2023年湖北省襄阳市谷城县中考数学适应性试卷(含解析)

2023年湖北省襄阳市谷城县中考数学适应性试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，点落在直线上若，的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下面四个立体图形中俯视图不是圆形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  中国芯是指由中国自主研发并生产制造的计算机处理芯片目前最强的芯片制造企业是中芯，当前对外公开的，已经量产的工艺是，年就已经量产了其中就是纳米米，请将用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  下列说法正确的是(    )

A. 篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是必然事件
B. 任意画一个三角形，其内角和是是随机事件
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是不可能事件
D. 射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件

7.  在我国古代，出现了许多著名的数学家和许多有趣的数学题目，其中有一个广为流传的题目叫“折绳测井”，原文如下：以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？这个题目的意思是用绳子去测量井的深度，如果将绳子折成三等份后放入井中，井的外面会有尺长的绳子；如果将绳子折成四等份后放入井中，井的外面会有尺长的绳子问绳子有多长？并有多深？若设井深尺，则下列方程中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  满足下列条件的四边形是正方形的是(    )

A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形 B. 对角线互相垂直的菱形
C. 对角线相等的矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形

9.  如图，反比例函数与一次函数交于两点、，当时的自变量的取值范围是(    )

A.  B.
C. 或 D. 或

10.  二次函数的图象如图所示，下列结论：；；；其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  若代数式有意义，则的取值范围是______．

12.  不等式组的解集是______ ．

13.  在张卡片上分别写有的整数，随机抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是______ ．

14.  飞机着陆后滑行的距离单位：关于滑行的时间单位：的函数解析式是，飞机着陆后滑行______米才能停下来．

15.  如图，、分别是的切线，切点分别为、两点，若，则弦所对圆周角的度数是______ ．

16.  如图，在正方形中，点在边上，点在边上，沿将四边形对折，点恰好落在边的中点处，求 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共102.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

18.  本小题分
为庆祝中国共产主义青年团成立周年，教育主管部门在、两市各抽取名团员开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分分整理分析过程如下：
【收集数据】市名团员中，知识竞赛在组的具体数据如下：
，，，，，，，，，，，，，．
【整理数据】不完整的两所学校的频数分布表如下

不完整的市成绩频数分布直方图如图所示：
市知识竞赛频数分布直方图

【分析数据】两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表：

根据以上信息，回答下列问题：
本次调查是______ 调查选填“抽样”或“全面”；
统计表中， ______ ， ______ ；
补全频数分布直方图；
在这次调查中，竞赛成绩波动较小的是______ 市选填“”或“”；
按此次结果估算，了解共青团知识得分不低于分，估计两个城市名团员中，能得到了解共青团知识的团员共有______ 人

19.  本小题分
小军与小明放学后看见楼前的小广场上有一架无人机正在定点拍摄小区全景，此时如图所示，小军在一楼处测得无人机的仰角，在楼顶处的小明测得无人机的仰角，他们所在的楼高约为米，求此时无人机离地面的高度参考数据：，，，

20.  本小题分
如图，是▱中的角平分线，交于点．
作的角平分线，交于点尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；
证明：．

21.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
求的取值范围；
若，求的值．

22.  本小题分
如图，是等腰直角三角形，，以为直径作交斜边于点，点是中点，过点作直线于点，交于点．
证明：是的切线；
若，求图中阴影部分面积．

23.  本小题分
市政府为了加大各部门和单位对口扶贫力度，某单位对帮扶对象种植的两种农产品、联系超市助销该超市购买产品进价为元；产品的进货量超过的部分有优惠，且产品的付款金额单位：元与进货量单位：之间都是一次函数关系，下表所示部分付款情况，该超市对产品的售价定为元，产品的售价定为元．

求出和时，与之间的函数关系式；
若该超市购进、两种产品共，并全部售出但超市要求产品的进货量不低于，且不高于，设销售完、两种产品所获总利润为元利润销售额成本，请求出单位：元与种产品进货量单位：之间的函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的进货方案；
为了加快扶贫进度，超市决定对两种产品让利销售在中获得最大利润的进货方案下，售出或产品每千克都提出元的帮扶资金返给农户，全部售出后所获总利润不低于元，求的最大值．

24.  本小题分
在和中，，，点在线段上．

【特例证明】如图，当时，，证明：；
【类比探究】如图，当，点是线段上任一点时，证明：
∽；
；
【拓展运用】如图，当时，，，求长．

25.  本小题分
已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线恰好经过、两点且与轴交于另一点在点左侧．

求抛物线解析式；
如图，点是抛物线上在第一象限上的一点，点是平面内一点，四边形是平行四边形，当▱的面积为时，求出点的坐标；
如图，点是抛物线上在第一象限上的一点，点是平面内一点，四边形是平行四边形，连接交于点，交于点，设的面积表示为，的面积表示为，的面积表示为，求的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为．
所以的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是的两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图所示，
，
，
，，
，
．
故选：．
根据平行线的性质得出，根据对顶角相等即可求解．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意．
故选：．
根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识点进行判定即可．
本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：、圆柱的俯视图是圆，不符合题意；
B、圆锥的俯视图是圆，不符合题意；
C、球的俯视图是圆，不符合题意；
D、长方体的俯视图是长方形，符合题意．
故选：．
根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，逐项分析即可得解．
本题考查简单几何体的三视图，熟知俯视图是从几何体的上面看到的图形是解答的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：；
故选：．
根据科学记数法的表示方法，进行表示即可．
本题考查科学记数法．熟练掌握用科学记数法的表示绝对值小于的数的方法：，，是整数，为第一个不为的数的前面的的个数，是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中是随机事件，原说法错误，不符合题意；
B、任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，原说法错误，不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，原说法错误，不符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，正确，符合题意．
故选：．
根据事件的分类，逐一进行判断即可．
本题考查的是随机事件及三角形内角和定理，熟练掌握事件分为确定事件和随机事件，确定事件是一定条件下一定发生或一定不发生的事件，随机事件是一定条件下可能发生也可能不发生的事件是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：若设井深尺，由题意，得：；
故选：．
设井深尺，根据绳子的长度不变，列出方程即可．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项正确，符合题意；
选项，对角线互相垂直的长方形是正方形，故B选项错误，不符合题意；
选项，对角线相等的菱形是正方形，故C选项错误，不符合题意；
选项，对角线互相垂直平分的长方形是正方形，故D选项错误，不符合题意；
故选：．
根据正方形的判定方法即可求解．
本题主要考查正方形的判定，掌握“对角线相互垂直的矩形是正方形”，“对角线相等的菱形是正方形”，“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”的知识是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可知：或时，双曲线在直线上方，
即：时的自变量的取值范围是或，
故选：．
结合图象，找到双曲线在直线上方时的取值范围即可得出结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．解题的关键是利用数形结合进行求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，，
对称轴为，
，
抛物线与轴交于正半轴，，
，故正确；
抛物线过点，
点关于对称轴的对称点为：，
，
，
，
，即：，
；故正确；
抛物线与轴有两个交点，
，故错误；
，
，
，，
；故正确；
综上：正确的是，有个；
故选：．
根据图象判断出，，的符号，判断；对称性得到图象过点，结合对称轴判断；与轴的交点个数判断；结合对称轴和，，的符号，判断．
本题主要考查二次函数图象与系数的关系、根的个数与判别式的关系，熟练掌握二次函数图象与系数的关系、根的个数与判别式的关系是解决本题的关键．
 

11.【答案】且 

【解析】解：由题意可得，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．
本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数，分式有意义的条件分母不能为零是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：；
故答案为：．
分解求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得解．
本题考查解一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式的计算．
 

13.【答案】 

【解析】解：如图所示：

共有种情况，第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数有种，
所以概率为，
故答案为．
列举出所有情况，看第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数占总情况数的多少即可．
考查概率的求法；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的情况数是解决本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
当时，取得最大值，即飞机着陆后滑行米才能停下来，
故答案为：．
将函数解析式配方成顶点式求出的最大值即可得．
本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为的最大值是解题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：连接、，
、是的切线，
，，
，
，
，
当点在优弧上时，；
当点在劣弧上时，．
弦所对的圆周角的度数是：或．
故答案为：或
由、是的切线，，根据切线的性质，易求得的度数，然后又圆周角定理，可求得当点在优弧上时，的值，由圆的内接四边形的性质，可求得当点在劣弧上时，的度数，继而求得答案．
此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意掌握弦所对的圆周角有两种且互补．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，记与的交点为，设正方形的边长为，
点恰好落在边的中点处，
，设，则，
，
解得：，，
由对折可得：，，
，
，
，
，解得：，
，，
，
设，则，
，
解得：，
，
故答案为：．
解：如图，记与的交点为，设正方形的边长为，可得，设，则，则，解得：，，证明，可得，解得：，可得，，，设，则，再建立方程求解即可．
本题考查的是正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，理解题意，利用锐角三角函数建立直角三角形之间的边角关系是解本题的关键．
 

17.【答案】解：原式


，
当，时，
原式． 

【解析】根据分式得混合运算法则化简原式，再代值求解．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则并正确求解是解答的关键．
 

18.【答案】抽样         

【解析】解：教育主管部门在、两市各抽取名团员开展团知识竞赛，
采用的是抽样调查；
故答案为：抽样；
，
数据排序后，第个数据和第个数据均为，
；
故答案为：，；
补全直方图，如下：


市的方差小，
竞赛成绩波动较小的是市；
故答案为：；
由题意可知：市成绩不低于分的人数为：人，
市成绩的中位数为，
市成绩不低于分的人数为：人，
人．
答：估计两个城市了解共青团知识不低于分的团员共有人．
故答案为：．
根据题意，即可得出结论；
利用频数之和等于总数求出，将数据排序后，第个数据和第个数据的平均数即为中位数；
补全直方图即可；
根据方差小的波动小，即可得出结论；
用总体乘以样本中的比例进行求解即可．
本题考查统计图表，以及求中位数，利用方差做决策，利用样本估计总体．从统计图表中有效的获取信息，是解题的关键．
 

19.【答案】解：过点作，

，，，
四边形是矩形，
，．
设，
在中，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
解得；
米．
答：此时无人机离地面的高度为米． 

【解析】过点作，得到，设，分别解和，求出，，利用，列出方程求出的值，进而得出结果即可．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．
 

20.【答案】解：如图所示，射线即为所作．

证明四边形是平行四边形，
，，．
平分，平分，
，，
，
≌，
． 

【解析】根据角平分线的作图方法，作图即可；
证明≌，即可得证．
本题考查角平分线的作图，平行四边形的性质．熟练掌握角平分线的作图方法，平行四边形的对边相等，对角相等是解题的关键．
 

21.【答案】解：该方程有两个不相等的实数根，
，
，，，
，
解得：，
．
，，
，
，
解得，
． 

【解析】根据根的判别式即可求解；
根据韦达定理，即可求解．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解不等式的综合运用，掌握一元二次方程中根的判别式的含义，解一元一次不等式是解题的关键．
 

22.【答案】证明：连接、，

点是弧中点，
，
，
，
，
，
，
，又是的半径，
是的切线；
解：连接，过点作，

是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
，
，
． 

【解析】先根据圆周角定理和等腰三角形的性质证得，进而证明，得到，利用切线的判定定理即可证得结论；
连接，过点作，根据等腰三角形的性质证得，则，再证明四边形是矩形得到，再根据等腰直角三角形的性质求得，由求解即可．
本题考查切线的判定、等腰直角三角形的判定与性质、圆周角定理、矩形的判定与性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
 

23.【答案】解：由表中可知，当时，是的正比例函数，
设，
由题可知，，
解得，
，
当时，设，
由题可知，，
解得，
；
当时，
由题意得：．
，
随的增大而减小，
当取最小值时，有最大值为元；
当时，
，
，
随的增大而增大．
当取最大值时，有最大值为元，
，
当时，；
当产品进货量为，产品进货量为时，可获得最大利润．
由题意得，
，
解得，
的最大值为． 

【解析】利用待定系数法求解即可；
分当时，当时，两种情况根据利润售价进价销售量列出关于的一次函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可；
根据所求，根据利润售价进价销售量，结合总利润不低于元列出不等式求解即可．
本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意利用分类讨论的思想求出对应的函数关系式是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
又，
∽，
，
，
∽，
，

，
；

证明：，
又，
∽，
，
，
∽；

∽，
，
，
，
；

解：，
设，，则，
，
又，
∽，
，
，
在等腰中，，
，
在中，，，
，
，
在等腰中，，
，
由知，
在中，，，
，
，
，
． 

【解析】证明∽，得到，进而推出∽，得到，推出，即可得证；
证明∽，得到，进而推出∽；根据∽，得到，推出，即可得证；
设，，证明∽，得到，求出，在等腰中，求出，在中，求出，在中求出，进而推出，求出的值，即可得解．
本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
 

25.【答案】解：对函数，当，得；当，得；
，，
将、点坐标代入抛物线解析式得，
解得；
抛物线解析式为；
，
，
连接，过点作轴交于，

设，则，
，
，
解得：，
所求点坐标为；
，
又四边形是平行四边形，
，
，
，
过点作轴，交直线于点，则，，

，
，
∽，
，
设，则，
，
，
，
，
当时，有最大值为． 

【解析】求出，的坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
根据平行四边形的性质，得到的面积为，过点作轴交于，利用，列出方程进行求解即可；
根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，利用平行线分线段成比例，得到，进而得到，过点作轴，交直线于点，证明∽，得到，进而将转化为二次函数求最值即可．
本题考查二次函数的综合应用，属于中考压轴题．涉及二次函数的图象与性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．