2023年福建省福州市第十九中学中考模拟数学试题（含解析）

这是一份2023年福建省福州市第十九中学中考模拟数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年福建省福州市第十九中学中考模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．在实数中，最小的数是（    ）
A． B． C．0 D．
2．中国地铁是指中国建设和运营中的城市轨道交通．下列城市地铁图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．天宫二号空间实验室的运行轨道距离地球约393000米，将393000用科学记数法表示应为（　　）
A．0.393×107 B．3.93×105 C．3.93×106 D．393×103
4．如图，该几何体的主视图是（      ）

A． B．
C． D．
5．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
6．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论不正确的是（    ）

A．AM＝CM B．∠AHC＝90° C．∠ACH＝∠B D．MC＝BC
7．某校图书馆六月份借出图书200本，计划八月份借出图书500本，设七、八月份借出的图书每月平均增长率为，则根据题意列出的方程是（    ）
A． B．
C． D．
8．如图，正方形的边长为2，点为对角线上一点，当时，则的长是（    ）
  
A． B． C．2 D．
9．一天晩上，小伟帮助妈妈清洗四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯，突然停电了，小伟随机将其中一个杯盖和一个茶杯搭配在一起．则这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为（    ）
A． B． C． D．
10．一次函数的图象上随的增大而减小，则下列点可能在函数图象上的是（    ）
A． B． C． D．

二、填空题
11．因式分解：____；
12．二次函数 的对称轴是直线________．
13．如图，中，，则________．
  
14．如图所示，已知，正五边形的顶点A、B在射线上，顶点E在射线上，则______度．
  
15．方程的根为_________．
16．如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．下列结论正确的________．（填序号）

①；
②当时，点恰好落在弧上；
③当与半圆相切时，；
④当点从点运动到点时，线段扫过的面积是．

三、解答题
17．解不等式组：
18．如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．求证：．

19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在中，．
  
(1)尺规作图：将绕点顺时针旋转得到，并使点落在边上．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2)连接，求的长．
21．某校举办“十佳歌手”演唱比赛，五位评委进行现场打分，将甲、乙、丙三位选手得分数据整理成下列统计图．根据以上信息，回答下列问题：
  
(1)完成表格；

平均数/分
中位数/分
众数/分
方差/分2
甲
8.8
①
8和9
0.56
乙
②
9
9
0.96
丙
8.8
8
③
0.96
(2)在演唱比赛中，往往在所有评委给出的分数中，去掉一个最高分和一个最低分，然后计算余下分数的平均分．如果去掉一个最高分和一个最低分之后甲的方差记为，则 ．（填“<”或“>”或“=”）
(3)从三位选手中选一位参加市级比赛，你认为选谁更合适，请说明理由．
22．如图，为的直径，并与弦交于点，连接，过点作射线交的延长线于点，使．
  
(1)求证：是的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
23．小明家的电热水壶接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，会沸腾1分钟后自动停止加热，水温开始下降，此时水温（）与通电时间成反比例关系，直至水温降至时热水壶又自动开机加热，重复上述程序（如图所示）．
  
(1)求反比例图像段的函数关系式，并求自变量的取值范围．
(2)小明治疗肠胃病需服用地衣芽狍杆菌活菌胶囊，它是活菌制剂，医嘱要求：至少在饭后半小时用温开水（水温不能高于）送服，若小明在早饭后立即通电开机，请问他至少需要等多长时间才可以直接用热水壶的水送服活菌片？
24．如图1，菱形的边长为6，点为边的中点，连接，将沿折叠，点落在点处，延长交于点．
  
(1)求证：．
(2)如图2，当的延长线恰好经过点，求的值．
(3)如图1，连接，当时，求的长．
25．已知抛物线，顶点为点，直线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线顶点的坐标（用含字母的式子表示）；
(2)若直线与抛物线交于两点，且．
①求此时的值．
②点为抛物线上的点，若，求点的坐标．

参考答案：
1．A
【分析】根据实数的大小比较法则进行比较即可得到答案．
【详解】解：，
在实数中，最小的数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，是解题的关键．
2．C
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】选项A不是中心对称图形，故A不符合题意；
选项B不是中心对称图形，故B不符合题意；
选项C是中心对称图形，故C符合题意；
选项D不是中心对称图形，故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
3．B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】将393000用科学记数法表示应为3.93×105．
故选B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．A
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得：最下面是1个长方形，其左上方也是1个长方形．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，难度适中．
5．D
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：A. 、不是同类项，不可直接相加减，故计算错误，不符合题意；
B. ，选项计算错误，不符合题意；
C. ，选项计算错误，不符合题意；
D. ，选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，熟练掌握合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方的运算法则，是解题的关键．
6．D
【分析】根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的高线，中线的性质逐项判定解答即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，CM是斜边AB上的中线，
∴AM=BM=CM=AB，故A选项正确，不符合题意；
∠ACH+∠BCH=90°，
∵CH分别是斜边AB上的高线，
∴CH⊥AB，
∴∠AHC=∠BHC=90°，故B选项正确，不符合题意；
∴∠B+∠BCH=90°，
∴∠ACH=∠B，故C选项正确，不符合题意；
只有当∠A=30°时，BC=AB=MC，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
7．B
【分析】根据题意可直接列出方程．
【详解】解：由题意可列方程为；
故选B．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的增长率问题，熟练掌握一元二次方程增长率问题是解题的关键．
8．C
【分析】根据正方形的性质得出，，求出，，得出，根据等腰三角形的判定，即可得出答案．
【详解】解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，得出．
9．B
【分析】将四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯分别记作；；；，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将四个绿、白、蓝、红颜色不同的有盖茶杯分别记作；；；，
列表如下：

























共有16种等可能出现的结果，其中这个茶杯颜色搭配恰好正确的有4种结果，
这个茶杯颜色搭配恰好正确的概率为：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
10．A
【分析】根据一次函数的图象上随的增大而减小，可知，然后将各个选项中的点的 代入解析式求出的值，即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：一次函数的图象上随的增大而减小，
，
当时，，解得：，故A选项符合题意；
当时，，不成立，故B选项不符合题意；
当时，，解得：，故C选项不符合题意；
当时，，解得，故D选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出的正负情况．
11．
【分析】利用提公因式法分解因式即可得出答案．
【详解】解：．
故答案为．
【点睛】本题考查提公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
12．
【分析】根据抛物线的解析式即可得到对称轴．
【详解】解：根据题意可得：
二次函数 的对称轴是直线：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．
13．
【分析】根据正弦的定义即可得．
【详解】解：在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求角的正弦值，熟记正弦的定义是解题关键．
14．24
【分析】先求出正五边形的每一个内角的度数，利用外角的性质，求出的度数，再利用平角的定义，求出的度数即可．
【详解】解：正五边形的每一个内角的度数为：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：24．
【点睛】本题考查多边形的内角和，三角形外角的性质．熟练掌握多边形的内角和为，是解题的关键．
15．x=3
【详解】两边平方得x+6=x2,解一元二次方程得x1=3,x2=-2(舍去)，所以方程的根为
16．①②/②①
【分析】由点与点关于对称可得，再根据即可证到，可判定①；连接、、，先求出，，从而求得，即可得出点恰好落在弧上，从而判定②；连接，先证明是等边三角形，从而可得，再由与半圆相切，则，从而求得，利用三角形的三线合一性质可得，可求出，即可判断③；根据对称性确定线段扫过的图形，然后探究出该图形与的关系，就可求出线段扫过的面积可判定④．
【详解】解：如图1，连接，

点与点关于对称，
，
，
，
，
，，
，
，
．故①正确；
连接、、，如图，

点与点关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
是的垂直平分线，
，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，  
∴，
∵
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴
∵
∴四边形菱形，
∴，  
∴
∵为半圆的直径，
∴点恰好落在弧上，故②正确；
连接，，如图，

∵，，
∴，
，，
是等边三角形，
，
当与半圆相切时，则，
∴，
∴，
∵， ，
∴
∴
∴，故③错误；
如图，

点与点关于对称，点与点关于对称，
当点从点运动到点时，点的运动路径与关于对称，点的运动路径与关于对称，
扫过的图形就是图中三角形的面积与三角形的和，
∵，，，
∴，
∴
扫过的面积，故④错误．
故答案为：①②.
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、平行线的性质、线段垂直平分线的判定与性质、切线的性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、含30角的直角三角形等知识．本题属于圆的综合题，综合性强，有一定的难度．
17．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式组的解集为：
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
18．见解析
【分析】根据平行线的性质得出，，则，，进而证明，根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，．
，．
∵点是的中点
，
．
．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19．，
【详解】先算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
解：


，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式是化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）利用勾股定理先求得，再求得的长，再根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
  ；
（2）解：∵中，，
∴，
绕点A顺时针旋转得到，
，
∴，，
，
∴，
中，．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，旋转变换等知识，解题的关键是利用勾股定理即可解决问题．
21．(1)①9；②8.8；③8
(2)
(3)选甲更合适，因为三位选手的平均数相同，但甲的方差最小，稳定性最好，所以选甲更合适

【分析】（1）直接根据中位数、平均数、众数的定义，进行计算即可得到答案；
（2）先求出去掉一个最低分和一个最高分之后的平均数，再求出方差，进行比较即可得到答案；
（3）根据平均数和方差的意义解答即可．
【详解】（1）解：将甲的得分从小到大排列为：8，8，9，9，10，
中位数为：9，
乙得分的平均数为：，
由扇形统计图可知，丙得分的众数为：8，
故答案为：9，8.8，8；
（2）解：去掉一个最高分和一个最低分之后甲的平均数为：，
方差为，
故答案为：；
（3）解：选甲更合适，理由如下：
三位选手的平均数相同，但甲的方差最小，稳定性最好，
选甲更合适．
【点睛】本题主要考查了中位数、平均数和方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，离散程度越大，稳定性也就越小，反之稳定性就越大．
22．(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等可得，由可得，根据直径所对的圆周角为直角可得，从而可得，即可得证；
（2）连接，根据题意可得，设半径，则，在中，，中，，即可得到，解得，从而得到为等边三角形，最后根据进行计算即可得到答案．
【详解】（1）证明： 连接并延长交于点，连接，
  
，
，
，
，
为的直径，
，
，

，
于点，
为的半径，
是的切线；
（2）解：如图，连接，
  
，，
点在线段的垂直平分线上，
于点，
，
设半径，则，
中，，中，，
，
，
解得：（不合题意，舍去），
，
是等边三角形，，
，，
阴影部分的面积．
【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质、扇形的面积计算．
23．(1)
(2)他至少需要等37.5分钟才可以直接用热水显的水送服活菌片

【分析】（1）由题意得出点坐标为，点坐标为，再用待定系数法求出反比例函数的解析式，令时，求出的值，即可得到的范围，从而得解；
（2）根据题意可得从水温开机加热到、沸腾停止加热、再到水温下降回为一个周期共用时25分钟，小于30分钟，算出水温第二次加热到所需时间与30分钟进行比较，也是小于30分钟，最后算出水温第二次下降到所需时间，与30分钟进行比较即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得：开机加热到所需时间为：（分钟），
点坐标为，点坐标为，
  
设反比例图像段的函数关系式，
把点代入得：
，
解得：，
，
令时，代入，
解得：，
则点C
反比例图像段的函数关系式：；
（2）解：由（1）可知：
从水温开机加热到、沸腾停止加热、再到水温下降回为一个周期共用时25分钟，，
当水温第二次加热到所需时间为：，
当水温第二次下降到所需时间为：，
他至少需要等37.5分钟才可以直接用热水显的水送服活菌片．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，待定系数法求反比例函数的解析式，读懂题意，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)3
(3)

【分析】（1）连接，由翻折可得，从而，由菱形得到，即，又，可得，由可得，从而得到，故；
（2）方法一：延长交的延长线于．由折叠与菱形易得，得到，又，，可得，故，又，得到，即．易证，得到，所以，从而，由得到，所以设，则，， ，可得；
方法二：由折叠与菱形易得，得到，又，，可得，故，又，得到．由折叠与菱形可得，又可得，从而，因此，即，所以．
（3）方法一：作于，作于，由，根据“三线合一”可得，又得到，因此，因为，故可设，则，，在Rt中，利用勾股定理构造方程求出a的值，从而得到的长．
方法二：由折叠得到，，从而垂直平分，即，点为的中点，又点为的中点，所以是的中位线，因此，利用勾股定理在中，求得，在Rt中，，从而．
【详解】（1）连接
  
将沿折叠得到
，

四边形是菱形




点为边的中点






（2）方法一：如图，延长交的延长线于．
  
将沿折叠得到
，

四边形是菱形，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
，
，

，

，

，
设，则，
，
，

方法二：四边形是边长为6的菱形，点为边的中点
  
．
将沿折叠得到
，

，
，
，

，
，
，
，
，

，
，

（3）方法一：作于，作于，
    
，
，
，

，
，
，
，
可设，则
，
在Rt中，，

（舍去），

方法二：
    
将沿折叠得到
，
∴垂直平分，即，点为的中点
∵点为的中点
是的中位线

在Rt中，，

在Rt中，，


【点睛】本题考查菱形的性质、图形翻折的性质、勾股定理、三角形相似的证明及性质，综合性较强，正确作出辅助线，综合运用各个知识是解题的关键．
25．(1)
(2)①；②或

【分析】（1）把抛物线化为顶点式，从而可得答案；
（2）①设点，则联立得可得根据勾股定理得：，再解方程即可；②求解，分两种情况讨论：当点在直线的左侧时，则射线与射线重合，可得点，当点在直线的右侧时，如图过点作于，过点作轴于，过点作交的延长线于，求解，可得直线AC：，再解方程组即可．
【详解】（1）解：
顶点的坐标为
（2）①直线与抛物线交于两点
设点，则
联立得


根据勾股定理得：
∴
∴
∴
②
当点在直线的左侧时

射线与射线重合
令代入中，解得：
，
，
∴点
当点在直线的右侧时，如图
  
直线与轴交于点，与轴交于点．

过点作于，过点作轴于，过点作交的延长线于，







，

可设，则，
，且
解得：
，
直线AC：
联立 ，
解得：（不合题意，舍去）

综上所述，点或．
【点睛】本题考查的是抛物线的性质，求解抛物线的解析式，一次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程根与系数的关系，求解抛物线与直线的交点坐标，本题计算量大，对计算的要求较高．