2023年湖北省襄阳市宜城市中考数学适应性试卷（含解析）

这是一份2023年湖北省襄阳市宜城市中考数学适应性试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖北省襄阳市宜城市中考数学适应性试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −3的绝对值的相反数是(    )
A. −3 B. 3 C. −13 D. 13
2. 下列图形：等边三角形，等腰梯形，正方形，圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有(    )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3. 下列计算正确的是(    )
A. b3⋅b3=2b3 B. (b5)2=b7
C. (−2b)2=−4b2 D. (ab)3÷(ab)2=ab
4. 如图所示几何体的左视图是(    )
A.
B.
C.
D.
5. 已知反比例函数y=−6x，当1 A. −2 6. 下列事件中，是必然事件的是(    )
A. 任意画一个平行四边形，是中心对称图形
B. 从0，1，2中任意抽取一个数字都是正数
C. 抛掷1个骰子，掷得的结果不是1就是6
D. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯
7. 如图，直线a//b，∠1=39°，∠2=70°，则∠A度数是(    )
A. 39°
B. 21°
C. 31°
D. 70°
8. 如图，在△ABC中，∠B=30°，以点A为圆心的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠GFE=50°，则∠CDE的度数是(    )


A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
9. 七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，如图，在正方形纸板ABCD中，BD为对角线，E，F分别为BC，CD的中点，分别交BD，EF于O，P两点，M，N分别为BO，DO的中点，连接MP，NF，沿图中实线剪开即可得到一副七巧板，则在剪开之前，关于该图形的下列说法：①图中的三角形都是等腰直角三角形；②图中的四边形MPEB是菱形；③四边形EFNB的面积占正方形ABCD面积的58.正确的有(    )
A. ①③ B. ①② C. 只有① D. ②③
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,0)，对称轴是直线x=−1，下列结论：①abc>0，②b2−4ac≥0，③2a−b=0，④3a+2c<0中错误的个数是(    )


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 截至北京时间4月14日6时30分，全球累计确诊新冠肺炎病例超过435万例.用科学记数法表示435万是______ ．
12. 若式子 2x−1x−1有意义，则x的取值范围是______．
13. 一个不透明的袋子中装有红、白小球各两个，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球是一红一白的概率为______ ．
14. 某学生推铅球，铅球所经过的路线是抛物线的一部分，若这名学生出手点A(0,1.6)，铅球路线最高处为B(6,4)，则该学生将铅球推出的距离是______ ．
15. 等腰三角形腰长为8，面积为16，则底角的度数为______ ．
16. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC中点，CD上有一动点M，连接EM、BM，将△BEM沿着BM翻折得到△BFM，连接DF，CF，则DF+12CF的最小值为______ ．


三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(x2x−1−x+1)÷4x2−4x+1x−1，其中x= 2+12．
18. (本小题6.0分)
某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查(每人必须且只选其中一项)，并将统计结果绘制成如下统计图(不完整).根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)m= ______ ，n= ______ ；
(2)在扇形统计图中，“C.实验探究”所对应的扇形的圆心角度数是______ 度；
(3)请根据以上信息补全条形统计图；
(4)该校共有1600名学生，试估计全校最喜欢“思想方法”的学生人数．
19. (本小题6.0分)
如图，小明想要利用无人机测量他家附近一座古塔AB的高度.在古塔所在的地平面上选定点C.在C处测得古塔顶端A点的仰角为53°，小明遥控无人机悬停在点C正上方的D处时，测得古塔顶端A点的俯角为26.6°，若观测点到古塔的水平距离BC为30m，求古塔AB的高度以及无人机离地面的高度CD.(参考数据：tan26.6°≈0.5，sin37°=cos53°≈0.6，tan37°≈0.75)

20. (本小题6.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8．
(1)作∠BAC的角平分线，交BC于点E；
(2)求△AEC的周长．

21. (本小题7.0分)
已知关于x的一元二次方程x2−4x+m+1=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且(x1−1)(x2−1)≥−1，求m的所有整数值的和．
22. (本小题8.0分)
如图，PA是⊙O的切线，A是切点，AC是⊙O的直径，点B是⊙O的上一点，且OP//BC，OP交⊙O于点D．
(1)求证：PB是⊙O的切线；
(2)若AC=OP=4，求阴影部分的面积．

23. (本小题10.0分)
“五⋅一”前夕，某蛋糕店推出A、B两种不同口味的蛋糕，3个A种蛋糕和5个B种蛋糕的利润和为380元，5个A种蛋糕和3个B种蛋糕的利润和为420元．
(1)求每个A种蛋糕和B种蛋糕的利润；
(2)蛋糕店计划每天制作两种蛋糕共50个，设制作A种蛋糕x个，两种蛋糕全部卖完共获利y元．
①求y与x之间的函数关系式；
②若每天制作A种蛋糕的个数不少于30个，且不超过B种蛋糕个数的4倍，求每天全部卖完这两种蛋糕获得的最大利润；
(3)在(2)的条件下，该蛋糕店对A种蛋糕以每个优惠a(5≤a≤15)元的价格进行“五⋅一”促销活动，B种蛋糕价格不变，且每天全部卖完这两种蛋糕所获得的最大利润不低于2240元，请求出a的取值范围．
24. (本小题11.0分)
已知菱形ABCD的边长为4.∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC，CB于点E，F．
(1)特殊发现：如图1，若点E，F分别是边DC，CB的中点.求证：菱形ABCD对角线AC，BD的交点O即为等边△AEF的外心；
(2)若点E，F始终分别在边DC，CB上移动，等边△AEF的外心为点P．
①猜想验证：如图2.猜想△AEF的外心P落在哪条直线上，并加以证明；
②学以致用：如图3，当△AEF的面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，求1DM+1DN的值．


25. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=−x−2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−(x−m)2+m2的顶点为P，过点P分别作x轴，y轴的垂线交AB于点M，Q，直线PM交x轴于点N．
(1)若点P在y轴的左侧，且N为PM中点，求抛物线的解析式；
(2)求线段PQ长的最小值，并求出当PQ的长度最小时点P的坐标；
(3)若P，M，N三点中，任意两点都不重合，且PN>MN，求m的取值范围．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：−3的绝对值为：|−3|=3，
3的相反数为：−3，
所以−3的绝对值的相反数是为：−3，
故选：A．
根据绝对值的定义，这个数在数轴上的点到原点的距离，−3的绝对值为3；根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，3的相反数为−3，进而得出答案即可．
此题考查了绝对值及相反数，关键明确：相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数；绝对值的定义，这个数在数轴上的点到原点的距离．

2.【答案】B 
【解析】解：等边三角形，等腰梯形，正方形，圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有正方形，圆，共2个．
故选：B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3.【答案】D 
【解析】解：A、b3⋅b3=b3+3=b6，故结论错误；
B、(b5)2=b5×2=b10，故结论错误；
C、(−2b)2=(−2b)⋅(−2b)=4b2，故结论错误；
D、(ab)3÷(ab)2=ab，故结论正确．
故选：D．
A、利用同底数的幂相乘法则计算即可；
B、利用幂的乘方的法则计算即可；
C、利用积的乘方则计算即可；
D、利用同底数的幂相除法则计算即可．
此题主要考查了同底数的幂的乘法、除法、幂的乘方及积的乘方法则，解题的关键是熟练掌握这些计算法则．

4.【答案】B 
【解析】解：从左边看，是一列两个小正方形．
故选：B．
根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．

5.【答案】D 
【解析】解：∵反比例函数y=−6x中k=−6<0，
∴当x>0时，y随x的增大而增大，
当x=1时，y=−6，当x=3时，y=−2，
∴当1 故选：D．
利用反比例函数的增减性即可求得答案．
本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键，即在y=kx中，当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小，当k<0时，y随x的增大而增大．

6.【答案】A 
【解析】解：A.任意画一个平行四边形，是中心对称图形，是必然事件，故此选项符合题意；
B.从0，1，2中任意抽取一个数字都是正数，是随机事件，故此选项不合题意；
C.抛掷1个骰子，掷得的结果不是1就是6，是随机事件，故此选项不合题意；
D.经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件，故此选项不合题意．
故选：A．
直接利用中心对称图形的性质以及随机事件的定义分析得出答案．
此题主要考查了随机事件，正确掌握随机事件的定义是解题关键．

7.【答案】C 
【解析】解：∵直线a//b，∠2=70°，
∴∠3=∠2=70°，
∵∠1=39°，
∴∠A=70°−39°=31°，
故选：C．
根据两直线平行，同位角相等得出∠3，进而利用三角形的外角性质解答．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．

8.【答案】B 
【解析】解：连接AD，
∵BC与⊙A相切于点D，

∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=30°，
∴∠GAD=60°，
∵∠GFE=50°，
∴∠GAE=2∠GFE=100°，
∴∠DAE=∠GAE−∠GAD=100°−60°=40°，
∵AD=AE，
∴∠AED=∠ADE=12×(180°−40°)=70°，
∴∠CDE=90°−∠ADE=90°−70°=20°，
故选：B．
连接AD，根据切线的性质得到AD⊥BC，根据垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，根据直角三角形的性质得到∠GAD=60°，由圆周角定理求出∠GAE=100°，根据等腰三角形的性质得到∠AED=∠ADE=70°，即可得到结论．
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AO⊥BD，OA=OB=OD，AB=AD=BC=CD，∠BAD=∠BCD=90°，
∴△ABD，△CBD、△OAB，△OAD均为等腰直角三角形，
∵点E，F分别是BC，CD的中点，
∴EF是△BCD的中位线，△CEF为等腰直角三角形，
∴EF//BD，
∴AO⊥EF，
连接PC，

则点A，O，P，C在同一条直线上，
∵点N为OD的中点，点F为CD的中点，
∴FN为△OCD的中位线，
∴FN//OC，
∴∠ONF=90°，
又∠BDC=45°，
∴△DFN为等腰直角三角形，
∵点F为CD的中点，FP//OD，
∴点P为OC的中点，
又∵点M为OB的中点，
∴MP为△OBC的中位线，
∴MP//BC，MP=12BC，
∴OMP=∠OBC=45°，
∴△OMP为等腰直角三角形，
综上所述：说法①正确；
∵MP//BC，MP=12BC，EP//OB，EP=12OB，
∴四边形MPEB是平行四边形，
又BC≠OB，
∴MP≠EP，
∴四边形MPEB不是菱形，故说法②不正确；
设ON=a，则BD=4a，NF=a，
∴EF=12BD=2a，BN=3a
∴S正方形=12BD2=8a2，
∵EF//BD，
∴四边形EFNB为梯形，
∴S四边形EFNB=12(EF+BN)⋅FN=52a2，
∴说法③不正确．
综上所述：说法正确的只是①．
故选：C．
首先根据正方形的性质可判定△ABD，△CBD、△OAB，△OAD均为等腰直角三角形，再判定EF是△BCD的中位线，FN为△OCD的中位线，MP为△OBC的中位线，据此可判定△DFN、△OMP均为直角三角形，据此可对说法①进行判定；
根据三角形的中位线得MP=12BC，EP=12OB，由BC≠OB可得MP≠EP，据此可对说法②进行判定；
设ON=a，则BD=4a，NF=a，EF=2a，BN=3a，然后分别求出正方形的面积和四边形EFNB的面积即可对说法③进行判定．
本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线定理，梯形的判定，正方形的面积、梯形的面积等知识点，熟练掌握正方形的性质是解决文题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：①∵二次函数图象与y轴交于正半轴，
∴c>0，
∵二次函数图象的对称轴是直线x=−1，
∴−b2a=−1，
∴b=2a，
∵a<0，
∴b<0，
∴abc>0，
∴①正确；
②抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴②错误；
③∵b=2a，
∴2a−b=0，
∴③正确；
④图象经过点(1,0)，
∴a+b+c=0，
∵b=2a，
∴c=−3a，
∴3a+2c=3a−6a=−3a>0，
∴④不正确；
故选：B．
根据题意可知，抛物线与y轴交于正半轴，c>0，对称轴为直线x=−1，b<0，据此对①作出判断；根据抛物线与x轴的交点，即可对②作出判断；根据对称轴为直线x=−1，即可对③作出判断；根据二次函数图象与x轴另一个交点为(1,0)，坐标代入解析式即可得出c=−3a，即可求得3a+2c=−3a，即可对④作出判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系的知识：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．

11.【答案】4.35×106 
【解析】解：435万=4350000=4.35×106．
故答案为：4.35×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12.【答案】x≥12且x≠1 
【解析】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：2x−1≥0且x−1≠0，
解得：x≥12且x≠1．
故答案为：x≥12且x≠1．
根据二次根式有意义和分式有意义的条件，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

13.【答案】12 
【解析】解：列表得，
 
         红1
         红2
         白1
         白2
红1
红1红1
红1红2
 红1白1
红1白2
红2
红2红1
红2红2
红2白1
红2白2
白1
白1红1
白1红2
白1白1
白1白2
白2
白2红1
白2红2
白2白1
白2白2
由表格可知，不放回的摸取2次共有16种等可能结果，其中两次摸出的小球都是一红一白有8种结果，
∴两次摸出的小球都是白球的概率为：816=12，
故答案为：12．
依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
本题考查概率的概念和求法，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

14.【答案】6+2 15 
【解析】解：设二次函数的解析式为y=a(x−h)2+k，
由于顶点坐标为(6,4)，
∴y=a(x−6)2+4，
又A(0,1.6)在抛物线上，
∴1.6=62⋅a+4，
解得：a=−115
∴二次函数的解析式为y=−115(x−6)2+4，
整理得：y=−115x2+1215x+2415，
当y=0时，−115x2+1215x+2415=0，

x=6+2 15，x=6−2 15(不合题意，舍去)．
∴x=6+2 15(米)．
故答案为：6+2 15．
由最高点的坐标可以设得二次函数的顶点坐标式，再将(0,1.6)代入即可求解．求得的函数解析式，令y=0，求得的x的正值即为铅球推出的距离．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解题的关键是函数解析式的求法．

15.【答案】75°或15° 
【解析】解：设该等腰三角形为△ABC，其中AB=AC=8，
当△ABC是锐角三角形时，过点C作AB边上的高CD，

则CD=2SAB=2×168=4，
∵CD=12AC，
∴∠A=30°，
∴∠B=150°−30°2=75°；
当△ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高CD，

则CD=2SAB=2×168=4，
∵CD=12AC，
∴∠CAD=30°，
∵∠B=∠ACB，
∴∠B=12∠CAD=15°．
综上所述，底角的度数为75°或15°．
故答案为：75°或15°．
分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论，首先求得腰上的高，然后解直角三角形求出顶角或顶角的外角，最后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出底角即可．
本题考查了解直角三角形及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是进行分类讨论．

16.【答案】3 2 
【解析】解：取BE的中点，连接FH和DH，如图所示：

∵△BEM沿着BM翻折得到△BFM，
∴BF=BE，
∵BC=4，E是BC中点，BE=12BC=2，
∴BF=BE=2，
∵H为BE的中点，
∴BH=12BE=1，
∵BHBF=12，BFBC=24=12，
∴BHBF=BFBC，
∵∠HBF=∠FBC，
∴△HBF∽△FBC，
∴FHFC=BHBF=12，
∴FH=12FC，
∴DF+12FC=DF+FH，
当点D、F、H三点共线时，有最小值为DH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DC=AB，
∵AB=3，
∴DC=3，
在Rt△DCH中，CH=BC−BH=4−1=3，
∴DH= CH2+DC2= 32+32=3 2，
则DF+12CF的最小值为3 2，
故答案为：3 2．
取BE的中点，连接FH和DH，△BEM沿着BM翻折得到△BFM，BF=BE，H为BE的中点，BH=12BE，可得到BHBF=BFBC，可证明△HBF∽△FBC，可得FHFC=BHBF，故FH=12FC，从而得到DF+12FC=DF+FH，当点D、F、H三点共线时，有最小值为DH．
本题考查了矩形和相似三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．

17.【答案】解：(x2x−1−x+1)÷4x2−4x+1x−1
=x2−(x−1)(x−1)x−1⋅x−1(2x−1)2
=x2−x2+2x−1(2x−1)2
=2x−1(2x−1)2
=12x−1，
当x= 2+12时，原式=12× 2+12−1= 22． 
【解析】先通分括号内的式子，然后计算括号外的除法，最后将x的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

18.【答案】25%  15%  54 
【解析】解：(1))∵被调查的总人数为：12÷20%=60(人)，
∴m=1560×100%=25%，n=960×100%=15%，
故答案为：25%，15%；
(2)在扇形统计图中，“E.思想方法”所对应的扇形的圆心角度数是：360°×1560=54°，
故答案为：54；
(3)D类别人数为60×30%=18(人)，
补全图形如下：

(4)根据题意得：1600×660=160(名)，
答：估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数有160名．
(1)先计算出总人数，根据条形统计图可得m、n的值；
(2)计算出E类所占的百分比，可得圆心角；
(3)先求出D等级人数，再补全统计图即可；
(4)用总人数乘以最喜欢“思想方法”的学生人数所占的百分比即可．
本题考查了扇形统计图、条形统计图的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大．

19.【答案】解：过点A作AE⊥CD于E，由图可知，AE=BC=30m，AB=CE.∠BCD=90°，

在Rt△ACE中，∠ACE=90°−∠ABC=37°，tan∠ACE=AECE，
∴CE=AEtan37∘≈300.75=40(m)，
∴AB=CE=40(m)．
在Rt△ADE中，∠DAE=26.6°，tan∠DAE=DEAE，
∴DE=AE⋅tan26.6°≈30×0.5=15(m)．
∵CD=DE+EC，
∴CD=40+15=55(m)．
答：古塔的高度为40m，无人机离地面的高度位55m． 
【解析】过点A作AE⊥CD于E，CD=DE+EC，构建方程求解即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

20.【答案】解：(1)如图：射线AE即为所求；

(2)过E作EF⊥AC于点F，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠AFE=90°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠BAE=∠FAE．
∵AE=AE，
∴△ABE≌△AFE(AAS)．
∴AB=AF=6，BE=FE，
设BE=x，则FE=x，
∵AB=6，AD=8，
∴AC=10．
∴FC=4，EC=8−x，
在Rt△PEC中，EF2+FC2=EC2，
∴x2+42=(8−x)2，解得x=3．
∴EC=5，
∴AE2=AF2+FE2=62+32=45．
∴AE=3 5．
∴c△AEC=AE+EC+AC=15+3 5． 
【解析】(1)根据作角平分线的基本作法作图；
(2)根据勾股定理求解．
本题考查了基本作图，掌握勾股定理是解题的关键．

21.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(−4)2−4(m+1)≥0，
解得m≤3；
(2)由一元二次方程的根与系数的关系得x1+x2=4，x1x2=m+1，
∵(x1−1)(x2−1)≥−1，即x1x2−(x1+x2)+1≥−1．
∴m+1−4+1≥−1，解得m≥1，
∵m≤3，
∴1≤m≤3．
∴m的整数值为1，2和3，它们的和=1+2+3=6． 
【解析】(1)由方程有两个实数根，则其判别式大于或等于0可得到关于m的不等式，可求得m的取值范围；
(2)利用根与系数的关系表示出题目中的条件，结合(1)可求得m的取值范围，可求得m的值．
本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，掌握一元二次方程有两个不相等的实数根⇔Δ>0、有两个相等的实数根⇔Δ=0和无实数根⇔Δ<0是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：连接OB，

∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∵OP//BC，
∴∠AOP=∠ACB，∠POB=∠OBC，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠AOP=∠POB，
∵OA=OB，OP=OP，
∴△PAO≌△PBO(SAS)，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∵OB是⊙O的半径，
∴PB是⊙O的切线；
(2)解：∵AC=4，
∴OA=12AC=2，
在Rt△AOP中，OP=4，
∴AP= OP2−OA2= 42−22=2 3，
cos∠AOP=OAOP=24=12，
∴∠AOP=60°，
∵∠AOP=∠POB，
∴∠AOB=2∠AOP=120°，
∴阴影部分的面积=四边形AOBP的面积−扇形AOB的面积
=2△AOP的面积−扇形AOB的面积
=2×12⋅OA⋅AP−120π×22360
=2×12×2×2 3−43π
=4 3−43π，
∴阴影部分的面积为4 3−43π. 
【解析】(1)连接OB，利用切线的性质可得∠PAO=90°，再利用平行线的性质可得∠AOP=∠ACB，∠POB=∠OBC，然后利用等腰三角形的性质可得∠OCB=∠OBC，从而可得∠AOP=∠POB，进而利用SAS证明△PAO≌△PBO，最后利用全等三角形的性质可得∠PBO=∠PAO=90°，即可解答；
(2)根据已知可得OA=2，然后在Rt△AOP中，利用勾股定理求出AP的长，再利用锐角三角函数的定义求出cos∠AOP的值，从而可得∠AOP=60°，最后利用(1)的结论可得∠AOB=2∠AOP=120°，从而根据阴影部分的面积=四边形AOBP的面积−扇形AOB的面积，进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设每个A种蛋糕的利润为m元、每个B种蛋糕的利润为n元，
根据题意，得3m+5n=3805m+3n=420，
解得m=60n=40，
答：每个A种蛋糕的利润为60元、每个B种蛋糕的利润为40元．
(2)①由题意知，y=60x+40(50−x)=20x+2000，
∴y与x之间的函数关系式为y=20x+2000．
②由题意得，x≤4(50−x)，
∴x≤40，
又∵x≥30，
∴30≤x≤40，
在y=20x+2000中，
∵20>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=40时，y取得最大值，最大值为20×40+2000=2800(元)，
答：每天全部卖完这两种蛋糕获得的最大利润为2800元．
(3)在(2)的条件下30≤x≤40，总利润y=(20−a)x+2000，
∵5≤a≤15，
∴20−a>0，
∴y随x的增大而增大，
∴x=40，y有最大值，
∴40(20−a)+2000≥2240，解得a≤14，
∴5≤a≤14，
∴a的取值范围值为5≤a≤14． 
【解析】(1)设每个A种蛋糕的利润为m元、每个B种蛋糕的利润为n元，列出方成组求解即可．
(2)①总利润y=A种蛋糕的利润+B种蛋糕的利润．②根据A种蛋糕的个数不少于30个，且不超过B种蛋糕个数的4倍，求出x的范围，利用①中函数关系式确定y的最大值即可．
(3)在(2)的条件下30≤x≤40，总利润y=(20−a)x+2000，当x=40，y有最大值，列出不等式40(20−a)+2000≥2240，求出a的范围即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，正确找出等量与不等关系是解题的关键．

24.【答案】(1)证明：如图1，连接OE、OF，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC，AD=DC=BC，
∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°，∠ADO=12∠ADC=30°．
又∵E、F分别为DC、CB中点，
∴OE=12CD,OF=12BC,AO=12AD．
∴OE=OF=OA，
∴点O为△AEF的外心；
(2)解：①猜想：外心P一定落在直线DB上．理由如下：
如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，

∴∠PIE=∠PJD=90°，
∵∠ADC=60°，
∴∠IPJ=360°−∠PIE−∠PJD−∠JDI=120°，
∵点P是等边△AEF的外心，
∴∠EPA=2∠EFA=120°，PE=PA，
∴∠IPJ=∠EPA，
∴∠IPE=∠JPA．
在△PIE和△PJA中，
∠PIE=∠PJA=90°∠IPE=∠JPAPE=PA，
∴△PIE≌△PJA(AAS)，
∴PI=PJ．
∴点P在∠ADC的平分线上，
即点P落在直线DB上；
②当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点．
连接BD、AC交于点P，由(1)可得点P即为△AEF的外心．
如图3，设MN交BC于点G，

设DM=x，DN=y(x≠0,y≠0)，则CN=y−4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BP=DP，BC//DA，
∴∠GBP=∠MDP．
在△GBP和△MDP中，
∠BPG=∠DPMBP=DP∠GBP=∠MDP，
∴△GBP≌△MDP(ASA)，
∴BG=DM=x，
∴CG=4−x．
∵BC//DA，
∴△NCG∽△NDM，
∴CNDN=CGDM，
∴y−4y=4−xx，
∴x+y=12xy，
∴1x+1y=12．
即1DM+1DN=12． 
【解析】(1)连接OE、OF，利用菱形的对角线互相垂直平分，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质，含30°角的直角三角形的性质和三角形外心的性质解答即可；
(2)①分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，PJ⊥AD于J，利用菱形的性质，等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；
②当AE⊥DC时．△AEF面积最小，此时点E、F分别为DC、CB中点，连接BD、AC交于点P，由(1)可得点P即为△AEF的外心，设DM=x，DN=y(x≠0,y≠0)，则CN=y−4，利用全等三角形的判定与性质得到BG=DM=x，则CG=4−x，再利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外心的性质，熟练掌握菱形的性质和圆的有关性质是解题的关键．

25.【答案】解：(1)∵抛物线y=−(x−m)2+m2的顶点为P，
∴P(m,m2)，
∵PM⊥x轴于点N，交AB于点M，
∴M(m,−m−2)，N(m,0)，
∵N为PM中点，
∴m2−m−2=0，
解得：m1=−1，m2=2，
∵点P在y轴左侧，
∴m=−1，
∴抛物线的解析式为y=−(x+1)2+1；
(2)∵直线AB：y=−x−2，
令y=0，得−x−2=0，
解得：x=−2，
∴A(−2,0)，
∴OA=2．
令x=0，得y=−2，
∴B(0,−2)，
∴OB=2，
∴OA=OB．
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵PM⊥x轴，PQ⊥y轴，
∴PM//y轴，PQ//x轴，
∴∠PQM=∠PMQ=45°，
∴PQ=PM=m2−(−m−2)=(m+12)2+74，
∵a=1>0，
∴当m=−12时，PQ的值最小，最小值为74，此时点P的坐标为(−12,14)；
(3)∵P(m,m2)，M(m,−m−2)，N(m,0)，
当−m−2=0，即m=−2时，M与N重合，不合题意；
当m=0时，P与N重合，不合题意；
当m<−2时(如图)，

∵PN=m2，MN=−m−2，
∴PN−MN=m2−(−m−2)=m2+m+2=(m+12)2+74>0，
∴PN>MN，符合题意；
当m>−2时(如图)，

则PN−MN=m2−[−(−m−2)]=m2−m−2=(m−12)2−94．
由m2−m−2=0，解得：m1=−1，m2=2，
又∵a=1>0，
∴当−22时，PN−MN的值大于0，即PN>MN；
综上可知，m的取值范围是m<−2或−22． 
【解析】(1)由题意可得：P(m,m2)，M(m,−m−2)，N(m,0)，根据中点公式可得m2−m−2=0，即可求得抛物线解析式；
(2)先求得A(−2,0)，B(0,−2)，可得OA=OB=2，∠OAB=∠OBA=45°，再由平行线性质可得∠PQM=∠PMQ=45°，得出PQ=PM=m2−(−m−2)=(m+12)2+74，运用二次函数的性质即可求得答案；
(3)由P(m,m2)，M(m,−m−2)，N(m,0)，当−m−2=0，即m=−2时，M与N重合，不合题意；当m=0时，P与N重合，不合题意；当m<−2时，可得PN−MN=m2−(−m−2)=m2+m+2=(m+12)2+74>0，成立；当m>−2时，可得PN−MN=m2−[−(−m−2)]=m2−m−2=(m−12)2−94，由m2−m−2=0，可得m1=−1，m2=2，根据二次函数的性质即可得出当−22时，PN>MN．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，第(3)问要注意分类讨论，防止漏解．