根据向量的坐标表示，以及向量垂直的坐标表示，列出方程求解，即可得出结果.

【详解】由题意可得，

又，所以，解得.

故选：B.

4．在等比数列中，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据等比数列的性质，得到，即可求解.

【详解】由等比数列的性质，可得，则.

故选：A.

5．某校为了丰富学生的课外生活，提高学习兴趣，成立了书法、篮球、信息技术、器乐这4个兴趣小组．小华和小明各自参加了一个兴趣小组，则他们参加了同一个兴趣小组的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】易得小华和小明参加兴趣小组的情况有16种，参加同一个兴趣小组的情况有4种，即得概率.

【详解】由题意可得小华和小明参加兴趣小组的情况有4×4=16种，其中，他们参加了同一个兴趣小组的情况有4种，故所求概率．

故选：D.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先由偶函数排除B、C，再由特殊值排除A即可.

【详解】因为的定义域为，，所以为偶函数，排除B，C选项；

又时，，排除A,所以选项D正确.

故选：D

【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像．

7．已知直线经过双曲线：的一个虚轴端点以及一个焦点，且点（为坐标原点）到直线的距离为，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据对称性可取上端点与右焦点，即可写出直线，由坐标原点到直线的距离为，则可列出等式，化简即为答案.

【详解】根据对称性，不妨设直线经过双曲线的虚轴上端点以及右焦点，

则直线的方程为．点到直线的距离，

化简可得，化简得：．

故选：D.

8．已知函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的单调递减区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意利用三角函数图象的变换规律求出平移之后的解析式，令其等于，利用诱导公式以及三角函数的周期性求出的值，即可得的解析式，再利用余弦函数的单调减区间即可求解.

【详解】函数的图象向右平移个单位长度后

可得，

因为所得的图象与的图象重合，

所以，

可得：，

所以，

因为，所以，，

所以，

令，

解得，

即的单调递减区间为.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是平移之后的图象与图象重合，需要将两个解析式化为同名的，求出再利用整体代入的方法求单调区间.

9．《算法统宗》古代数学名著，其中有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传.“意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第二个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要长幼分明，使孝顺子女的美德外传，则第五个孩子分得斤数为（    ）

A．65 B．99 C．133 D．150

【答案】C

【分析】由题可得八个孩子分得棉花的斤数构成公差为17的等差数列，由前8项和为996求得，即可求得.

【详解】设这八个孩子分得棉花的斤数构成等差数列，则公差，

从而，解得，

故，

即第五个孩子分得斤数为133.

故选：C.

10．清华大学通过专业化､精细化､信息化和国际化的就业指导工作，引导学生把个人职业生涯发展同国家社会需要紧密结合，鼓励学生到祖国最需要的地方建功立业，2019年该校毕业生中，有本科生2971人，硕士生2527人，博士生1467人，毕业生总体充分实现就业，就业地域分布更趋均匀合理，实现毕业生就业率保持高位和就业质世稳步提升，根据下图，下列说法不正确的是（    ）

A．博士生有超过一半的毕业生选择在北京就业

B．毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业

C．到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多

D．到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的

【答案】D

【分析】根据题中条件，结合条形图中的数据，逐项分析，即可得出结果.

【详解】由图可知，博士生有选择在北京就业，故A正确；

毕业生在北京就业的比率为，即毕业生总人数超半数选择在北京以外的单位就业，故B正确；

到四川省就业的硕士毕业生人数约为，博士毕业生人数约为，即到四川省就业的硕士毕业生人数比到该省就业的博士毕业生人数多，故C正确；

因为到浙江省就业的本科生､硕士生､博士生占各层次总人数的比率均远小于，所以到浙江省就业的毕业生人数占毕业生总人数的比率应低于，故D错误.

故选：D.

11．在三棱锥中，，平面平面，，则三棱锥体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】过点作于点，可得，设， ，在和中利用勾股定理可得，则可得出的最大值，从而求得体积最大值.

【详解】，为等腰直角三角形，

，，，

过点作于点，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

，

设，则，设，则，

在中，，即，

在中，，即，

，即，

，

当，即时，取得最大值为，

则.

故选：A.

【点睛】本题考查三棱锥的体积计算，解题的关键是得出和的关系，求出的最大值.

12．已知定义域为的函数满足，且，为自然对数的底数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】整理已知等式后，构造函数，求出，再讨论恒成立问题.

【详解】由，得

设，，

则，从而有.

又因为，所以，，，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以.

因为不等式恒成立，所以，

即，又因为，所以.

故选: B

【点睛】本题关键是构造函数 ，求出 ，转化为恒成立问题,进而变量分离确定参数范围,

二、填空题

13．的展开式中，第5项为常数项，则___________.

【答案】6

【分析】首先写出二项式展开式的通项，求出展开式的第5项，令的指数为0即可求解．

【详解】解：通项公式，因为为常数项，

令，解得，

所以.

故答案为：

14．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.现已知该四棱锥的高与斜高的比值为，则该四楼锥的底面面积与侧面面积的比值是___________.

【答案】

【分析】可设该四棱锥底面的边长为､高为，斜高为，根据比值和勾股定理列出方程组，最后面积可以用一个量表示出来，再作商即可.

【详解】设该四棱锥底面的边长为､高为，斜高为，则，则

从而该四棱锥底面面积，侧面面积为

故该四棱锥的底面面积与侧面面积的比值是

故答案为：.

15．已知抛物线，过点的直线交于，两点，则直线(为坐标原点)的斜率之积为___________.

【答案】

【分析】直线与抛物线联立，运用韦达定理即可.

【详解】设点设的方程为，则得，则，所以，从而.

故答案为：.

【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.

16．定义在上的函数满足，当时，.若不等式对任意恒成立，则实数的最小值为___________.

【答案】

【分析】利用满足得到函数解析式，由解析式探究出函数的性质，结合性质将不等式转化为，进而得到对任意恒成立，讨论得到范围.

【详解】由已知得，

由函数式可得，

所以不等式可化为，

得到.

因为是上的增函数，所以，

即对任意恒成立，

当时显然不满足对任意恒成立，

所以，即.

故答案为：

【点睛】关键点点睛：由解析式探究出函数的性质：，再将化为.

三、解答题

17．在中，角所对的边分别为，.

（1）求；

（2）若，求边上的中线的长.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由，利用二倍角的正弦公式可得，进而可得答案；

（2）由可得，求得，由正弦定理可得，再由余弦定理可得答案.

【详解】（1）由题意可得

因为，所以，则

因为，所以

（2）因为.所以.

因为，所以

由正弦定理可得，则

由余弦定理可得

则.

【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.

18．某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已知每名男射手每次的命中率为，女射手每次的命中率为.

（1）当每人射击次时，求该射击小组共射中目标次的概率；

（2）当每人射击次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资格.一个小组共射中目标次得分，射中目标次得分，射中目标次得分，没有射中目标得分.用随机变量表示这个射击小组的总得分，求的分布列及数学期望.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，.

【分析】（1）由于3人共射击了6次，女射手击中的次数为分类标准，分为3类，即女射手击中0次，1次和2次进行计算求解可得答案.

（2）根据题意可得的可能取值为，，，，分别求出相应的概率，得出分布列，求出期望即可.

【详解】（1）记“该射击小组共射中目标次”为事件，

则.

（2）的可能取值为，，，，

，

，

，

，

所以的分布列为

故的数学期望.

19．如图，在多面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是直角梯形，其中，，且.

（1）证明：平面平面.

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）连接，由勾股定理得逆定理可得，结合可得平面，进而证得结果；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合图形进而可得结果.

【详解】（1）证明：连接.

因为是边长为2的正方形，所以，

因为，所以，，所以，则.

因为，所以.

因为，所以平面，

因为平面，所以平面平面.

（2）解：由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，以射线，，分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空问直角坐标系.

则，，，，故，，.

设平面的法向量为，

则，令，则.

设平面的法向量为，

则，令，则.

，

记二面角的平面角为，由图可知为钝角，则.

20．椭圆的离心率为，长轴长与短轴长之积为16.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）在直线上存在一点，过作两条相互垂直的直线均与椭圆相切，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由题意，列出方程组，求得的值，即可求得椭圆的标准方程；

（2）①当过点P的椭圆C的一条切线的斜率不存在时，求得点坐标，代入直线方程，求得；②过点P的椭圆C的切线的斜率均存在时，设，设切线方程为，联立方程组，结合，根据垂直，得到，再根据直线与圆的位置关系，即可求解.

【详解】（1）由题意，椭圆的离心率为，长轴长与短轴长之积为，

可得，解得，所以椭圆的标准方程为

（2）①当过点P的椭圆C的一条切线的斜率不存在时，另一条切线斜率为0，

此时点或或或，

分别代入直线的方程，求得.

②过点P的椭圆C的切线的斜率均存在时，设，

设切线方程为，

联立方程组 ，整理得，

由，

可得，

设过点P与椭圆C相切的切线斜率分别为，则，

因为两条切线相互垂直，所以即，

结合①②知，在圆上，

又因为点在直线上，所以直线与圆有公共点，

则，解得，

综上所述，的取值范围为

【点睛】直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略：

对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力．

21．已知函数．

（1）若函数在上有极值，求的取值范围及该极值；

（2）求使对任意恒成立的自然数的取值集合．

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）利用导数的正负确定函数的单调性，由函数的极值点的定义列出关于的不等关系，求出的范围，同时确定函数的极小值；

（2）利用参变量分离法将不等式恒成立转化为对任意恒成立，构造函数，利用导数研究函数的最小值，从而得到的取值范围，求解即可得到答案．

【详解】解：（1）函数函数，则，由，解得；由，解得．

所以在上单调递减，在上单调递增．

因为在上有极值，所以得．

．

（2）因为对任意恒成立，

所以对任意恒成立．

令，则．

令，则，

因为，所以，所以在上为增函数．

因为，，

所以存在，使．

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．

所以，

于是恒成立．

因为，所以，则，

故自然数的取值集合为．

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求点的轨迹的极坐标方程；

（2）若直线与曲线交于、两点，若，求的值．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）可设、，然后根据点为的中点得出，消去，即可得出，最后通过直角坐标方程与极坐标方程的转化即可得出结果；

（2）本题可设、，根据得出，然后联立直线与圆的极坐标方程，得出，即可解得，最后根据即可得出结果.

【详解】（1）因为点是曲线上任意一点，

所以可设，，

因为点为的中点，，所以，

消去得，即，

化为极坐标方程为.

（2）由题意可得直线的极坐标方程为．

设，，

因为，即，所以，

联立，整理得，

则，解得，

故，．

23．已知函数．

（1）求的最小值；

（2）当时，求函数的图象与轴围成封闭图形的面积．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）讨论与的大小去掉绝对值，即可看出函数的单调性，即可求出其最小值.

（2）画出图像，求出函数与轴的交点，即可求出其面积.

【详解】（1）

则在上单调递减，在上单调递增，

故．

（2）因为，所以

画出的大致图象如图所示．

令，得；令，得；令，得．

因为，，所以所求图形的面积为．