2023年广西南宁高新区中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年广西南宁高新区中考三模数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广西南宁高新区中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的绝对值为（    ）
A． B． C． D．6
2．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A．   B．   C．   D．  
3．诗词“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”中的“八万里”用科学记数法可表示为（    ）
A．里 B．里 C．里 D．里
4．下列事件是必然事件的是（    ）
A．没有水分，种子发芽 B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
C．打开电视，正播广告 D．如果a、b都是实数，那么
5．矩形具有但菱形不一定具有的性质是（  ）
A．对边平行且相等 B．对角相等、邻角互补
C．对角线互相垂直 D．对角线相等
6．如图，直线，将一个含角的三角尺按如图所示的位置放置，若，则的度数为（　　）

A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，点A（3，-4）关于y轴的对称点B的坐标是（  ）
A．（3，4） B．（-3，-4） C．（-3，4） D．（-4，3）
8．如图是硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度（克）与温度（℃）之间的对应关系，观察该图可知（　　）

A．硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而减小
B．硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度大于
C．当温度为时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度
D．当温度为时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度
9．某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是，对于这组数据，下列判断错误的是（    ）
A．众数是 B．中位数是 C．平均数是 D．方差是
10．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？设绫布每尺x文，罗布每尺y文，那么可列方程组为（    ）
A． B． C． D．
11．如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且，，过点D作于点C，则阴影部分的面积是（　　）

A． B． C． D．
12．如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，的面积S（cm2）随运动时间t（s）变化的函数图象如图2所示，则AB的长是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
13．因式分解：______．
14．如图，若随机闭合开关，，中的两个，则能让两灯泡同时发光的概率为______

15．关于的一元二次方程有两个不等实数根，则实数的取值范围是 _____．
16．如图，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与x轴交于点D，过点A作轴于点C，若，则k=______．

17．如图，四边形为矩形，，，连接，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，Q，连接分别交，于点E，F，则线段的长为______．
  
18．如图，在中，，，，点E是的中点，点F是斜边上任意一点，连接，将沿对折得到，连接，则周长的最小值是____________．


三、解答题
19．先化简，再求值：，其中．
20．计算：．
21．如图，点D和点C在线段BE上，，，．求证：．

22．随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷．某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据所给的信息解答下列问题；
(1)这次活动共调查了______人；在扇形统计图中表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为______；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)小明和小亮都没有公交卡，在乘车中，想从“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
23．随着夏季的来临，某家电超市计划购进甲、乙两种品牌电风扇进行销售．在采购时发现，用10000元采购甲品牌电风扇的台数与用8000元采购乙品牌电风扇的台数相等，一台甲品牌电风扇的进价比一台乙品牌电风扇的进价高出100元．
(1)求甲、乙两种品牌电风扇每台的进价；
(2)该超市计划购进这两种品牌的电风扇共50台，并且甲品牌台数不超过乙品牌台数的2倍．若甲、乙两种品牌电风扇每台的售价分别为650元和500元，要使这两种品牌的电风扇售完后超市获取的利润最大，应怎样安排购进数量，并求出最大利润．
24．如图，是的直径，C为延长线上一点．为切线，D为切点，于点H，交于点E．
  
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
25．综合与实践
问题情境：在综合实践课上，老师让大家动手操作三角形纸片的折叠问题，“智慧”小组提供了如下折叠方法：
（1）如图①，经过点A的直线折叠△ABC纸片，使得边AB落在AC边上，折痕为AM，AM交BC于点D，得到图②，再将纸片展平在一个平面上，得到图③．
（2）再次折叠△ABC纸使得A与点D重合，折痕为PQ，得到图④，再次将纸片展平在一个平面上，连接DP，DQ，得到图⑤．

(1)操作与发现：证明四边形APDQ是菱形．
(2)操作与探究：在图⑤中，右∠B+∠C＝120°，AD＝6，求PD的长．
(3)操作与实践：若△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，通过从图①一图⑤的折叠，那么最后折叠成的四边形APDQ的面积为_____．（直接写出即可）
26．如图1，抛物线的图象与x轴的交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C，且．

(1)求抛物线的解析式和b值；
(2)在直线上是否存在一点P，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)将抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折得一个“M”形状的新图象（如图2），若直线与该新图象恰好有四个公共点，请求出此时n的取值范围．

参考答案：
1．D
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数进行求解即可．
【详解】解：的绝对值为；
故选D．
【点睛】本题考查求一个数的绝对值．熟练掌握负数的绝对值是它的相反数，是解题的关键．
2．A
【分析】根据轴对称图形的定义：一个平面图形，沿某条直线对折，直线两旁的部分，能够完全重合，中心对称图形的定义：一个平面图形，绕一点旋转，与自身完全重合，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，熟练掌握轴相关定义是解题的关键．
3．A
【分析】根据科学记数法的表示方法进行表示即可．
【详解】解：八万（里）；
故选A．
【点睛】本题考查科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示方法：，为整数，是解题的关键．
4．D
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．
【详解】解：A．没有水分，种子发芽是确定事件中的不可能事件，故不符合题意；
B．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上是随机事件，故不符合题意；
C．打开电视，正播广告是随机事件，故不符合题意；
D．如果a、b都是实数，那么是确定事件中的必然事件，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．
5．D
【分析】根据矩形和菱形的性质逐个判断即可．
【详解】解：矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等，
②矩形的四个角都是直角，
③矩形的对角线互相平分且相等，
菱形的性质有：①菱形的对边平行，菱形的四条边都相等，
②菱形的对角相等，
③菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角，
所以矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．
6．D
【分析】作，先根据平行线的性质求出，再证明，然后根据两直线平行，同旁内角相等即可求解．
【详解】解：如图，作，

∵三角尺是含角的三角尺，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是利用两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等求解．
7．B
【分析】根据直角坐标系和轴对称的性质分析，即可得到答案．
【详解】点A（3，-4）关于y轴的对称点B的坐标是：（-3，-4）
故选：B．
【点睛】本题考查了直角坐标系、轴对称的性质；解题的关键是熟练掌握坐标、轴对称的性质，从而完成求解．
8．D
【分析】根据函数图象解答即可．
【详解】解：由图象可知，
硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度随温度的增大而增大，故选项A不符合题意；
硝酸钾和氯化铵在水里的溶解度相同时，温度小于，故选项B不符合题意；
当温度为时，硝酸钾的溶解度小于氯化氨的溶解度，故选项C不符合题意；
当温度为时，硝酸钾的溶解度大于氯化氨的溶解度，说法正确，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．D
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的定义求解判断即可．
【详解】解：把这组数据从小到大排列为，处在最中间的数是8，
∴这组数据的中位数为8，故B不符合题意；
∵这组数据中8出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为8，故A不符合题意；
这组数据的平均数为，故C不符合题意；
这组数据的方差为 ，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了求平均数，众数，中位数，方差，熟知平均数，众数，中位数，方差的定义是解题的关键．
10．C
【分析】根据“7尺长的绫布和一匹9 尺长的罗布恰好一样贵”和“每尺罗布比绫布便宜文”列出方程组即可．
【详解】解：根据题意得：
；
故选C．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，灵活找出等量关系是解答本题的关键．
11．B
【分析】如图：连接，根据已知条件可得是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可．
【详解】解：如图：连接，

∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵与与是等底等高的三角形，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，判断出△AOD与△ABD与△AOB是等底等高的三角形，且△AOB是等边三角形，掌握扇形的面积公式是解题关键．
12．B
【分析】由图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，则由动点P的运动速度可求出BC的长，再根据图象可知的面积为6cm2，即可利用面积公式求解此题．
【详解】解：∵动点P从A点出发到B的过程中，S随t的增大而增大，动点P从B点出发到C的过程中，S随t的增大而减小．
∴观察图象2可知，点P从B到C的运动时间为4s，
∵点P的运动速度为1cm/s，
∴BC=1×4=4（cm），
∵当点P在直线AB上运动至点B时，的面积最大，
∴由图象2得：的面积6cm2，
∴，
∴cm．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量．要求能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
13．/
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【详解】解：
＝
＝
故答案为：
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
14．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果和能让两盏灯泡同时发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：列表如下：






（，）
（，）

（，）

（，）

（，）
（，）

由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中能让两灯泡同时发光的结果数有2种，
∴能让两灯泡同时发光的概率为，
故答案为：．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．且m≠2
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得到且，求出的取值范围即可．
【详解】解：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，
且，
且，
且．
故答案为：且．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的意义的知识，解答本题的关键是熟练掌握方程有两个不相等的实数根，则根的判别式，此题难度不大．
16．
【分析】连接，由轴于点C，得出轴，即可得出，再根据反比例函数系数k的几何意义即可得出，解得．
【详解】解：连接，
∵过点A作轴于点C，
∴轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了同底等高的三角形面积相等，反比例函数系数k的几何意义，明确是解题的关键．
17．
【分析】连接，根据作图可知：垂直平分，推出四边形是平行四边形，设，勾股定理求出的长，在中，勾股定理求出的长，即可得解．
【详解】解：∵四边形为矩形，，，
∴，，
∴，
连接，
  
由作图可知：垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
设，则：，
在中，，解得：；
在中，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质，中垂线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是根据作图得到垂直平分．
18．
【分析】以点E为圆心，以AE长为半径作圆，连接BE，交圆O于点，此时，BD的长度最小，即的周长最小，过点E作于点M，通过含30°角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可．
【详解】
在中，，，，
，
由勾股定理得，
如图，以点E为圆心，以AE长为半径作圆，连接BE，交圆O于点，
此时，BD的长度最小，
将沿对折得到，点E是的中点，
，
的周长，
此时，的周长最小，
过点E作于点M，
，
由勾股定理得，
，
由勾股定理得，
，
的周长最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形周长的最小值问题，涉及含30°角的直角三角形的性质和勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．-x-3y；-2
【分析】首先把分子分母中能分解因式的分解因式，然后进行约分，最后合并同类项并代值计算．
【详解】解：
=
=x-y-2x-2y
=-x-3y，
当x=3，y=-时，
原式=-3-3×（-）
=-2．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键．
20．
【分析】先化简二次根式，再进行乘除运算，最后进行加减运算．
【详解】解：
=
=
=．
【点睛】本题考查实数运算，解题的关键是掌握二次根式的性质．
21．见解析
【分析】根据平行线的性质证（SAS）即可求证；
【详解】证明：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中
∵
∴（SAS）．
∴
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、平行线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
22．(1)200，
(2)见解析
(3)两人恰好选择同一种支付方式的概率为．

【分析】（1）用微信支付的人数除以所占的百分比得到调查的总人数，然后用乘以喜欢用微信的人数的百分比得到“微信”支付的扇形圆心角的度数；
（2）先计算出用公交卡和现金支付的人数，然后补全条形统计图；
（3）画树状图展示所有16种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一种支付方式的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：（人），
所以这次活动共调查了200人；
在扇形统计图中，表示“微信”支付的扇形圆心角的度数；
故答案为：200，；
（2）解：用公交卡支付的人数为（人），
用现金支付的人数为（人），
条形统计图补充为：
；
（3）解：小明和小亮用甲和乙表示，“微信”“支付宝”“现金”“云闪付”四种支付方式分别用A，B，C，D表示，画树状图如下：

由树状图可知，共有16种等可能的结果数，其中小明和小亮两人恰好选择同一种支付方式的有4种结果，
所以两人恰好选择同一种支付方式的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
23．(1)甲品牌电风扇每台的进价是500元，乙品牌电风扇每台的进价是400元
(2)购进甲品牌电风扇33台，乙品牌电风扇17台，两种品牌的电风扇售完后该超市获得的最大利润为6650元

【分析】（1）根据题意，列出分式方程并求解即可；
（2）根据题意，列出关系式再通过不等式判断最值即可．
【详解】（1）解：设乙品牌电风扇每台的进价为x元，则甲品牌电风扇每台的进价为元．
根据题意，得．
解，得．
经检验，是原方程的解．
此时，．
答：甲品牌电风扇每台的进价是500元，乙品牌电风扇每台的进价是400元．
（2）设购进甲品牌的电风扇m台，两种品牌的电风扇全部售完后，可获利w元．
根据题意，得，解，得．
．
∵，
∴w随m的增大而增大．
∵，
∴当m取最大整数33时，w取得最大值．
此时，，．
答：购进甲品牌电风扇33台，乙品牌电风扇17台，两种品牌的电风扇售完后该超市获得的最大利润为6650元．
【点睛】本题主要考查分式方程的应用、一次函数的应用、不等式的应用，正确解读题意列出关系式是解题的关键．
24．(1)见解析
(2)

【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的判定与性质得到，根据切线的性质得到，通过等量代换即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质及三角形中位线定理，得到，设，，证明，根据相似三角形的性质，可求得的长，即可求得的长；再根据相似三角形的判定，可证得，利用相似三角形的性质及勾股定理，即可求得半径的长．
【详解】（1）证明：如图：连，
  
，

为直径，
，
，

，
，

为切线，
，，
，  
，
；
（2）解：，，
点H是的中点，
，点O是的中点，
是的中位线，
，，
，
设，则，
，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
，，
为的中点，
，

在中，．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)PD＝2
(3)

【分析】（1）根据平行四边形的判定及菱形的判定进行证明即可；
（2）设AD与PQ相交于点O，根据菱形的性质及含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（3）由正方形的判定得出菱形APDQ是正方形，结合图形求解即可．
【详解】（1）证明：由折叠可知，AP＝PD，AQ＝DQ，
∴∠PAD＝∠PDA，∠QAD＝∠QDA．
∵∠PAD＝∠DAQ，
∴∠PDA＝∠DAQ＝∠PAD＝∠ADQ，
∴DPAQ，APDQ，
∴四边形APDQ是平行四边形．
∵AP＝DP，
∴四边形APDQ是菱形；
（2）解：设AD与PQ相交于点O，

∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠B+∠C＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∵四边形APDQ是菱形，
∴AP＝PD，∠PAD＝∠QAD＝30°，AO＝DO＝3，PO＝QO，AD⊥PQ，
∴AOPO＝3，AP＝2PO，
∴PO，AP＝PD＝2；
（3）解：∵∠BAC＝90°，
∴菱形APDQ是正方形，
∴PD⊥AB，DQ⊥AC，
∵S△ABCAB×PDAC×DQ，
∴3×43×PD4×DQ，
∴PD，
∴正方形APDQ＝PD2，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查平行四边形、菱形及正方形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，综合运用这些知识点是解题关键．
26．(1)抛物线的解析式为；
(2)存在，点P的坐标为或
(3)n的取值范围为

【分析】（1）根据题意可得点A坐标，然后利用待定系数法可求抛物线解析式以及b值；
（2）求出点B坐标，由直线的解析式可得，分两种情况：当时，当时，分别求出点P的横坐标即可；
（3）分别求出直线过点时n的值以及直线与抛物线有唯一公共点时n的值即可得出答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交点为，
∴，，
∴，
将代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
将代入得，
解得；
（2）解：存在；
令，
解得，，
∴，，
∵直线的解析式为，
∴，
当时，点P横坐标和点B横坐标相同，都是1，
把代入得，
∴此时，
当时，如图1，过点P作轴于E，则点E为的中点，

∴点E的横坐标为，
∴点P的横坐标为，
把代入得，
∴此时，
综上所述，满足条件的点P的坐标为或；
（3）解：将抛物线图象x轴上方部分沿x轴翻折后所在的抛物线表达式为，
当直线过点与该新图象恰好有三个公共点时，可得，
解得；
当直线与抛物线有唯一公共点时，可得，
即只有一个实数解，
∴，
解得；
∴若直线与该新图象恰好有四个公共点，此时n的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，二次函数图象与几何变换等知识，熟练掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解题的关键．