2023年福建省福州市黎明中学中考模拟数学试题（6月）（含解析）

2023年福建省福州市黎明中学中考模拟数学试题（6月）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．-1的相反数是（   ）

A． B． C． D．

2．如图，直线，被直线所截，且．若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．

3．面积为5的正方形的边长为，则的值在（　　）

A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间

4．原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的主视图是（    ）

A．   B．   C．   D．  

5．点P在的平分线上，点P到边的距离等于3，点D是边上的任意一点，则关于长度的选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

6．九年1班组织毕业晚会内部抽奖活动，共准备了张奖券，设一等奖个，二等奖个，三等奖个．已知每张奖券获奖的可能性相同，则抽一张奖券中一等奖的概率为(    )．

A． B． C． D．

7．不等式组的解是（　　）

A． B． C． D．无解

8．如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（　　）

A． B． C． D．

9．游乐园里的大摆锤如图1所示，它的简化模型如图2，当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时，摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示．摆锤从A点出发再次回到A点需要（    ）秒．

A．2 B．4 C．6 D．8

10．已知二次函数（其中x是自变量）的图象经过不同两点，，且该二次函数的图象与x轴有公共点，则的值（    ）

A． B．2 C．3 D．4

二、填空题

11．分解因式：_______________．

12．最近比较火的一款软件横空出世，仅年2月9日当天，其下载量达到了次的峰值，用科学记数法可表示为______．

13．写出一个图象经过第三象限的函数解析式______．

14．某校参加课外兴趣小组的学生人数统计图如图所示．若棋类小组有40人，则球类小组有___________人．

15．如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为___________．

16．直线与双曲线交于点和点，点在轴的正半轴上，作点关于的对称点，现有结论：①一定垂直平分；②；③、、三点可能共线；④四边形不可能是正方形，其中正确的有___________（写出所有正确结论的序号）

三、解答题

17．计算：．

18．如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，．求证：．

19．先化简，再求值：（﹣2）÷，其中x＝﹣1．

20．如图1，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的关系如下表所示（与长方体相同重量的长方体均满足此关系）．

  (1)求桌面所受压强与受力面积之间的函数表达式；

(2)现有另一长、宽、高分别为0.3m，0.2m，0.2m与长方体相同重量的长方体，已知该玻璃桌面能承受的最大压强为4500Pa，将长方体任意水平放置于该玻璃桌面上是否安全？并说明理由．

21．如图，已知．

(1)请用不带刻度的直尺和圆规在边上作一点，使的周长等于；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)在（1）的条件下，若，．求证：．

22．为了普及航天知识，某市举行了航天知识竞赛，每个学校有两个参赛队的名额，某校七年级和八年级各有4个参赛小组想要参加此次比赛，为体现比赛公平，学校进行了校内选拔比赛.8个参赛小组初赛得分情况如下表，其中有两处数据缺失：

根据上表回答问题：

(1)若最终得分的评分规则为：必答题、抢答题、风险题得分比重为，组委会按照该得分比重，绘制了如图所示的频数分布直方图，并规定前四名小组进入复赛．

①第1组的最终得分为___________分；

②请判断哪四个小组进入复赛，并说明理由．

(2)已知进入复赛的4个小组中，有2个七年级的小组和2个八年级的小组，组委会通过抽签的形式选出2个小组代表学校参加决赛（七年级2个小组分别记作，，八年级2个小组分别记作，），请用画树状图或列表的方法求参加决赛的2个小组是同一个年级的概率．

23．如图，是的直径，点是的中点，过点的切线与的延长线交于，连接、．

(1)求证：；

(2)若，，求、与所围成的阴影部分的面积．

24．已知，点为正方形对角线上的动点，点在射线上，且，平分交边于点．

(1)如图，当时，

①求证：；

②求证：．

(2)若，求的值．

25．已知，动点在抛物线上．

(1)若点的坐标为，求的值；

(2)若该抛物线上任意不同两点，都满足：当时，，当时，．点在轴上，以线段为直径作，当交线段于点时，．

①求抛物线的解析式；

②若直线被所截得的弦长为定值，求的值．

参考答案：

1．C

【分析】根据相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数解答即可．

【详解】﹣1的相反数是1．

故选C．

【点睛】本题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．

2．C

【分析】要求的度数，只需根据平行线的性质求得其对顶角的度数即可．

【详解】解：，，

，

和是对顶角，

，

故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质，对顶角的定义，关键是灵活应用平行线的性质解题．

3．B

【分析】利用算术平方根的含义先表示，再根据，从而可得答案．

【详解】解：面积为5的正方形的边长为，

∴，即

∴边长m在2和3之间，

故选：B．

【点睛】本题考查的是算术平方根的应用，无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键．

4．A

【分析】根据圆锥与圆柱的组合体的主视图是长方形与三角形，即可求解．

【详解】解：依题意，圆锥与圆柱的组合体的主视图是长方形与三角形

故选：A．

【点睛】本题考查了判断组合体的三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．

5．B

【分析】过点作于，与，由角平分线的性质得，由点到直线的距离垂线段最短得出即可解答．

【详解】如图，过点作于，与，

∵平分，点P到BA边的距离等于3，

∴，

∴．

故选：B．

【点睛】本题考查点到直线的距离最短问题，关键掌握角平分线的性质，和垂线段的性质．

6．D

【分析】直接根据概率公式即可得出结论．

【详解】抽一张奖券中一等奖的概率，

故选：D．

【点睛】本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

7．B

【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再通过数轴确定不等式组的解集即可．

【详解】

解不等式得：，

解不等式得：，

在数轴上表示为：

∴不等式组的解集是：，

故选：．

【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤．

8．D

【分析】根据旋转的性质得出，，由等腰三角形三线合一性质得出，再求出的度数即可．

【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴旋转角度数是．

故选：D．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质和旋转的性质．求出是解题的关键．

9．D

【分析】根据函数图象即可解答．

【详解】由函数图象发现当摆锤第一次到达左侧最高点到第一次到达右侧最高点一共用了4秒，从右侧最高点回到左侧最高点也是4秒，

∴摆锤从A点出发再次回到A点需要秒，

故选：D．

【点睛】本题考查了二次函数的图象，正确从图象中获取信息是解题的关键．

10．C

【分析】根据二次函数的图像经过，，可得到二次函数的对称轴x=，又根据对称轴公式可得x=b，由此可得到b与c的数量关系，然后由该二次函数的图象与x轴有公共点列出不等式解答即可

【详解】解：∵二次函数的图像经过，，

∴对称轴x=，即x=，

∵对称轴x=b，

∴=b，化简得c=b-1，

∵该二次函数的图象与x轴有公共点，

∴△=

=

=

=

∴b=2，c=1，

∴b+c=3，

故选：C．

【点睛】本题考查了二次函数图像的性质，包括图像上点的坐标特征、对称轴，利用抛物线与x轴交点的情况列出不等式，求得b，c的值．

11．

【分析】根据提取公因式法即可因式分解．

【详解】

故答案为：．

【点睛】此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知提取公因式法的运用．

12．

【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．

【详解】解：，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．

13．（答案不唯一）

【分析】根据正比例函数的性质求解．

【详解】解：∵正比例函数经过第一、三象限，

∴取大于的所有实数，

∴，

∴正比例函数的解析式为，

故答案为：．（答案不唯一）

【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟记正比例函数的性质是解题的关键．

14．80

【分析】利用棋类小组人数除以棋类所占百分比求得总人数，再乘以球类小组所占百分比，即可得到答案．

【详解】解：∵棋类小组有40人，占总人数的，

∴总人数为人，

∴球类小组有人，

故答案为：80．

【点睛】本题考查了求扇形统计图的数据，读懂题意，灵活运用所学知识点是解题的关键．

15．/

【分析】连接，根据，可以得到的度数，再根据以及的度数即可得到的度数，最后根据弧长公式求解即可．

【详解】解：连接，如图所示：

∵，，，

∴，，

由题意得：，

∴为等边三角形，

∴，

∴的长为：，

故答案为：．

【点睛】本题考查了弧长公式，解题的关键是：求出弧所对应的圆心角的度数以及弧所在扇形的半径．

16．②③

【分析】根据题意画出图形，结合垂直平分线的性质、反比例函数和一次函数的性质即可求解．

【详解】解：如图所示，

∵点在轴的正半轴上，点关于的对称点为，

∴一定垂直平分，不一定平分，故①错；

∵点关于的对称点为，

∴，，

∴，故②正确；

当与反比例函数相交时，、、三点可能共线，如图所示，

故③正确；

当垂直平分时，根据垂直平分线的性质可得四边形是菱形，

当时，

∴，

此时四边形是正方形，如图所示，

故④错误；

故答案为：②③．

【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合问题，涉及到垂直平分线的性质等，灵活运用数形结合是关键．

17．3

【分析】先计算负整数指数幂，化简二次根式，零指数幂，特殊角的三角函数值，在进行加减运算．

【详解】解：原式

．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，化简二次根式，零指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．

18．证明见解析

【分析】由，可得，证明，进而结论得证．

【详解】证明：∵，

∴，即，

∵，，，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．

19．

，1﹣

【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．

【详解】解：原式＝

＝

＝，

当x＝﹣1时，

原式＝

＝1﹣．

故答案为：，1﹣．

【点睛】本题考查了分式的化简求值及二次根式的运算，属于常考题型，熟练掌握运算法则是解题的关键．

20．(1)

(2)不安全，理由见解析

【分析】（1）观察图表得：压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，然后用待定系数法可得函数关系式；

（2）算出，即可求出，比较可得答案．

【详解】（1）解：观察图表得：压强与受力面积的乘积不变，故压强是受力面积的反比例函数，

设压强与受力面积的函数表达式，

将代入得：，

解得：，

压强与受力面积的函数表达式为；

（2）解：由图可知，

长方体边为0.3m，0.2m的面积，

将长方体边为0.3m，0.2m的面放置于该玻璃桌面上压强，

，

这样放置安全，

长方体边为0.2m，0.2m的面积，

将长方体边为0.2m，0.2m的面放置于该玻璃桌面上压强，

，

这样放置不安全，

综上所述，将长方体任意水平放置于该玻璃桌面上不安全．

【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能列出函数关系式．

21．(1)见解析

(2)见解析

【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点，连接即可；

（2）证明，推出，可得，，再利用勾股定理的逆定理证明即可．

【详解】（1）解：如图，点为所作；

（2）证明：，

，

由（1）点在的垂直平分线上，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，

，

是直角三角形，，

．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合几何图形的性质将复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理的逆定理．

22．(1)①56；②参加复赛的是第1、3、4、5组；

(2)参加决赛的2个小组是同一个年级的概率为

【分析】（1）①利用加权平均数计算即可求解；

②先计算出第1、2、3、5、6、8组的最终得分，再根据直方图与得分情况表估计出第4、7组的得分情况，从而确定进入复赛的小组；

（2）列表，共有12种等可能的结果，选中的2小组恰好来自同一个年级的结果有4种，再由概率公式求解即可．

【详解】（1）①由图表得第1组必答题、抢答题、风险题分数分别为80、40、20分

∴第1组最终得分：(分)，

故答案为：56；

②计算出第1、2、3、5、6、8组的最终得分：

第1组最终得分：(分)，

第2组最终得分：(分)，

第3组最终得分：(分)，

第5组最终得分：(分)，

第6组最终得分：(分)，

第8组最终得分：(分)，

由8个小组初赛最终得分频数分布直方图可得第4组与第7组其中一组得分在45-50分，一组得分在60-66分，根据第4组与第7组的必答题、抢答题得分情况，可判定第四组得分超过60分，第7组得分不足50分，故出线参加复赛的是第1、3、4、5组．

（2）列表如下，

共有12种等可能的结果，选中的2小组恰好来自同一个年级的结果有4种，

∴参加决赛的2个小组是同一个年级的概率为．

【点睛】此题考查了通过加权平均数做决策，频数分布直方图，画树状图或列表法求概率．解题的关键是理解题意，分析数据作出决策．

23．(1)见解析

(2)

【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，再由等弧所对的圆周角相等可得，从而证明，可得，即可证明；

（2）连接，证明四边形是菱形，得出，证明是等边三角形，得出，根据，得出，求出，根据直角三角形性质求出，根据勾股定理求出，求出，，，根据求出结果即可．

【详解】（1）证明：如图，连接，

∵是的切线，

∴，即，

∵点是的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）解：如图，连接，

∵，，

∴四边形是平行四边形，

又∵，

∴四边形是菱形，

∴，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，，

∴，

∵四边形是菱形，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、圆的切线的性质定理和圆周角定理、等边三角形的性质和菱形的判定和性质及平行线的性质，熟练综合运用这些知识点，并能准确作出辅助线是解决问题的关键．

24．(1)①证明见解析；②证明见解析

(2)的值为或

【分析】（1）如图1，连接，由正方形的性质可得，，，证明，则，，，进而可得，由等角对等边可得，进而结论得证；②由正方形的性质可得，根据，可得，由平分，可得，证明，则，即，由，可得；

（2）由题意知，分在线段上和在射线上两种情况求解：①当在线段上，如图2，过作于，连接，由，可得，证明，则，设，则，，由勾股定理得，则，，， ，由（1）可知，，即，解得，由，可得，则，即，计算求解即可；②当在射线上，如图3，过作于，连接，求解同（2）①．

【详解】（1）①证明：如图1，连接，

由正方形的性质可得，，，

∵，，，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

②证明：由正方形的性质可得，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵平分，

∴，

∵，，

∴，

∴，即，

∵，

∴；

（2）解：由题意知，分在线段上和在射线上两种情况求解：

①当在线段上，如图2，过作于，连接，

∵，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

设，则，，

由勾股定理得，

∴，，， ，

由（1）可知，，即，解得，

∵，

∴，则，即，

∴；

②当在射线上，如图3，过作于，连接，

同（2）①可知，，

∴，

设，则，，

由勾股定理得，

∴，，， ，

由（1）可知，，即，解得，

∵，

∴，则，即，

∴；

综上，的值为或．

【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．

25．(1)

(2)①；②

【分析】（1）将代入，得，整理求解即可；

（2）①由当时，，可知时，随着的增大而减小，当时，，可知时，随着的增大而增大，即直线是抛物线的对称轴，由，解得，，由题意知，在上，是直径，则，即轴，设在第二象限，则，由，可得，即，解得，（舍去），则，由对称性可知，当在第一象限时，，进而可得抛物线的解析式为；②如图，过向直线作垂线，交点为，记直线与的交点为，，连接，，则，设，则， ，，由，可得 ，则当时，即，为定值，，，然后作答即可．

【详解】（1）解：将代入，得，整理得，

∴的值为；

（2）①解：∵当时，，

∴，

∴时，随着的增大而减小，

当时，，

∴，

∴时，随着的增大而增大，

∴直线是抛物线的对称轴，

∴，解得，

∴，

由题意知，在上，是直径，

∴，即轴，

设在第二象限，则，

∵，

∴，即，解得，（舍去），

∴，

由对称性可知，当在第一象限时，，

∴抛物线的解析式为；

②解：如图，过向直线作垂线，交点为，记直线与的交点为，，连接，，则，

设，则， ，，

由勾股定理得，

即 ，

∴当时，即，为定值，，

∴，

∴，直线被所截得的弦长为定值．

【点睛】本题考查了二次函数解析式，二次函数的图象与性质，直径所对的圆周角为直角，正切，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．